Zeigen Einheit in Z[sqrt(d)] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | | Zeige, dass (x+y [mm] \wurzel{d}) [/mm] eine Einheit in [mm] \IZ[\wurzel{d}] [/mm] ist. |
Hallo!
Dieses ist eigentlich nur ein Teilproblem einer anderen Frage, aber ich dachte vielleicht ist es so übersichtlicher ;)
Ich habe leider nie eine detallierte Ringe-Vorlesung gehabt, sodass ich nicht wirklich mit Einheiten und co. umzugehen weiß.
Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass es a,b [mm] \in \IZ[\wurzel{d}] [/mm] geben muss, sodass (a+b [mm] \wurzel{d})(x+y \wurzel{d}) [/mm] = 1 (der Tipp wurde mir schon gegeben ;) )
Leider ist mein Wissen so gering, dass ich nicht mal weiß wie ich das zeigen soll.
Ich habe versucht in anderen Vorlesungen die Beispiele nach zu vollziehen, aber irgendwie ist mir das alles ziemlich unklar.
Herausgefunden habe ich auch, dass ich genauso gut mit der Norm rechnen kann (ich hoffe das stimmt?).
Ich freu mich über jegliche Tipps :)
Liebe Grüße!
Loko
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Hey Loko,
Ich nehm an es geht um dieses Problem hier:
https://matheraum.de/read?i=911747
Es wäre besser, wenn du das in dem Tread klären könntest, denn auf diese Art ist es nicht übersichtlicher.
Im Gegenteil, deine Aussage ist in dieser Form unvollständig (was sollen $x,y$ sein, was soll $d$ sein?) und wenn man spontan mal annimmt $x,y,d$ seien ganze Zahlen ist die Aussage im allgemeinen sogar falsch (wähle etwa $x=2,y=1,d=-1$).
Damit die Aussage stimmt und man sie zeigen kann braucht man also eine ganze Reihe von Vorbedingungen; und damit wären wir dann doch wieder in deinem anderen Tread.
Von daher stell die Frage am besten im zugehörigen Tread, da wissen dann alle worum es geht - und es ist kein Problem mehrere Fragen zur selben Aufgabe zu stellen.
lg
Schadow
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> Zeige, dass (x+y [mm]\wurzel{d})[/mm] eine Einheit in
> [mm]\IZ[\wurzel{d}][/mm] ist.
> Hallo!
>
> Dieses ist eigentlich nur ein Teilproblem einer anderen
> Frage, aber ich dachte vielleicht ist es so
> übersichtlicher ;)
>
> Ich habe leider nie eine detallierte Ringe-Vorlesung
> gehabt, sodass ich nicht wirklich mit Einheiten und co.
> umzugehen weiß.
>
> Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass es a,b [mm]\in \IZ[\wurzel{d}][/mm]
> geben muss, sodass (a+b [mm]\wurzel{d})(x+y \wurzel{d})[/mm] = 1
> (der Tipp wurde mir schon gegeben ;) )
>
Ja, richtig. Aber für die Lösung geht es etwas einfacher:
Nenne das gesuchte Gebilde einfach mal z. Dann ist
z*(x+y [mm] \wurzel{d}) [/mm] = 1
Nun teilst du durch die Klammer:
z = [mm] \bruch{1}{(x+y \wurzel{d})}
[/mm]
Nun versuchst du, den Bruch zu "rationalisieren", indem du die Wurzel aus dem Nenner "entfernst". Tipp: 3. binom. Formel. (Sonst "rationalisieren des Nenners" nachschlagen)
Damit bekommt z dann die gewünschte Form.
Zur Logik: Eigentlich ist das noch kein Beweis, da du einfach benutzt, dass man 1 durch den Ausdruck teilen kann, er also eine Einheit ist - aber das sollst du ja gerade beweisen und darfst es daher nicht voraussetzen.
Indem du das aber doch tust, überlegst du logisch: Wenn der Ausdruck eine Einheit ist, dann müsste sein Inverses z=... lauten. Damit bekommst du das eizig mögliche z.
Der Beweis geht nun so: Du nimmst einfach das so ermittelte z (woher auch immer du es hast), multiplizierst es mit dem Ausdruck und erhältst 1. Das(!) ist dann der Beweis, das der Ausdruck eine Eiheit ist.
> Leider ist mein Wissen so gering, dass ich nicht mal weiß
> wie ich das zeigen soll.
Hoffentlich nicht mehr!
>
> Ich habe versucht in anderen Vorlesungen die Beispiele nach
> zu vollziehen, aber irgendwie ist mir das alles ziemlich
> unklar.
> Herausgefunden habe ich auch, dass ich genauso gut mit der
> Norm rechnen kann (ich hoffe das stimmt?).
>
> Ich freu mich über jegliche Tipps :)
>
> Liebe Grüße!
> Loko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Sa 22.09.2012 | | Autor: | Loko |
Dankeschön!! Ja, das hilft! :)
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