Zahlenfolge < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo erstmal,
mal wieder habe ich eine dumme Frage und hoffe das ihr mir ein bisschen helfen könnt. Es geht um Zahlenfolgen und an sich verstehe ich dir Thematik sehr gut, aber ich habe ein Problem die Bildungsvorschriften festzulegen. Sicher gibt es ja die allgemeine Form, aber z.B. bei dem Beispiel 3;6;11;18 die Bildungsvorschrift festzulegen, habe ich ein Problem, da ich nicht einfach in die Form a= [mm] a_{1}+(n-1)*d [/mm] einsetzen kann.
Gibt es denn ein paar Tip, wie man allgemein die Bildungsvorschrift für Zahlenfolgen berechnen kann.????
Danke und viele liebe Grüße
Searchgirl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 So 16.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Searchgirl.
> habe ich ein Problem, da ich nicht einfach in die Form a= $ [mm] a_{1}+(n-1)\cdot{}d [/mm] $ einsetzen kann.
Richtig, die dir gegebene Folge kann auch nicht zu einer arithmetischen Folge ergänzt werden. Arithmetische Folge, d.h. solche der Form [mm] $a_n [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] n\cdot [/mm] d$, liegen genau dann vor, wenn die aufeinander folgende Folgenglieder konstante Differenzen besitzen. Beispiel: 3,6,9,12,15,... oder 8,15,22,29.
Dennoch ist es bei vielen Folgen ratsam, die Differenzen aufeinander folgender Folgenglieder zu bestimmen. Nehmen wir nämlich an, wir könnten die Differenz [mm] $d_n=a_{n}-a_{n-1}$ [/mm] explizit angeben, dann hätten wir damit schon eine explizite Formel für die [mm] $a_n$ [/mm] gefunden, denn es ist (wir setzen [mm] $a_0=0$) $a_n [/mm] = [mm] (a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}) [/mm] + [mm] (a_{n-1}-a_{n-2})+...+(a_1-a_0)=d_1+d_2+...+d_n$. [/mm] Schauen wir also einmal, ob wir die Differenzen der dir gegebenen Folge beschreiben können. Es ist [mm] $d_2=3, d_3=5,d_4=7$. [/mm] Wir können also vermuten, dass [mm] $d_n$ [/mm] die n-te ungerade Zahl ist, d.h. [mm] $d_n=2n-1$. [/mm] Für [mm] $a_n$ [/mm] ergibt sich dann die Gleichung (wobei [mm] $d_1=a_1-a_0=3-0=0$) $a_n [/mm] = 3 + [mm] d_1+d_2+...+d_n [/mm] = 3 + (3 + ... + 2n-1) = 2 + (1+3+...+2n-1)$. Die Summe der ersten $n-1$ ungeraden Zahlen ist genau [mm] $(n-1)^2$, [/mm] sodass wir also [mm] $a_n [/mm] = [mm] 2+(n-1)^2$ [/mm] erhalten.
Du siehst also, dass man eine Formel für die gegebene Folge schnell findet, wenn man es schafft, eine explizite Bildungsformel für die Folge der Differenzen aufeinander folgender Glieder zu finden - letzteres ist meist leichter anzustellen wie auch hier in unserem Beispiel.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
