Zahlentheorie-GleiSys (441336) < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Di 03.02.2009 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | Es seien a, b ganze Zahlen und [mm] p_1 [/mm] , [mm] p_2 [/mm] , . . . , [mm] p_6 [/mm] Primzahlen. Man ermittle alle derartigen Zahlen, die das Gleichungssystem
[mm] a^6 [/mm] − [mm] b^6 [/mm] = [mm] p_1 p_2 p_3 [/mm] (1)
[mm] a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] = [mm] p_1 p_2 [/mm] (2)
a + b = [mm] p_1 [/mm] (3)
ab = [mm] p_4 p_5 p_6 [/mm] (4)
erfüllen. |
Da kann man ja so einiges umformen und ausschließen. Ich habe nacheinander feststellen können, dass a und b nicht negativ und dann sogar größer 1 sein müssen. Außerdem ist a > b und von a und b muss genau eine Zahl durch 2 teilbar sein. (Die Begründungen kann ich bei Bedarf noch nachreichen.)
Zu einer Lösung bin ich trotzdem nicht gekommen. Nicht mal zu einer einzigen durch Ausprobieren. Vermutlich gibt es keine (?)
Durch Umformen bekommt man z.B. diese interessanten Zusammenhänge:
[mm] p_2 [/mm] = [mm] \bruch{a^3 + b^3}{a+b}
[/mm]
[mm] p_1 [/mm] = a + b
[mm] p_3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] - [mm] b^3
[/mm]
Jetzt habe ich aber irgendwo gelesen, dass es für die Aufgabe einen sehr kurzen Lösungsweg geben soll, und habe deswegen die Vermutung, dass ich ziemlich im Dunklen tappe und einen entscheidenden Punkt noch übersehe.
Ich würde mich wie immer über einen eurer immer sehr hilfreichen Vorschläge freuen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 03.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Es seien a, b ganze Zahlen und [mm]p_1[/mm] , [mm]p_2[/mm] , . . . , [mm]p_6[/mm]
> Primzahlen. Man ermittle alle derartigen Zahlen, die das
> Gleichungssystem
> [mm]a^6[/mm] − [mm]b^6[/mm] = [mm]p_1 p_2 p_3[/mm] (1)
Hallo,
Kennst du binomische Formeln?
Es ist [mm] a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3). [/mm] Jetzt vergleiche das mal mit der zweiten Gleichung ...
Gruß Abakus
> [mm]a^3[/mm] + [mm]b^3[/mm] = [mm]p_1 p_2[/mm] (2)
> a + b = [mm]p_1[/mm] (3)
> ab = [mm]p_4 p_5 p_6[/mm] (4)
> erfüllen.
> Da kann man ja so einiges umformen und ausschließen. Ich
> habe nacheinander feststellen können, dass a und b nicht
> negativ und dann sogar größer 1 sein müssen. Außerdem ist a
> > b und von a und b muss genau eine Zahl durch 2 teilbar
> sein. (Die Begründungen kann ich bei Bedarf noch
> nachreichen.)
> Zu einer Lösung bin ich trotzdem nicht gekommen. Nicht mal
> zu einer einzigen durch Ausprobieren. Vermutlich gibt es
> keine (?)
>
> Durch Umformen bekommt man z.B. diese interessanten
> Zusammenhänge:
> [mm]p_2[/mm] = [mm]\bruch{a^3 + b^3}{a+b}[/mm]
> [mm]p_1[/mm] = a + b
> [mm]p_3[/mm] = [mm]a^3[/mm] - [mm]b^3[/mm]
>
> Jetzt habe ich aber irgendwo gelesen, dass es für die
> Aufgabe einen sehr kurzen Lösungsweg geben soll, und habe
> deswegen die Vermutung, dass ich ziemlich im Dunklen tappe
> und einen entscheidenden Punkt noch übersehe.
>
> Ich würde mich wie immer über einen eurer immer sehr
> hilfreichen Vorschläge freuen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 03.02.2009 | | Autor: | tuxor |
Danke für deine schnelle Reaktion :)
Ich hätte doch die Herleitung meiner bisherigen Erkenntnisse dokumentieren sollen ;) Diese dritte binomische Formel habe ich auch noch bemerkt. So bin ich ja auch auf die bereits erwähnte Gleichung [mm] p_3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] - [mm] b^3 [/mm] gekommen. Das hat mich dann auch zu der Erkenntnis gebracht, dass a größer b sein muss. Doch weiter komme ich damit nicht.
Wo steckt also an dieser Stelle der entscheidende Angriffspunkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 03.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine schnelle Reaktion :)
>
> Ich hätte doch die Herleitung meiner bisherigen
> Erkenntnisse dokumentieren sollen ;) Diese dritte
> binomische Formel habe ich auch noch bemerkt. So bin ich ja
> auch auf die bereits erwähnte Gleichung [mm]p_3[/mm] = [mm]a^3[/mm] - [mm]b^3[/mm]
> gekommen. Das hat mich dann auch zu der Erkenntnis
> gebracht, dass a größer b sein muss. Doch weiter komme ich
> damit nicht.
>
> Wo steckt also an dieser Stelle der entscheidende
> Angriffspunkt?
Ob entscheidend - weiß ich nicht.
Auf alle Fälle ist die Polynomdivision [mm] (a^3+b^3)/(a+b) [/mm] ohne Rest möglich. Und eine der Zahle [mm] p_4, p_5, p_6 [/mm] muss 2 sein.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 03.02.2009 | | Autor: | abakus |
> > Danke für deine schnelle Reaktion :)
> >
> > Ich hätte doch die Herleitung meiner bisherigen
> > Erkenntnisse dokumentieren sollen ;) Diese dritte
> > binomische Formel habe ich auch noch bemerkt. So bin ich ja
> > auch auf die bereits erwähnte Gleichung [mm]p_3[/mm] = [mm]a^3[/mm] - [mm]b^3[/mm]
> > gekommen. Das hat mich dann auch zu der Erkenntnis
> > gebracht, dass a größer b sein muss. Doch weiter komme ich
> > damit nicht.
> >
> > Wo steckt also an dieser Stelle der entscheidende
> > Angriffspunkt?
> Ob entscheidend - weiß ich nicht.
> Auf alle Fälle ist die Polynomdivision [mm](a^3+b^3)/(a+b)[/mm]
> ohne Rest möglich. Und eine der Zahle [mm]p_4, p_5, p_6[/mm] muss 2
> sein.
> Gruß Abakus
>
Ach so, da war noch was. Einerseits ist wohl [mm] (a^3-b^3) [/mm] Primzahl, andererseits ist [mm] (a^3-b^3) [/mm] in zwei Faktoren zerlegbar (Polynomdivison durch (a-b)!). Dieser Widerspruch ist nur auflösbar, wenn einer der beiden Faktoren 1 (oder -1) ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Di 03.02.2009 | | Autor: | tuxor |
Dass [mm] a^n \pm b^n [/mm] für ungerade n faktorisierbar ist, hätte ich echt erkennen müssen. Denn das kam schon in anderen Aufgaben vor, die ich mal gelöst habe. Echt blöd gelaufen ^^
Wir haben jetzt [mm] p_3 [/mm] = [mm] a^3 [/mm] - [mm] b^3 [/mm] = (a - [mm] b)(a^2 [/mm] + ab + [mm] b^2). [/mm] Da a > b > 1 muss der Faktor (a - b) = 1 sein.
So heißt es also
[mm] p_1 [/mm] = a + b = 2a - 1
[mm] p_2 [/mm] = 1 + ab
[mm] p_3 [/mm] = 1 + 3ab
[mm] p_3 [/mm] - [mm] p_2 [/mm] = 2 [mm] p_4 p_5 p_6 [/mm] (durch zwei teilbar)
Ich habe jetzt eigenartigerweise ein Ergebnis gefunden, für das dies zutrifft: a=7, b=6, [mm] p_1=13, p_2=43, p_3=127, p_4=2, p_5=3, p_6=7
[/mm]
Habe ich mich verrechnet oder etwas übersehen?
Also wenn das wirklich stimmt, dann glaube ich aber nicht, dass das das einzige mögliche Ergebnis ist?!
Ich bin gerade etwas verwirrt von dieser Feststellung. Heute kann ich da nichts mehr machen, ich bin irgendwie müde.
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> Ich habe jetzt eigenartigerweise ein Ergebnis gefunden, für
> das dies zutrifft: a=7, b=6, [mm]p_1=13, p_2=43, p_3=127, p_4=2, p_5=3, p_6=7[/mm]
Was ist daran eigenartig?
> Habe ich mich verrechnet oder etwas übersehen?
Weder - noch. Die obigen Zahlen erfüllen alle 4 Gleichungen.
> Also wenn das wirklich stimmt, dann glaube ich aber nicht,
> dass das das einzige mögliche Ergebnis ist?!
In der Mathematik sollte man zwar nicht "glauben", aber in diesem Fall halte ich es eher für unwahrscheinlich, dass so eine Kombination aus Additieren, Multiplizieren und Potenzieren noch mit anderen Primzahlen möglich sein sollte.
> Ich bin gerade etwas verwirrt von dieser Feststellung.
Freue dich doch, dass du die Lösung gefunden hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 04.02.2009 | | Autor: | tuxor |
a=4 b=3 p1=7 p2=13 p3=37 p4=2 p5=2 p6=3
Damit geht es auch. Und deswegen ist es wohl doch nicht so unwahrscheinlich, dass hier die Suche noch nicht beendet ist. Ich vermute mal, dass man die Gleichungen alle jetzt so ineinandereinsetzen können müsste, dass man alle Lösungen explizit errechnen kann. Doch das will mir ehrlich gesagt nicht gelingen.
Kann mir jemand sagen, ob das überhaupt möglich ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mi 04.02.2009 | | Autor: | abakus |
> a=4 b=3 p1=7 p2=13 p3=37 p4=2 p5=2 p6=3
> Damit geht es auch. Und deswegen ist es wohl doch nicht so
> unwahrscheinlich, dass hier die Suche noch nicht beendet
> ist. Ich vermute mal, dass man die Gleichungen alle jetzt
> so ineinandereinsetzen können müsste, dass man alle
> Lösungen explizit errechnen kann. Doch das will mir ehrlich
> gesagt nicht gelingen.
>
> Kann mir jemand sagen, ob das überhaupt möglich ist?
Hallo,
allein die Faktoren [mm] p_4, p_5 [/mm] und [mm] p_6 [/mm] können auf 6 verschiedene Arten untereinander vertauscht werden.
Ich empfehle dir aber erst einmal, die Erkennnis a-b=1 auszunutzen und a in allen zuletzt erhaltenen Gleichungen durch b+1 zu ersetzen. Vielleicht werden dann die möglichen Primfaktoren etwas klarer.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 04.02.2009 | | Autor: | tuxor |
Wir scheinen ja der Antwort jetzt ziemlich nah. Für mich sieht es eher so aus, als ob es jetzt nur noch gilt, Bedingungen für die Primzahlen zu finden.
Also folgendes habe ich (a = b+1)
[mm] p_1 [/mm] = 2b + 1
[mm] p_2 [/mm] = 1 + b(b+1)
[mm] p_3 [/mm] = 1 + 3b(b+1) = [mm] p_2 [/mm] + 2b(b+1)
[mm] p_4p_5p_6 [/mm] = b(b+1)
Eine Lösung könnte ja zum Beispiel so aussehen: Es existieren Lösungen für jede Primzahl [mm] p_1 [/mm] > 3, wobei
b = [mm] \bruch{p_1 - 1}{2}
[/mm]
a = b+1
[mm] p_2 [/mm] = 1 + b(b+1)
[mm] p_3 [/mm] = 1 + 3b(b+1)
Für [mm] p_4 [/mm] , [mm] p_5 [/mm] und [mm] p_6 [/mm] lässt sich diese Reihe nun aber nicht so schön fortsetzen. Und: Für welche Primzahlen [mm] p_1 [/mm] sind [mm] p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] tatsächlich prim?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 04.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Wir scheinen ja der Antwort jetzt ziemlich nah. Für mich
> sieht es eher so aus, als ob es jetzt nur noch gilt,
> Bedingungen für die Primzahlen zu finden.
> Also folgendes habe ich (a = b+1)
> [mm]p_1[/mm] = 2b + 1
> [mm]p_2[/mm] = 1 + b(b+1)
> [mm]p_3[/mm] = 1 + 3b(b+1) = [mm]p_2[/mm] + 2b(b+1)
> [mm]p_4p_5p_6[/mm] = b(b+1)
>
> Eine Lösung könnte ja zum Beispiel so aussehen: Es
> existieren Lösungen für jede Primzahl [mm]p_1[/mm] > 3, wobei
> b = [mm]\bruch{p_1 - 1}{2}[/mm]
> a = b+1
> [mm]p_2[/mm] = 1 + b(b+1)
> [mm]p_3[/mm] = 1 + 3b(b+1)
>
> Für [mm]p_4[/mm] , [mm]p_5[/mm] und [mm]p_6[/mm] lässt sich diese Reihe nun aber nicht
> so schön fortsetzen. Und: Für welche Primzahlen [mm]p_1[/mm] sind
> [mm]p_2[/mm] und [mm]p_3[/mm] tatsächlich prim?
>
>
Hallo,
aus deiner Aufgabenstellung konnte ich nicht entnehmen, ob die Primzahlen [mm] p_1 [/mm] bis [mm] p_6 [/mm] voneinander verschieden sein müssen oder nicht.
Jetzt würde sich noch lohnen in Fallunterscheidung zu untersuchen, welchen Rest b bei Teilung durch 3 lassen kann und welche Konsequenz dies für die beteiligten Primfaktoren hat (Konkret: wo steckt in welchem Fall der Primfaktor 3.)
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mi 04.02.2009 | | Autor: | tuxor |
Die Aufgabenstellung ist die original Aufgabenstellung von der 44. MO, Näheres weiß ich auch nicht.
Folgendes modulo 3:
[mm]b \equiv 1 \Rightarrow p_2 \equiv 0 \wedge p_1 \equiv 0 \Rightarrow p_{1}=p_{2}=3 [/mm] Dieser Fall ist unmöglich!
[mm]b \equiv -1 \Rightarrow a \equiv 0 \Rightarrow [/mm] entweder [mm] p_{4},p_{5} [/mm] oder [mm] p_{6} [/mm] ist 3 (eins von denen war auch schon 2)
[mm]b \equiv 0 \Rightarrow[/mm] wieder: entweder [mm] p_{4},p_{5} [/mm] oder [mm] p_{6} [/mm] ist 3
Es ist also immer entweder a oder b durch 3 teilbar. Und eins von beiden ist ja auch immer durch 2 teilbar, wie wir bereits wissen.
[mm] p_{4}, p_{5}, p_{6} \in \{2,3,\bruch{b(b+1)}{6}\} [/mm] wobei jedes Element aus der Menge genau einmal vorkommt.
Irgendwie finde ich, dass das immer noch nach keiner Lösung aussieht. Wir wissen nicht, unter welchen Umständen jetzt [mm] p_1 [/mm] oder [mm] p_2 [/mm] oder [mm] p_3 [/mm] auch wirklich prim sind... Dafür müssten wir ja eine Untersuchung modulo jeder Primzahl machen. Die Lösungen, die ich durch Probieren bekam lassen vermuten, dass sich [mm] \bruch{b(b+1)}{6} [/mm] nicht eindeutig bestimmen lässt. Höchstens mehrdeutig...
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Hallo tuxor,
das sieht doch schon alles sehr gut aus.
Du kannst in der Tat alle Lösungen bestimmen, für die [mm] \bruch{b(b+1)}{6} [/mm] prim ist. Es sind ja nicht viele, denn nach dem Kürzen muss einer der beiden Faktoren im Zähler zu 1 geworden sein, sonst wäre das Ergebnis nicht prim!
Es gibt daher folgende Möglichkeiten:
1) b=2, b+1=3, [mm] p_6=1 [/mm] nicht prim
2) b=3, b+1=4, [mm] p_6=2 [/mm] ok
3) b=5, b+1=6, [mm] p_6=5 [/mm] ok
4) b=6, b+1=7, [mm] p_6=7 [/mm] ok
Ende.
Jetzt bleibt für die drei möglichen b noch die Überprüfung, ob [mm] p_1, p_2, p_3 [/mm] prim sind. Dann hast Du Kenntnis aller Lösungen.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Do 05.02.2009 | | Autor: | tuxor |
Ja stimmt. Das war mal wieder zu trivial. Einfach mal ausprobieren ..
Ich habe nun also alle Möglichkeiten durchgespielt und komme auf diese Lösungsmenge:
[mm] (a,b,p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6}) [/mm] = (4,3,7,13,37,2,3,2), (6,5,11,31,91,2,3,5), (7,6,13,43,127,2,3,7), ... (es folgen alle Permutationen für [mm] p_{4-6})
[/mm]
Danke schön für deine geduldige Hilfe :)
Viele Grüße
thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Do 05.02.2009 | | Autor: | reverend |
> Danke schön für deine geduldige Hilfe :)
>
> Viele Grüße
> thomas
Das reiche ich mal weiter an abakus, der sich die ganze Mühe gemacht hat. Ich habe nur immer wieder mal mitgelesen.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Do 05.02.2009 | | Autor: | tuxor |
> Das reiche ich mal weiter an abakus, der sich die ganze
> Mühe gemacht hat. Ich habe nur immer wieder mal
> mitgelesen.
>
> Grüße,
> reverend
Oh, ich habe völlig übersehen, dass die letzte Antwort von jemand anderem geschrieben war. Also ich danke euch natürlich beiden ganz herzlich :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo thomas,
> Ja stimmt. Das war mal wieder zu trivial. Einfach mal
> ausprobieren ..
>
> Ich habe nun also alle Möglichkeiten durchgespielt und
> komme auf diese Lösungsmenge:
> [mm](a,b,p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})[/mm] =
> (4,3,7,13,37,2,3,2), (6,5,11,31,91,2,3,5),
> (7,6,13,43,127,2,3,7), ... (es folgen alle Permutationen
> für [mm]p_{4-6})[/mm]
(6,5,11,31,91,2,3,5) kann keine Lösung sein, da $ 91=7 [mm] \cdot [/mm] 13 $ keine Primzahl ist.
Es gibt wirklich nur die beiden Lösungen, die Du schon oben gefunden hast mit den zugehörigen Permutationen, also insgesamt 9 Lösungen.
Gruß
Sigrid
>
> Danke schön für deine geduldige Hilfe :)
>
> Viele Grüße
> thomas
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