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| Aufgabe | Welche der Folgenden Funktionen ist Lösung der Differntialgleichung?
a) $y: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] y(x) := [mm] \cosh{x} [/mm] + [mm] \sinh{\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
$y' = f(x,y)$ mit $f: [mm] \mathbb{R} \times [/mm] ]-1,1[ [mm] \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \frac{\sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
b) $y: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] y(x) := [mm] \sinh{x} [/mm] + [mm] \cosh{\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
$y' = f(x,y)$ mit $f: [mm] \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \frac{\sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+x^2}}$ [/mm] |
zu a) Es muss ja gelten: für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm] $(x,y(x)) [mm] \in \mathbb{R} \times [/mm] ]-1,1[$, aber z.B. für $x=0$ ist $y(0) > 1$ also $ (0,y(0)) [mm] \notin \mathbb{R} \times [/mm] ]-1,1[$
also wäre diese Funktion keine Lösung der Diff.gl.
zu b)
Hier komme ich aber leider nicht ganz weiter..
$y' = f(x,y)$ also
[mm] $\cosh{x} [/mm] + [mm] \frac{\sinh{\sqrt{1+x^2}*x}}{\sqrt{1+x^2}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
Wenn ich in der rechten Seite für $y$ die gegebene Funktion einsetze und versuche das zu lösen, dann kommt bei mir nichts brauchbares raus. Gibt es noch eine andere Möglichkeit um zu prüfen ob die Funktion eine Lösung ist, ausser einsetzen und umformen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 20.10.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch untersuchen, ob die Lösungen die Dgl erfüllen, dazu musst du erstmal y' bilden, und untersuchen, ob das die Dgl erfüllt, danach kümmerst du dich um Def. Bereich.
in b schreibst du dass die Lösung y' sein soll?
Gruß leduart
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zu a)
Warum genau muss ich das zuest überprüfen? Es gilt doch $cosh(x) > 1$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\sinh{\sqrt{1+x^2}} [/mm] > 0$ also kann das ja nie im Definitionsbereich von $f$ liegen, oder?
und zu b)
Wenn ich überprüfen will ob y eine Lösung ist dann muss ich doch zeigen dass y' = f(x,y) ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> zu a)
> Warum genau muss ich das zuest überprüfen? Es gilt doch
> [mm]cosh(x) > 1[/mm] für alle [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] und
> [mm]\sinh{\sqrt{1+x^2}} > 0[/mm] also kann das ja nie im
> Definitionsbereich von [mm]f[/mm] liegen, oder?
Du hast völlig recht.
Stellen wir mal klar, was man unter einer Lösung einer DGL versteht:
Sei D eine Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion , I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und y:I [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion.
y ist eine Lösung der DGL
y'(x)=f(x,y)
wenn
1. (x,y(x)) [mm] \in [/mm] D für alle x [mm] \in [/mm] I
und
2. y'(x)=f(x,y(x)) für alle x [mm] \in [/mm] I.
>
> und zu b)
> Wenn ich überprüfen will ob y eine Lösung ist dann muss
> ich doch zeigen dass y' = f(x,y) ist.
In b) haben wir folgende Situation:
$ y: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] y(x) := [mm] \sinh{x} [/mm] + [mm] \cosh{\sqrt{1+x^2}} [/mm] $
$ y' = f(x,y) $ mit $ f: [mm] \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \frac{\sqrt{1+y^2}}{\sqrt{1+x^2}} [/mm] $
Hier ist also D= [mm] \IR^2, I=\IR [/mm] und [mm] $y(x)=\sinh{x} [/mm] + [mm] \cosh{\sqrt{1+x^2}} [/mm] $
Die erste Bedingung (x,y(x)) $ [mm] \in [/mm] $ D für alle x $ [mm] \in [/mm] $ I ist natürlich erfüllt.
Es ist also noch zu prüfen, ob
(*) y'(x)=f(x,y(x)) für alle x $ [mm] \in [/mm] $ I
richtig ist.
Zu prüfen ist also:
y'(x)= [mm] \frac{\sqrt{1+y(x)^2}}{\sqrt{1+x^2}} [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeige: die letzte Gleichung ist in x=0 nicht erfüllt.
Obiges y ist also keine Lösung der DGL.
FRED
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