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Zahlenfolge: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:55 So 19.09.2004
Autor: Teletubyyy

Hi Leute
Eine Folge beginnt, mit den Ziffern 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... jede weitere Zahl der Folge ist deffinert als die Summe der 6 vorhergehenden Zahlen mod10.
Man soll nun überprüfen ob irgend wann in der Folge ...0,1,0,1,0,1... auftaucht!!!

Die Aufgabe ist nicht ganz einfach und ich habe sie eher zufällig gelöst (indem ich unerwarteterweiße eine Invariante gefunden habe, diese aber nicht herleiten kann). Mich würde daher besoneders der Lösungsweg interessieren.

Viel Spaß am Grübeln;-)

Gruß Samuel

P.s. Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. - wie man so schön sagt :-)
        
Bezug
Zahlenfolge: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:38 Di 21.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Samuel!

Kannst du mir deine Ideen zu dieser Aufgabe bitte mal nennen? Ich verzweifle nämlich seit einem Tag daran... [kopfkratz3]

Jetzt sag mir aber wenigstens noch, dass das nicht 1. Runde BWM ist, sondern Bundesrunde oder sowas, ansonsten bin ich völlig frustriert. ;-)

Liebe Grüße
Stefan


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Bezug
Zahlenfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Di 21.09.2004
Autor: Teletubyyy

hi Steffan
Ich hab die Aufgabe aus einem Buch heraus. (Da sind Aufgaben von Kreisrunde bis IMO).
Was die Aufgabe angeht, so hab ich sie eher zufällig gelöst, durch eine Invariante.
Und zwar gilt für bestimmte [mm] a_i [/mm]
[mm]I_{(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5;x_6)}=a_1*x_1+a_2*x_2+a_3*x_3+a_4*x_4+a_5*x_x+a_6*x_6 mod 10[/mm] ist eine Invariante.
Wie ich aber gerade auf diese Invariante gekommen bin kann ich dir nicht sagen- Glück gehört eben auch dazu!!!
Ich hoffe ich habe jetzt nicht zu viel verraten.
Gruß Samuel

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Zahlenfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 Mi 22.09.2004
Autor: Teletubyyy

Der Vollständigkeit halber noch die Lösung, für die, dies interessiert:
Für beliebige6 aufeinanderfolgende Zahlen gilt stehts:
[mm] 2*x_1+4*x_2+6+x_3+8*x_4+10*x_5+12*x_6 [/mm] ist eine INVARIANTE.
Für 1; 0; 1; 0; 1; 0 gilt I=8
Für 0; 1; 0; 1; 0; 1 gilt I=4
Damit kann die untere Sequenz nicht in der Folge auftauchen!!!q.e.d.

Gruß Samuel
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Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:48 Do 23.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Samuel!

Wie bist du denn bitte auf diese Invariante gekommen?? Unglaublich!! [anbet] [anbet] [anbet]

Nennen wir es nicht "Glück", sondern ein Wort, das ebenfalls mit "G" anfängt: Genialität.

Naja, der formale Beweis ist dann jedenfalls nur noch eine leichte Fingerübung, den sogar ich hinkriege. ;-)

Aus

[mm] $x_{i+1} [/mm] = [mm] x_i [/mm] + [mm] (x_i [/mm] - [mm] x_{i-5}) [/mm] = [mm] 2x_i [/mm] - [mm] x_{i-5}$ [/mm]

folgt:

[mm] $2x_{i+1} [/mm] + [mm] 4x_{i+1} [/mm] + [mm] 6x_{i+3} [/mm] + [mm] 8x_{i+4} [/mm] + [mm] 10x_{i+5} [/mm] + [mm] 12x_{i+6} [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] ( [mm] 2x_i [/mm] + [mm] 4x_{i+1} [/mm] + [mm] 6x_{i+2} [/mm] + [mm] 8x_{i+3} [/mm] + [mm] 10x_{i+4} [/mm] + [mm] 12x_{i+5}) [/mm] - [mm] (2x_{i-5} [/mm] + [mm] 4x_{i-4} [/mm] + [mm] 6x_{i-3} [/mm] + [mm] 8x_{i-2} [/mm] + [mm] 10x_{i-1} [/mm] + [mm] 12x_i)$. [/mm]

Nun zeigt man die Behauptung für die ersten Folgenglieder explizit und dann durch vollständige Induktion.

Damit ist die Aufgabe gelöst, oder?

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Do 23.09.2004
Autor: Teletubyyy

Hi Steffan
Mit der Invariante ist der rest wirklich nur formsache.> Lieber Samuel!
>  
> Wie bist du denn bitte auf diese Invariante gekommen??
> Unglaublich!! [anbet] [anbet] [anbet]

Nun Ja, ich hab gewusst, dass die Lösung mit Invarianzprinzip funktioniert, da im Kapitel "Invarienzprinzip" in meinem "schlauen Buch" steht.
Dann hab ich probiert ob es eine Invariante für für eine Polynom aus 6 aufeinanderfolgenden Zahlen gibt (natürlich mod10). Daraus konnte man dann folgern : [mm] a_6\equiv a_1 [/mm] mod 10; [mm] a_2\equiv2*a_1 [/mm] mod 10; [mm] a_3\equiv 3*a_1 [/mm] mod 10;... und man weiß, dass [mm] a_5 \equiv [/mm] 0 mod 10 sein muss.
(Dies erhält man indem man [mm] I_{x_2;x_3;...;x_7} [/mm] nimmt und [mm] x_7 [/mm] durch [mm] (x_1+x_2+...+x_6)ersetzt [/mm] und dann in die form [mm] I=a_6x_1+(a_6+a_1)*x_2... [/mm] bringt)
Die naheliegenste Möglichkeit, dass [mm] a_1=2 [/mm] da dann [mm] a_5 [/mm] = 10 [mm] wäre(a_1=4 [/mm] wäre vorerst auch möglich, aber ich hab halt mal die naheliegende zuerst ausprobiert). Und siehe da es hat alles gepasst :-).

Gruß Samuel
Bezug
                        
Bezug
Zahlenfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Do 23.09.2004
Autor: Stefan

Lieber Samuel!

>  Mit der Invariante ist der rest wirklich nur formsache.>

Ja, aber du hast schon gesehen, dass ich bewiesen habe, dass es eine Invariante ist, oder?

>  Nun Ja, ich hab gewusst, dass die Lösung mit
> Invarianzprinzip funktioniert, da im Kapitel
> "Invarienzprinzip" in meinem "schlauen Buch" steht.

Um welches Buch handelt es sich? Etwa um das Buch von Engel? Denn ich meine, da hieße ein Kapitel so (habe es gerade nicht hier). Danach gehe ich hier ja die ganze Zeit vor...

>  Dann hab ich probiert ob es eine Invariante für für eine
> Polynom aus 6 aufeinanderfolgenden Zahlen gibt (natürlich
> mod10). Daraus konnte man dann folgern : [mm]a_6\equiv a_1[/mm] mod
> 10; [mm]a_2\equiv2*a_1[/mm] mod 10; [mm]a_3\equiv 3*a_1[/mm] mod 10;... und
> man weiß, dass [mm]a_5 \equiv[/mm] 0 mod 10 sein muss.
>  (Dies erhält man indem man [mm]I_{x_2;x_3;...;x_7}[/mm] nimmt und
> [mm]x_7[/mm] durch [mm](x_1+x_2+...+x_6)ersetzt[/mm] und dann in die form
> [mm]I=a_6x_1+(a_6+a_1)*x_2...[/mm] bringt)
>  Die naheliegenste Möglichkeit, dass [mm]a_1=2[/mm] da dann [mm]a_5[/mm] = 10
> [mm]wäre(a_1=4[/mm] wäre vorerst auch möglich, aber ich hab halt mal
> die naheliegende zuerst ausprobiert). Und siehe da es hat
> alles gepasst :-).

Beeindruckend!! [respekt2]

Muss jetzt leider nach Hause...

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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