Zeige f bijektiv & f^-1 exist. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $f:\IR^2 \to \IR^2, [/mm] f(x,y)=(x+h(y) , y+h(x))$, wobei $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion mit $|h'(t)| [mm] \le [/mm] q < 1$ für alle $t [mm] \in \IR$ [/mm] sei. Zeige, dass [mm] $f:\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] bijektiv ist und eine stetig differenzierbare Inverse [mm] f^{-1} [/mm] besitzt. |
Hey,
für diese Aufgabe muss ich drei Sachen zeigen. Zunächst, dass f lokal invertierbar ist. Hierzu zeige ich, dass die Jacobideterminante nicht 0 ist für alle (x,y). Dies habe ich auch schon gemacht.
Probleme bereitet mir allerdings die Bijektivität. Also zunächst die Injektivität:
Z.z.: Aus [mm] f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \Rightarrow (x_1,y_1)=(x_2,y_2).
[/mm]
Ich erhalte also insgesamt zwei Gleichungen:
I) [mm] x_1+h(y_1)+x_2+h(y_2)
[/mm]
II) [mm] y_1+h(x_1)=y_2+h(x_2)
[/mm]
Wie kann ich dies nun umformen, sodass ich auf [mm] x_1=x_2 [/mm] und [mm] y_1=y_2 [/mm] komme?
Fehlt noch die Surjektivität. Da komme ich gar nicht weiter. Ich habe allerdings einen Hinweis, wie ich zeigen soll, dass der Bildbereich ganz [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Zeige, dass [mm] g(p):=||f(p)-a||^2, [/mm] a [mm] \in \IR^2 [/mm] beliebig ein Minimum besitzt und dieses Minimum gleich Null ist.
Ich verstehe noch nicht einmal, wie ich dann so die Surjektivität gezeigt habe..!?
Würd mich freuen, wenn mir da jemand ein paar Tipps geben kann.
Danke. Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Di 24.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Aus f(x,y) = f(u,v) erhälst Du (wie Du es selbst schon gemacht hast)
h(v)-h(y) = x-u
und
h(x)-h(u) = v-y
Wende nun auf jede der beiden letzten Gleichungen den Mittelwertsatz an.
Wenn Du nun annimst, dass xungleich u oder y ungleich v, dann erhälst Du einen Widerspruch zur Vor. an h'.
Damit ist f injektiv.
FRED
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