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| Aufgabe | Sei X eine Menge und [mm] d_1 [/mm] resp. [mm] d_2 [/mm] Metriken. Sei [mm] (X,d_1) [/mm] kompakt.
1)
Zwei Metriken heissen äquivalent wenn es zwei Konstanten [mm] $C_1 [/mm] , [mm] C_2 [/mm] >0$ gibt, so dass
[mm] $C_1*d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le C_2 [/mm] * [mm] d_1(x,y) \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X$
Zeige: Wenn die Metriken [mm] d_1 [/mm] , [mm] d_2 [/mm] äquivalent [mm] \Rightarrow (X,d_2) [/mm] kompakt
2)
Wenn beide Räume die gleichen offenen Mengen haben, ist [mm] (X,d_2) [/mm] kompakt. |
1)
Aus obiger Definition der Äquivalenz folgt
[mm] B_{d_1} (x,\bruch{\epsilon * C_1}{C_2}) \subset B_{d_2} (x,\epsilon*C_1) \subset B_{d_1} (x,\epsilon) [/mm] (*)
[mm] (X,d_1) [/mm] kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] Jede offene Überdeckung von X hat endliche Teilüberdeckung.
Sei [mm] \epsilon [/mm] so, dass [mm] B_{d_1} (0,\bruch{\epsilon*C_1}{C_2}) [/mm] (**) X überdeckt. Dies ist aber eine Überdeckung, welche wg. (*) in [mm] B_{d_1} (0,\epsilon) [/mm] enthalten ist. Also ist auch [mm] B_{d_1} [/mm] eine Überdeckung von X.
Weil [mm] B_{d_1} (0,\bruch{\epsilon*C_1}{C_2}) \subset B_{d_2} (0,\epsilon*C_1) \subset B_{d_1} (0,\epsilon) [/mm] und weil endliche Teilüberdeckungen für [mm] B_{d_1} (0,\bruch{\epsilon*C_1}{C_2}) [/mm] und [mm] B_{d_1} (0,\epsilon) [/mm] existieren [mm] ((X,d_1) [/mm] kompakt) folgt, dass es eine endliche Teilüberdeckung von [mm] B_{d_2} (0,\epsilon*C_1) [/mm] gibt.
[mm] \rightarrow (X,d_2) [/mm] kompakt
2)
Wenn [mm] B_{d_2}(0,\epsilon) [/mm] = [mm] B_{d_1} (0,\epsilon) [/mm] folgt trivialerweise:
Sei [mm] \epsilon [/mm] so, dass [mm] B_{d_1} (0,\epsilon) [/mm] X überdeckt. [mm] (X,d_1) [/mm] kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] endliche Teilüberdeckung von X für diese Überdeckung. Da [mm] B_{d_1}(0,\epsilon) [/mm] = [mm] B_{d_2} (0,\epsilon) [/mm] ist dies auch eine endliche Teilüberdeckung für [mm] B_{d_2} (0,\epsilon) \Rightarrow (X,d_2) [/mm] kompakt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei X eine Menge und [mm]d_1[/mm] resp. [mm]d_2[/mm] Metriken. Sei [mm](X,d_1)[/mm]
> kompakt.
>
> 1)
> Zwei Metriken heissen äquivalent wenn es zwei Konstanten
> [mm]C_1 , C_2 >0[/mm] gibt, so dass
> [mm]C_1*d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le C_2 * d_1(x,y) \forall x,y \in X[/mm]
>
> Zeige: Wenn die Metriken [mm]d_1[/mm] , [mm]d_2[/mm] äquivalent [mm]\Rightarrow (X,d_2)[/mm]
> kompakt
>
> 2)
> Wenn beide Räume die gleichen offenen Mengen haben, ist
> [mm](X,d_2)[/mm] kompakt.
> 1)
> Aus obiger Definition der Äquivalenz folgt
> [mm]B_{d_1} (x,\bruch{\epsilon * C_1}{C_2}) \subset B_{d_2} (x,\epsilon*C_1) \subset B_{d_1} (x,\epsilon)[/mm]
> (*)
> [mm](X,d_1)[/mm] kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] Jede offene Überdeckung von X
> hat endliche Teilüberdeckung.
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] so, dass [mm]B_{d_1} (0,\bruch{\epsilon*C_1}{C_2})[/mm]
> (**) X überdeckt.
Wie soll das denn gehen ? Und was ist "0" in einem allg. metrischen Raum ?
> Dies ist aber eine Überdeckung, welche
> wg. (*) in [mm]B_{d_1} (0,\epsilon)[/mm] enthalten ist. Also ist
> auch [mm]B_{d_1}[/mm] eine Überdeckung von X.
>
> Weil [mm]B_{d_1} (0,\bruch{\epsilon*C_1}{C_2}) \subset B_{d_2} (0,\epsilon*C_1) \subset B_{d_1} (0,\epsilon)[/mm]
> und weil endliche Teilüberdeckungen für [mm]B_{d_1} (0,\bruch{\epsilon*C_1}{C_2})[/mm]
> und [mm]B_{d_1} (0,\epsilon)[/mm] existieren [mm]((X,d_1)[/mm] kompakt)
> folgt, dass es eine endliche Teilüberdeckung von [mm]B_{d_2} (0,\epsilon*C_1)[/mm]
> gibt.
>
> [mm]\rightarrow (X,d_2)[/mm] kompakt
Ne, ne, so nicht. Obiges ist wirr und konfus.
Schau Dir nochmal den Begriff "überdeckungskompakt" an.
Viel bequemer hast Du es, wenn Du mit "folgenkompakt" arbeitest. ( in metr. Räumen ist "überdeckungskompakt"= "folgenkompakt")
>
>
> 2)
> Wenn [mm]B_{d_2}(0,\epsilon)[/mm] = [mm]B_{d_1} (0,\epsilon)[/mm] folgt
> trivialerweise:
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] so, dass [mm]B_{d_1} (0,\epsilon)[/mm] X überdeckt.
> [mm](X,d_1)[/mm] kompakt [mm]\Rightarrow \exists[/mm] endliche
> Teilüberdeckung von X für diese Überdeckung. Da
> [mm]B_{d_1}(0,\epsilon)[/mm] = [mm]B_{d_2} (0,\epsilon)[/mm] ist dies auch
> eine endliche Teilüberdeckung für [mm]B_{d_2} (0,\epsilon) \Rightarrow (X,d_2)[/mm]
> kompakt.
Nein. Gleiche Kritik wie oben.
FRED
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Mit folgenkompaktheit:
1)
Sei [mm] (x_n)_n \in [/mm] X Cauchy-Folge
[mm] (X,d_1) [/mm] kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Grenzwert x: [mm] \forall \delta [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] d_1(x_n,x)< \delta \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Da [mm] d_2(x,y)\le C_2*d_1(x,y) [/mm] folgt für alle diese [mm] n\ge [/mm] N mit [mm] \delta<\bruch{\epsilon}{C_2}
[/mm]
[mm] d_2(x_n,x)<\epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
2)
Sei [mm] (x_n)_n \in [/mm] X Cauchy-Folge
[mm] (X,d_1) [/mm] kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Grenzwert x: [mm] \forall \delta [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] d_1(x_n,x)< \delta \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Aber wenn [mm] B_{d_1}(x,\delta)=B_{d_2}(x,\delta)
[/mm]
[mm] d_1(x_n,x)< \delta \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \Rightarrow x_n \in B_{d_1}(x,\delta) \Rightarrow x_n \in B_{d_2}(x,\delta) \Rightarrow d_2(x_n,x)<\delta \forall [/mm] n [mm] \ge \IN
[/mm]
Mit [mm] \delta<\epsilon [/mm] gilt also [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] d_2(x_n,x)<\epsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mit folgenkompaktheit:
>
> 1)
> Sei [mm](x_n)_n \in[/mm] X Cauchy-Folge
> [mm](X,d_1)[/mm] kompakt [mm]\Rightarrow \exists[/mm] Grenzwert x: [mm]\forall \delta[/mm]
> >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]d_1(x_n,x)< \delta \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>
> Da [mm]d_2(x,y)\le C_2*d_1(x,y)[/mm] folgt für alle diese [mm]n\ge[/mm] N
> mit [mm]\delta<\bruch{\epsilon}{C_2}[/mm]
> [mm]d_2(x_n,x)<\epsilon \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>
>
> 2)
> Sei [mm](x_n)_n \in[/mm] X Cauchy-Folge
> [mm](X,d_1)[/mm] kompakt [mm]\Rightarrow \exists[/mm] Grenzwert x: [mm]\forall \delta[/mm]
> >0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]d_1(x_n,x)< \delta \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>
> Aber wenn [mm]B_{d_1}(x,\delta)=B_{d_2}(x,\delta)[/mm]
>
> [mm]d_1(x_n,x)< \delta \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N [mm]\Rightarrow x_n \in B_{d_1}(x,\delta) \Rightarrow x_n \in B_{d_2}(x,\delta) \Rightarrow d_2(x_n,x)<\delta \forall[/mm]
> n [mm]\ge \IN[/mm]
>
> Mit [mm]\delta<\epsilon[/mm] gilt also [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
> [mm]d_2(x_n,x)<\epsilon[/mm]
Das ist alles Unsinn !
Mach Dir die Mühe und schau nach, wie "folgenkompakt" def. ist.
FRED
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Danke, sry...
Folgenkompakt=Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
[mm] (x_n)_n \in [/mm] X Folge
[mm] (X,d_1) [/mm] kompakt:
Dann [mm] \exists n_k [/mm] : [mm] (x_n_k)_n_k [/mm] konvergiert gegen x in [mm] (X,d_1) [/mm] also
[mm] \forall \delta>0 \exists N\in \IN [/mm] : [mm] d_1(x_n_k [/mm] , [mm] x)<\delta \forall n_k \ge [/mm] N
Darf man denn hier so vorgehen nun?:
Mit [mm] \delta [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{C_2} [/mm] ist wegen obiger Äquivalenz
[mm] d_2(x_n_k [/mm] , x) < [mm] \epsilon
[/mm]
Also existiert zu jeder beliebigen Folge in X eine Teilfolge, die in [mm] (X,d_2) [/mm] konvergiert.
Ist dieser erste Teil mal in Ordnung so? Was ist falsch?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Vor: [mm] (X,d_1) [/mm] ist kompakt
und es ex. [mm] C_1>0,C_2>0 [/mm] mit:
(*) $ [mm] C_1\cdot{}d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le C_2 \cdot{} d_1(x,y) ~~~~\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X $
Beh.: [mm] (X,d_2) [/mm] ist kompakt.
Beweis: wir nehmen eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in X her. Da [mm] (X,d_1) [/mm] ist kompakt ist, ex. eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] und ein x [mm] \in [/mm] X mit:
[mm] d_1(x_{n_k},x) \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Aus (*) folgt nun:
[mm] d_2(x_{n_k},x) \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Damit enthält [mm] (x_n) [/mm] eine in [mm] (X,d_2) [/mm] konvergente Teilfolg.
FRED
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Aber dann war mein Beweis wohl auch richtig, ja?
2)
Vor.: [mm] (X,d_1) [/mm] kompakt , [mm] (X,d_1) [/mm] und [mm] (X,d_2) [/mm] haben die gleichen offenen Mengen [mm] (\*)
[/mm]
Beh.: [mm] (X,d_2) [/mm] kompakt
Beweis:
Sei [mm] (x_n) [/mm] Folge in X . [mm] (X,d_1) [/mm] kompakt [mm] \Rightarrow \exists [/mm] Teilfolge [mm] (x_n_k) [/mm] und x so dass
[mm] $d_1(x_n_k [/mm] , x) [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $k [mm] \rightarrow \infty$
[/mm]
Wie gehts hier weiter?
Ich würde argumentieren mit :
[mm] B_{d_1}(x,\epsilon) [/mm] enthält unendlich viele Folgenglieder von [mm] x_n \forall \epsilon>0 [/mm] . Wegen [mm] (\*) [/mm] sind diese auch in [mm] B_{d_2}(x,\epsilon)
[/mm]
Somit konvergiert die Menge [mm] B_{d_2}(x,\bruch{1}{n}) [/mm] gegen [mm] \{ x \} [/mm] für n [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
also muss [mm] d_2(x_n_k, [/mm] x) [mm] \rightarrow [/mm] 0 für k [mm] \rightarrow \infty [/mm] gelten.
????
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Ist das denn falsch, wenn man so argumentiert?
Stimmt meine Interpretation$ [mm] (X,d_1) [/mm] , [mm] (X,d_2)$ [/mm] gleiche offene Mengen [mm] $\leftrightarrow B_{d_1}(x,\delta)=B_{d_2}(x,\delta)$?
Oder müsste hier$ B_{d_1} (x,\delta)=B_{d_2}(x,\epsilon)$ für ein $ \epsilon $gelten?
Grüsse
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das denn falsch, wenn man so argumentiert?
ich hab's nicht überdacht (bin auch zu faul gewesen, um das nochmal
durchzulesen, ehrlich gesagt), aber wenn Fred sagt, dass der Beweis
falsch war, dann wird die Argumentation sicher Fehler enthalten haben!
> Stimmt meine Interpretation[mm] (X,d_1) , (X,d_2)[/mm] gleiche
> offene Mengen [mm]\leftrightarrow B_{d_1}(x,\delta)=B_{d_2}(x,\delta)[/mm]?
Nein!
> Oder müsste hier[mm] B_{d_1} (x,\delta)=B_{d_2}(x,\epsilon)[/mm]
> für ein [mm]\epsilon [/mm]gelten?
Auch das nicht. Warum sind offene Mengen bei Dir denn nur offene Bälle?
Denk' doch einfach mal drüber nach:
Seien [mm] $\mathcal{O}_1:=\{O \subseteq X: O \text{ ist offen bzgl. }d_1\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{O}_2:=\{\tilde{O} \subseteq X: \tilde{O} \text{ ist offen bzgl. }d_2\}\,.$
[/mm]
(Nebenbei: Dann sind [mm] $(X,\mathcal{O}_j)$ [/mm] für $j=1,2$ topologische Räume!)
Dass [mm] $(X,d_1)$ [/mm] und [mm] $(X,d_2)$ [/mm] die gleichen offene Mengen haben,
bedeutet nichts anderes, als dass [mm] $\mathcal{O}_1=\mathcal{O}_2$
[/mm]
gilt.
Und eine Menge $T [mm] \subseteq [/mm] X$ ist genau dann offen bzgl. [mm] $d_j\,$ [/mm] (also $T [mm] \in \mathcal{O}_j$),
[/mm]
wenn gilt: Zu jedem $t [mm] \in [/mm] T$ existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
[mm] $B_{d_j}(t,\epsilon):=\{x \in X: d_j(t,x) < \epsilon\} \subseteq [/mm] T$ folgt.
(Nebenbei: Man könnte sich bei der obigen Aufgabe vll. darauf
beschränken, nur mit offenen Bällen zu argumentieren. Dann braucht man
aber sicher Begriffe wie (abzählbare) Basis einer Topologie etc. pp..)
Und nur, damit Dir mal klar ist, dass eine offene Menge nicht einfach nur
ein offener Ball sein muss: In [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] ist die Menge
$$]-2,1[ [mm] \;\cup\; [/mm] ]3,5[$$
offenbar kein offener Ball, nichtsdestotrotz offen!
Ein weiteres Beispiel:
In [mm] $(\IR^2,d_{\|.\|_2})$ [/mm] ist [mm] $\{(x,y) \in \IR^2: x > 0 \text{ und }y > 0\}$
[/mm]
auch offen - aber bzgl. [mm] $d_{\|.\|_2}$ [/mm] sicher kein offener Ball!
Also merke: In [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ist $T [mm] \subseteq [/mm] X$ genau dann offen, wenn wir
für jedes Element $t [mm] \in [/mm] T$ einen - in [mm] $X\,$ [/mm] bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] - offenen Ball finden,
der selbst schon ganz in [mm] $T\,$ [/mm] liegt.
In dieser Formulierung ist zu beachten: Ist man an der Stelle [mm] $t_1 \in T\,,$
[/mm]
und haben wir nun einen [mm] $B_d(t_1,\epsilon_1)$ [/mm] Ball wie gewünscht,
gefunden, und gehen wir nun an eine Stelle $t [mm] \not=t_1\,,$ [/mm] $t [mm] \in T\,,$
[/mm]
und ist [mm] $T\,$ [/mm] offen, so darf natürlich an der Stelle [mm] $t\,$ [/mm] der Ball
[mm] $B_d(t,\epsilon)$ [/mm] mit einem anderen [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ausgestattet sein:
Es wird also mit [mm] $\epsilon_1,\;\epsilon [/mm] > 0$ sicher i.a. dann auch gelten
[mm] $$\epsilon_1=\epsilon(t_1) \not= \epsilon=\epsilon(t)\,.$$
[/mm]
P.S.
Deswegen mach' Dir klar, dass es hier einen wichtigen Unterschied in den
beiden Formulierungen gibt:
1. Für alle $t [mm] \in [/mm] T$ existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass...
2. Es existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass für alle $t [mm] \in T\,$...
[/mm]
Und mach' Dir klar, was hier der entscheidende Unterschied ist (also wo
der Unterschied in den Bedeutungen liegt)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber dann war mein Beweis wohl auch richtig, ja?
Nein, das war er nicht.
>
> 2)
> Vor.: [mm](X,d_1)[/mm] kompakt , [mm](X,d_1)[/mm] und [mm](X,d_2)[/mm] haben die
> gleichen offenen Mengen [mm](\*)[/mm]
>
> Beh.: [mm](X,d_2)[/mm] kompakt
> Beweis:
> Sei [mm](x_n)[/mm] Folge in X . [mm](X,d_1)[/mm] kompakt [mm]\Rightarrow \exists[/mm]
> Teilfolge [mm](x_n_k)[/mm] und x so dass
>
> [mm]d_1(x_n_k , x) \rightarrow 0[/mm] für [mm]k \rightarrow \infty[/mm]
>
> Wie gehts hier weiter?
>
> Ich würde argumentieren mit :
> [mm]B_{d_1}(x,\epsilon)[/mm] enthält unendlich viele Folgenglieder
> von [mm]x_n \forall \epsilon>0[/mm] . Wegen [mm](\*)[/mm] sind diese auch in
> [mm]B_{d_2}(x,\epsilon)[/mm]
>
> Somit konvergiert die Menge [mm]B_{d_2}(x,\bruch{1}{n})[/mm] gegen
> [mm]\{ x \}[/mm] für n [mm]\rightarrow \infty[/mm]
Das ist doch Unfug ! Konvergenz von Mengen ? Sowas kann man definieren, aber das hat hier nichts zu suchen.
>
> also muss [mm]d_2(x_n_k,[/mm] x) [mm]\rightarrow[/mm] 0 für k [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> gelten.
>
> ????
Also, obiger "Beweis" ist Quark.
In diesem Aufgabenteil bietet es sich an, mit "überdeckungskompakt" zu argumentieren:
Eine Teilmenge A von X nenne ich [mm] d_j [/mm] - offen, wenn A in [mm] (X,d_j) [/mm] offen ist.
Wir haben also
Vor.: [mm] (X,d_1) [/mm] ist kompakt und für alle teilmengen A von X gilt:
(*) A ist [mm] d_1 [/mm] - offen [mm] \gdw [/mm] A ist [mm] d_2 [/mm] - offen.
Beh.: [mm] (X,d_2) [/mm] ist kompakt.
Beweis: Sei [mm] (A)_{i \in I} [/mm] eine [mm] d_2 [/mm] - offene Überdeckung von X. Wegen (*) ist [mm] (A)_{i \in I} [/mm] auch eine [mm] d_1 [/mm] - offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist
..... mach Du mal weiter.
FRED
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Danke.
Da X kompakt ist existiert eine endliche Teilüberdeckung [mm] (C_k)_{k \in K} [/mm] von [mm] (A_j)_{j \in I} [/mm] mit [mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K [mm] \exists j\in [/mm] I [mm] C_k=A_j [/mm]
Also hat jede [mm] d_2 [/mm] - offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung, da [mm] (A_j)_{j \in I} [/mm] beliebig war.
Es folgt, dass [mm] (X,d_2) [/mm] kompakt
???
Kann man nun sagen, dass alle der [mm] A_j d_1-offen [/mm] sind? Muss ja nicht zwingend sein, oder?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke.
> Da X kompakt ist existiert eine endliche Teilüberdeckung
> [mm](C_k)_{k \in K}[/mm] von [mm](A_j)_{j \in I}[/mm] mit [mm]\forall[/mm] k [mm]\in[/mm] K
> [mm]\exists j\in[/mm] I [mm]C_k=A_j[/mm]
>
> Also hat jede [mm]d_2[/mm] - offene Überdeckung von X eine endliche
> Teilüberdeckung, da [mm](A_j)_{j \in I}[/mm] beliebig war.
>
> Es folgt, dass [mm](X,d_2)[/mm] kompakt
So ist es.
> ???
>
> Kann man nun sagen, dass alle der [mm]A_j d_1-offen[/mm] sind?
> Muss ja nicht zwingend sein, oder?
Mann, mann. Nach Vor. ist doch jede [mm] d_2 [/mm] - offene Menge auch [mm] d_1 [/mm] - offen.
FRED
>
> Grüsse
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Also danke dir.
Nein es war eher so gemeint, dass die Vereinigung eine offene Menge sein muss, jedoch nicht die einzelnen Teilmengen dieser. Aber schon klar, ich habs nur falsch ausgelegt.
Alles klar :)
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, sry...
>
> Folgenkompakt=Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
>
> [mm](x_n)_n \red{\in X}[/mm] Folge
das ist falsch geschrieben: Es gibt mehrere Notationsmöglichkeiten:
- (eine schlechte, wie ich finde, da da ein Mengensymbol verwendet wird):
Sei [mm] $\{x_n: n \in \IN\} \subseteq [/mm] X$ eine Folge (in [mm] $X\,.$) [/mm] (Schlecht, da symbolisch
Verwechslungsgefahr mit der Menge [mm] $\{x_n: n \in \IN\}\,.$)
[/mm]
- Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge (mit Werten) in [mm] $X\,...$
[/mm]
- Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x_n \in [/mm] X$ für (alle) $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Und, die, wie ich finde, eigentlich schönste, wenn man den Begriff
"kartesisches Produkt" kennt:
- Sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN} \in X^{\red{\IN}}\,.$
[/mm]
Fred kennt da sicher auch noch andere, ich habe jetzt die aufgezählt,
die mir gerade eingefallen sind!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Bemerkung (teile sie Deinem Dozenten mit):
Sind [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] Metriken auf X, so ist es nicht (!) üblich diese Metriken als äquivalent zu bezeichnen, wenn mit [mm] C_1, C_2>0 [/mm] gilt
(*) $ [mm] C_1\cdot{}d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le C_2 \cdot{} d_1(x,y) \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X $
Man nennt [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] äquivalent, wenn diese Metriken dieselbe Topologie erzeugen. Das ist etwas anderes als (*)
Beispiel: X= [mm] \IR, d_1(x,y)=|x-y| [/mm] und [mm] d_2(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)|.
[/mm]
[mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] erzeugen auf [mm] \IR [/mm] dieselbe Topologie.
[mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] sind aber nicht im Sinne von (*) äquivalent, denn anderenfalls wären [mm] (\IR,d_1) [/mm] und [mm] (\IR, d_2) [/mm] beide vollständig. Tatsächlich ist aber [mm] (\IR, d_2) [/mm] kein vollständiger Raum.
Man kann es auch direkt sehen, dass (*) nicht gelten kann: wäre etwa
[mm] C_1\cdot{}d_1(x,y) \le d_2(x,y) [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR,
[/mm]
so würde folgen (mit y=0):
[mm] C_1|x| \le [/mm] |arctan(x)| für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann hätten wir aber:
[mm] C_1|x| \le \bruch{\pi}{2} [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Wegen [mm] C_1>0 [/mm] ist das aber Quark.
FRED
FRED
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