Zahlpartitionen, Beweis < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:39 Mo 11.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei [mm] H=\{h_1 , h_2 ,...\} \subseteq \IN [/mm] $, p(H,n) die Anzahl aller Zahlpartitionen von n, deren Teilesämtlich Elemente aus H sind. Dann gilt für die erzeugende Funktion:
[mm] F_H [/mm] (z) := [mm] \sum_{n\ge0} [/mm] p(H,n) [mm] z^n [/mm] = [mm] \prod_{n\in H} \frac{1}{1-z^n}
[/mm]
Bew
$ [mm] \prod_{n\in H} \frac{1}{1-z^n}= \prod_{n\in H} [/mm] $ (1 + $ [mm] z^n [/mm] $ + $ [mm] z^{2n} [/mm] $ + $ [mm] z^{3n}+..) [/mm] $ = (1 [mm] +z^{h_1} +z^{h_1}+..)* [/mm] (1 [mm] +z^{h_2} +z^{h_2}+..)* [/mm] (1 [mm] +z^{h_3} +z^{h_3}+..)*..= \sum_{i_1\ge0} \sum_{i_2 \ge0} \sum_{i_3 \ge 0}... z^{i_1 h_1 + i_2 h_2 +i_3 h_3+..}
[/mm]
und den exponenten von z deutet wir als Partition die natürlich nur teile [mm] h_i \in [/mm] H enthält. Die Potenz kommt also in der Entwicklung so oft vor, wie es partitionen von n mit Teilen aus H gibt. |
Hallo
Ich habe Probleme mit dem Beweis.
Ich verstehe den Schluss mit die Partitionen des Exponenten nicht. Also warum das genau so ist.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 13.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
