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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | a)Zeigen Sie für reelle Zahlen q und natürliche Zahlen i
[mm] q^i=1+(q-1)*\summe_{j=1}^{i-1}q^j
[/mm]
b)Beweisen Sie mittels a): Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre
Quersumme bei der Dezimaldarstellung durch 9 teilbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich verstehe den ersten Teil der aufgabe nicht, weil ich nicht weiß wie ich dieses "Sigma" auflösen kann.
Ich brauch hilfe beim auflösen und eine erklärung dazu.
Danke im vorraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Di 08.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Sigma ersetzt Pünktchen. es heisst setze j nacheinander 1,2,3 usw bis i-1 und summiere über die alle. also
[mm] \summe_{j=1}^{i-1}q^j=q^1+q^2+q^3+.......+q^{i-2}+q^{i-1}
[/mm]
Multipliziere dies Summe ich nenn si S mit q und und bilde S-qS am besten indem du mit Pünktchen schreibst. Das führt schnell zum Beweis der Summe!
Es sei denn ihr sollt gerade vollständige Induktion üben, dann mach es damit.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ich sehe gerade ich habe einen fehler bei der Gleichung gemacht:
[mm] q^i=1+(q-1)\summe_{j=0}^{i-1}^q^i
[/mm]
tut mir leid. das hatte ich übersehen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Illihide und herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !
> ich sehe gerade ich habe einen fehler bei der Gleichung
> gemacht:
> [mm]q^i=1+(q-1)\summe_{j=0}^{i-1}^q^i[/mm]
>
> tut mir leid. das hatte ich übersehen :)
Es soll wohl [mm] $q^i=1+(q-1)\summe_{j=0}^{i-1}q^j$ [/mm] heißen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Ja genau.
Danke Tobias :)
bräuchte dringend Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> bräuchte dringend Hilfe
Woran hakt es denn? Hast du die Hinweise von leduart umgesetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
also mein problem ist das ich nichts mit diesem sigma anfangen kann und das ich selbst wenn dies weg wäre, dass ich dann immer noch nicht wüsste wie ich das lösen sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> also mein problem ist das ich nichts mit diesem sigma
> anfangen kann
leduart hat dir doch in der Antwort genau geschrieben, was das bedeutet:
[mm] $\summe_{j=1}^{i-1}q^j =q^1+q^2+q^3+.......q^{i-2}+q^{i-1}$.
[/mm]
leduart hat dir auch erklärt, wie dies zustande kommt.
> und das ich selbst wenn dies weg wäre, dass
> ich dann immer noch nicht wüsste wie ich das lösen sollte
Es gilt somit
[mm] $1+(q-1)\summe_{j=1}^{i-1}^q^j =1+(q-1)(q^1+q^2+q^3+.......q^{i-2}+q^{i-1})=\ldots$.
[/mm]
Vereinfache so weit du kommst! Starte mit dem Ausmultiplizieren der Klammern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
kurze frage noch dazu: ich hab ja jz nicht j=1 sondern j=0 als laufvariable bzw startwert.ändert sich da jz was?
und wann komm ich denn bei q^(i-1) an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> kurze frage noch dazu: ich hab ja jz nicht j=1 sondern j=0
> als laufvariable bzw startwert.ändert sich da jz was?
Sorry, da habe ich gepennt. Gut, dass du aufpasst.
Um [mm] $\summe_{j=0}^{i-1}q^j$ [/mm] zu bestimmen, sind (j=0 bis j=i-1 in [mm] $q^j$ [/mm] einsetzen:) [mm] $q^0,q^1,q^2,\ldots,q^{i-2},q^{i-1}$ [/mm] zu addieren. Also
[mm] $\summe_{j=0}^{i-1}q^j=q^0+q^1+\q^2+\ldots+q^{i-1}+q^{i-2}$.
[/mm]
Verwende dies statt [mm] $\summe_{j=1}^{i-1}q^j$ [/mm] bei der Berechnung!
> und wann komm ich denn bei q^(i-1) an?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Meinst du [mm] $q^i$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ja du schreibst ja immer [mm] \summe_{j=0}^{i-1} q^i= g^0+q^1+q^2+.....+q^i-2+q^i-1 [/mm] doch was kommt zw den pünktchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ja du schreibst ja immer [mm]\summe_{j=0}^{i-1} q^i= g^0+q^1+q^2+.....+q^i-2+q^i-1[/mm]
> doch was kommt zw den pünktchen?
Nicht ganz: Es muss
[mm] $\summe_{j=0}^{i-1} q^j= q^0+q^1+q^2+.....+q^{i-2}+q^{i-1}$
[/mm]
heißen.
Nehmen wir mal das Beispiel $i=7$: Dann haben wir
[mm] $\summe_{j=0}^{7-1}q^j=q^0+q^1+q^2+q^3+q^4+\underbrace{q^5}_{=q^{7-2}}+\underbrace{q^6}_{=q^{7-1}}$.
[/mm]
Z.B. für $i=100$ hätten wir 100 Summanden. Das schreibe ich jetzt nicht aus... 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
doch wie viel summanden hab ich jz bei i-1 anstatt von 7-1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> doch wie viel summanden hab ich jz bei i-1 anstatt von 7-1
Für jede natürliche Zahl von 0 bis i-1 haben wir einen Summanden.
Es gibt genau i natürliche Zahlen von 0 bis i-1.
Also haben wir $i$ viele Summanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
das hab ich mir schon gedacht....schade ich dacht es geht einfacher :)
also kan ich dieses sigma nicht auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> das hab ich mir schon gedacht....schade ich dacht es geht
> einfacher :)
Wenn dir das mit den Pünktchen zu kompliziert ist, kannst du ja zunächst einmal das Beispiel $i=7$ durchrechnen. Dann siehst du vielleicht, was auch für beliebige $i$ passiert.
> also kan ich dieses sigma nicht auflösen?
Ohne Pünktchen nicht.
(Es ist auch möglich, das Summenzeichen rekursiv zu definieren und dann mit vollständiger Induktion zu arbeiten. Aber das erscheint mir komplizierter als die Verwendung der Pünktchen-Notation.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
kannst du mir jz noch sagen wie ich bei dem term jz weiter komme? weil ich weis nicht wie ich da anfangen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> kannst du mir jz noch sagen wie ich bei dem term jz weiter
> komme? weil ich weis nicht wie ich da anfangen soll
Nehmen wir zunächst das Beispiel $i=7$.
Dann ist
[mm] $1+(q-1)\summe_{j=0}^{7-1}q^j =1+(q-1)(q^0+q^1+q^2+q^3+q^3+q^4+q^5+q^6)=\ldots$
[/mm]
zu berechnen. Starte mit dem Ausmultiplizieren der Klammern!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
dann habe ich [mm] :2+2*q+2*q^2+2*q^3+2*q^4+2*q^5+q^6 [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> dann habe ich [mm]:2+2*q+2*q^2+2*q^3+2*q^4+2*q^5+q^6[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast offenbar aus dem (q-1) ein (q+1) gemacht.
(Konsequenterweise müsste es am Ende dann [mm] $2*q^6+q^7$ [/mm] anstelle von [mm] $q^6$ [/mm] heißen.)
Versuche es noch einmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ach ja stimmt ich hab mich schon wieder vertan...
dann steht nur noch da [mm] q^i=q^7
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ach ja stimmt ich hab mich schon wieder vertan...
> dann steht nur noch da [mm]q^i=q^7[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schön!
Und genau das sollte ja gemäß der Behauptung auch herauskommen.
Gehe nun in der gleichen Art für beliebiges $i$ vor (mit Pünktchen-Notation)!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ok verstanden :)) danke tobias!!
und wie beweise ich das mit dem q? ich hab doch jz nur i bewiesen oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ok verstanden :)) danke tobias!!
In der kurzen Zeit hast du die gesamte Rechnung noch einmal für beliebiges $i$ geschafft?
> und wie beweise ich das mit dem q? ich hab doch jz nur i
> bewiesen oder nicht?
Was meinst du mit "$i$ beweisen"? Bisher hast du Teil a) der Aufgabe im Spezialfall $i=7$ gelöst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 08.10.2013 | | Autor: | Illihide |
ja hab ich auch grad gemerkt :) bin so aufgeregt weil ich es jz verstanden hab :))
ich glaub das wird jz die letzte frage sein :) :
kannst du mir noch bei aufgabe b) kurz helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ja hab ich auch grad gemerkt :) bin so aufgeregt weil ich
> es jz verstanden hab :))
Schön!
> ich glaub das wird jz die letzte frage sein :) :
> kannst du mir noch bei aufgabe b) kurz helfen?
Ganz so trivial erscheint mir die Aufgabe b) nicht.
Sei also $n$ eine natürliche Zahl. Zu zeigen ist, dass sie genau dann durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme $q$ durch 9 teilbar ist.
Beispielsweise $n=12345$ würde
[mm] $n=1*10^4+2*10^3+3*10^2+4*10^1+5*10^0$
[/mm]
gelten. Die Quersumme von $n=12345$ wäre $q=1+2+3+4+5$.
Sei nun $n$ beliebig. Dann hat $n$ die Gestalt
[mm] $n=a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+a_{k-2}10^{k-2}+\ldots+a_210^2+a_110^1+a_010^0$
[/mm]
für ein [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] und gewisse [mm] $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
[/mm]
Die Quersumme von $n$ lautet dann
[mm] $q=a_k+a_{k-1}+a_{k-2}+\ldots+a_2+a_1+a_0$.
[/mm]
Setze nun in der Darstellung von $n$ mithilfe der [mm] $a_i$ [/mm] für jede auftretende Potenz von 10 die Formel aus a) (mit $q=10$) für diese Potenz ein.
Klammere dann die auftretenden Neunen aus.
Ziel ist, zu sehen, dass sich $n$ und $q$ nur um ein Vielfaches von $9$ unterscheiden, genauer gesagt, dass $n=q+9*m$ für ein [mm] $m\in\IN_0$ [/mm] gilt.
Daraus kann man dann folgern, dass $n$ tatsächlich genau dann durch 9 teilbar ist, wenn $q$ durch $9$ teilbar ist.
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