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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass sich jede Zahl n [mm] \in \IN [/mm] darstellen lässt als
n = [mm] \summe_{i \ge 0} a_{i}*i!
[/mm]
wobei gilt [mm] \forall [/mm] i : 0 [mm] \le a_{i} \le [/mm] i. |
Wie kann ich das beweisen?
durch probieren scheints ja ifür die ersten zu funktionieren!
Wusste jetzt auch nit in welchen Forumbereich so was kommt! Weil wir das in Diskrete Strukturen und Logik behandeln (irgende wie ne Mischung aus Mathematik und Informatik) und die Aufgabe kam beim Thema Kombinatorik u. Wahrscheinlichkeit)
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Hallo und guten Morgen,
ein Versuch via Vollst. Induktion (dass der Anfang klappt, hast Du ja bereits glaubhaft versichert):
Sei
[mm] n=\sum_{i\geq 0}a_i\cdot [/mm] i!
wie in der Aufgabenstellung, dann wollen wir n+1 darstellen.
Da 1!=1, sind wir zuhause, falls [mm] a_1=0, [/mm] Falls [mm] a_1=1, [/mm] ersetzen wir es durch 0 und bekommen einen Übertrag.
Falls nun [mm] a_2<2, [/mm] so können wir es inkrementieren, sonst ersetzen wir es auch durch 0 usw,
d.h. wir addieren wie im Dezimalsystem. Wir müssen essentiell zeigen, daß wir
[mm] \sum_{i
wieder so darstellen können,
und zwar als [mm] (a_j+1)\cdot [/mm] j!,
also müssen wir zeigen, daß
[mm] \sum_{i
Dies wiederum könne wir durch vollst. Induktion nach j zeigen, und das geht wunderbar durch:
[mm] \sum_{i\leq j}i\cdot [/mm] i!+1 = [mm] j\cdot [/mm] j! + j! = [mm] j!\cdot [/mm] (j+1)
ist die Essenz des Induktionsschrittes von j nach j+1.
Gruss,
Mathias
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