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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mo 29.12.2008 | | Autor: | jrgen |
Ich brauche dringend hilfe bei folgendem problem.
gibt es ein geradstelliges palindrom in einer beliebigen basis b, dass auch
im Dezimalsystem palindromisch ist?
Durch probieren scheint man immer eins zu finden. So ist zB: in der basis 13
3113 und 6776.
Mir fehlt aber jede Beweisidee für den allgemeinen Fall.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo jrgen, ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Ich vermute, dass die Frage nicht lösbar ist, also weder das eine noch das andere zu beweisen ist.
Versuch mal folgende Basen (alle nicht zufällig gewählt!): 89, 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691
Da solltest Du erhebliche Schwierigkeiten haben, eine Lösung zu finden. Falls Du ein Programm schreibst, beschränke Dich nicht auf double integer, sondern programmiere einen echten Langzahlen-Algorithmus.
Zu Deiner Aufgabe habe ich weder eine gute Idee noch etwas im Netz gefunden, aber einen Einblick in die Unvorhersagbarkeit von Palindromproblemen gibt schon die folgende Grafik zu binären Palindromen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Falls Du Dich mit Fraktalen auskennst: dies scheint eins zu sein.
Die Grafik steht auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite.
Von dort kommst Du auch zu einigen Freaks, die noch viel mehr Zeit und Kraft in die Erforschung von Palindromen stecken. Vielleicht lohnt sich ja eine Email an Jason Doucette.
Hier ein paar der Seiten, die ich meine:
Jason Doucette
Ian Peter
István Bozsik
Ein wesentliches Problem bei der Formulierung mathematischer Eigenschaften von Palindromen ist, dass zwar alle rekursiv formulierbar sind, aber so gut wie nie in eine explizite Form überführt werden können.
Die folgende Beobachtung ist ein Beispiel:
Sei a ein n-stelliges Palindrom zur Basis b, dessen erste und letzte Stelle c lautet.
Für die Zahl [mm] d=b^n-a [/mm] mit der ersten Stelle e und der letzten Stelle f gilt dann:
1) f=b-c
2) e=b-c-1
(und damit: e+f+2c=2b-1)
Wenn man von d die beiden äußeren Ziffern entfernt, hat man wieder ein Palindrom vorliegen.
lg,
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 29.12.2008 | | Autor: | jrgen |
kann man das nicht auf lineare diophantische gleichungen zurückführen.
also
a0*x + a1*y+ ... an*w - c0*s - c1*t - ... ck*r = 0
dabei is ci: [mm] 10^n-i [/mm] + [mm] 10^i [/mm] (also zb 1001, 110 und s,t die ziffern des palindromes im Dezimalsystem)
genauso ai in der basis b
wegem dem =0
müsste es doch immer ganzzahlige lösungen für x,y,..w,st..r geben
allerdings muss ci <10
und ai < b sein
da wirds vl etwas schwierig, aber mann hat ja schließlich auch
unendlich viele gleichungen zur auswahl =)
da wirds eine schon mit der passenden lösung geben
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> da wirds vl etwas schwierig, aber mann hat ja schließlich
> auch
> unendlich viele gleichungen zur auswahl =)
> da wirds eine schon mit der passenden lösung geben
Das überzeugt mich als Beweisansatz überhaupt nicht. Dann wäre auch der "große Fermat" lösbar gewesen.
Vielleicht hilft Dir aber diese Beobachtung weiter: [mm] a^{2k-1-i}+a^i [/mm] ist u.a. für [mm] 0\le i\le \a{}k-1 [/mm] immer durch (a+1) teilbar!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:31 Mo 29.12.2008 | | Autor: | jrgen |
kann man zeigen, dass die lineare diophantische gleichung
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] (10^(n-i) - [mm] 10^i) [/mm] - n*q = 0
für jedes n, ganzzahlige Lösungen [mm] a_{i} [/mm] < 10 und q hat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mo 29.12.2008 | | Autor: | jrgen |
sorry
ich meine natürlich
[mm]\summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] (10^(n-i) + [mm]10^i)[/mm] - n*q = 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mo 29.12.2008 | | Autor: | reverend |
Die Gleichung sieht, was die Exponenten angeht, nicht sauber aus. Du hast die Bedingung "Polynom mit gerader Stellenzahl" fallen lassen, außerdem läuft i zu weit. Denk nochmal nach.
Woher stammt [mm] \a{}q*n [/mm] ? Was soll dieses Glied besagen?
Im übrigen finde ich nach wie vor keine stärkere Aussage als die, dass für eine Zahl z, die zu den Basen b und 10 eine gerade palindromische Darstellung hat, gelten muss: [mm] z\equiv 0\mod{(11*(b+1))}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 30.12.2008 | | Autor: | jrgen |
richtig
n läuft bis n/2 aufgerundet
q*n soll einfach eine andere Darstellung des Palindromes sein, als Produkt zweier Zahlen.
Die Bedingung, dass es geradstellig sein soll, brauch ich denk ich gar nicht mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Di 30.12.2008 | | Autor: | reverend |
Dann schreib doch nicht [mm] \a{}q*n, [/mm] sondern z.B. [mm] \a{}q*r. [/mm] Die Variable n verwendest Du ja schon für die Stellenzahl.
Außerdem ist das eine unnötige Beschränkung. Das Palindrom kann ja auch eine Primzahl sein!
Und schließlich hat es für Deine Formel erhebliche Bedeutung, ob das Palindrom eine gerade oder ungerade Stellenzahl hat. Im ungeraden Fall gibt es ja eine einzelne Ziffer in der Mitte, die keine Entsprechung hat. Außerdem ist mir da keine Teilbarkeitsregel bekannt oder ersichtlich, anders als bei den geradstelligen Polynomen, die doch - so schriebst Du am Anfang - vorausgesetzt waren.
Mir scheint, dass Du die Komplexität des Problems noch nicht begriffen hast.
Es genügt nicht anzunehmen, dass eine diophantische Gleichung wohl eine Lösung hat, sondern Du musst zeigen, dass es eine geben muss oder aber dass es keine geben kann. Alles andere geht an der (durchaus schwierigen) Aufgabe völlig vorbei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mi 31.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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