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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 25.11.2008 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1:
Zeigen Sie mit Hilfe der allgemeinen Definition: [mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\(0)} *\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
1. daß (1)' = 0 , (x)' = 1 und (x²)' = 2 x ist und
2. die Faktor- und Summenregel gilt. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2:
1. Benutzen Sie das Additionstheorem des Sinus [sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)]
um das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)
zu beweisen. (Tipp: cos(x) = sin(x + [mm] \bruch{\pi}{2}))
[/mm]
2. Leiten Sie das Additionstheorem des Tangens: tan(x + [mm] y)=\bruch{tan(x) + tan(y)}{1- tan(x)·tan(y)} [/mm] aus den Additionstheoremen
für den Sinus und Kosinus ab.
3. Zeigen Sie, daß
sin(x) + sin(y) = 2 · [mm] sin(\bruch{x+y}{2} [/mm] ) · [mm] cos(\bruch{x-y}{2}) [/mm]
für alle x, y [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt.
(Tipp: x = [mm] \bruch{x+y}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x-y}{2} [/mm] und eine ähnliche Gleichung gilt für y.)
4. Zeigen Sie, daß cosh²(x) − sinh²(x) = 1 für alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt. |
Lösung:
(1) = [mm] \bruch{1+0-1)}{0}
[/mm]
(1)' = [mm] \bruch{0+0+0}{0}
[/mm]
(1)' = 0
ist das richtig??
(x) = [mm] \bruch{(x+0)-x}{0}
[/mm]
(x)' = [mm] \bruch{(1)-1}{0}
[/mm]
--> Wäre ja schon wieder 0 oder nicht??
was mache ich falsch? ich kann doch gar nicht durch 0 Teilen oder?
Bei Aufgabe 2 habe ich überhaupts keinen Plan, wie ich an diese Herleitungen hingehen muss.
Hoffe es kann mir jemand Helfen. Vielen Dank.
Bitte um Hilfe. Danke
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Hallo jojo1484,
> Aufgabe 1:
> Zeigen Sie mit Hilfe der allgemeinen Definition:
> [mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow\(0)} *\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> 1. daß (1)' = 0 , (x)' = 1 und (x²)' = 2 x ist und
> 2. die Faktor- und Summenregel gilt.
> Aufgabe 2:
> 1. Benutzen Sie das Additionstheorem des Sinus [sin(x + y)
> = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)]
> um das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+ y) =
> cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y)
> zu beweisen. (Tipp: cos(x) = sin(x + [mm]\bruch{\pi}{2}))[/mm]
> 2. Leiten Sie das Additionstheorem des Tangens: tan(x +
> [mm]y)=\bruch{tan(x) + tan(y)}{1- tan(x)·tan(y)}[/mm] aus den
> Additionstheoremen
> für den Sinus und Kosinus ab.
> 3. Zeigen Sie, daß
> sin(x) + sin(y) = 2 · [mm]sin(\bruch{x+y}{2}[/mm] ) ·
> [mm]cos(\bruch{x-y}{2})[/mm]
> für alle x, y [mm]\varepsilon \IR[/mm] gilt.
> (Tipp: x = [mm]\bruch{x+y}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x-y}{2}[/mm] und eine
> ähnliche Gleichung gilt für y.)
> 4. Zeigen Sie, daß cosh²(x) − sinh²(x) = 1 für alle
> x [mm]\varepsilon \IR[/mm] gilt.
> Lösung:
> (1) = [mm]\bruch{1+0-1)}{0}[/mm]
> (1)' = [mm]\bruch{0+0+0}{0}[/mm]
> (1)' = 0
> ist das richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (x) = [mm]\bruch{(x+0)-x}{0}[/mm]
> (x)' = [mm]\bruch{(1)-1}{0}[/mm]
> --> Wäre ja schon wieder 0 oder nicht??
>
> was mache ich falsch? ich kann doch gar nicht durch 0
> Teilen oder?
Laut Definiton steht da:
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{\left(x+h\right)-x}{h}}[/mm]
>
> Bei Aufgabe 2 habe ich überhaupts keinen Plan, wie ich an
> diese Herleitungen hingehen muss.
Bei den Aufgabenteilen 1 und 3 stehen ja schon die Tipps da.
Bei Aufgabenteil 2 verwendest Du die Definition des Tangens.
Bei Aufgabenteil 4 werden die Definition von [mm]\sinh\left(x\right)[/mm]
und von [mm]\cosh\left(x\right)[/mm] verwendet.
>
> Hoffe es kann mir jemand Helfen. Vielen Dank.
>
>
>
> Bitte um Hilfe. Danke
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 25.11.2008 | | Autor: | jojo1484 |
Zu Aufgabe 1:
Definition: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{\left(x+h\right)-x}{h}}
[/mm]
dann gibt aber (x) doch [mm] \bruch{(x^{1}+0)-x^{1}}{0} [/mm] oder nicht?
also ergibt sich (x)'= [mm] \bruch{(1+0)-1)}{0}
[/mm]
--> [mm] (x)'=\bruch{0}{0} [/mm] , weil 1-1 ja 0 ist
und bei (x²):
(x²) = [mm] \bruch{(x^{2}+0)-x^{2}}{0}
[/mm]
(x²)' = [mm] \bruch{(2x^{1}+0)-2x^{1}}{0}
[/mm]
hier ist es wieder das selbe, 2x - 2x = 0 oder nicht?
irgendwie blick ich es nicht, steh voll auf der leitung.
bitte um erklärung.
vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 25.11.2008 | | Autor: | jojo1484 |
Sorry hatte es nicht als Frage gesendet:
Zu Aufgabe 1:
Definition: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}{\bruch{\left(x+h\right)-x}{h}}
[/mm]
dann gibt aber (x) doch [mm] \bruch{(x^{1}+0)-x^{1}}{0} [/mm] oder nicht?
also ergibt sich (x)'= [mm] \bruch{(1+0)-1)}{0}
[/mm]
--> [mm] (x)'=\bruch{0}{0} [/mm] , weil 1-1 ja 0 ist
und bei (x²):
(x²) = [mm] \bruch{(x^{2}+0)-x^{2}}{0}
[/mm]
(x²)' = [mm] \bruch{(2x^{1}+0)-2x^{1}}{0}
[/mm]
hier ist es wieder das selbe, 2x - 2x = 0 oder nicht?
irgendwie blick ich es nicht, steh voll auf der leitung.
bitte um erklärung.
vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jojo!
Es sollte doch bekannt sein, dass die Division durch Null nicht erlaubt ist. Und bei [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] handelt es sich um einen unbestimmten Ausdruck.
Von daher musst Du den Bruch Deines Differenzialquotienten immer erst zusammenfassen, bevor Du die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ durchführst.
$$(x)' \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{(x+h)-x}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{h}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}1 [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 25.11.2008 | | Autor: | jojo1484 |
müsste dann bei (x²)' nicht das selbe gelten?
da 2x-2x ja 0x sind,
bleibt doch wieder [mm] \limes_{n\rightarrow0}\bruch{h}{h}
[/mm]
was wiederum 1 wäre. (oder?) und warum soll das ergebnis nun 2x sein??
sorry dass ich so schwer von begriff bin.
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Di 25.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jojo!
Nein, das wäre ja langweilig, wenn es immer dasselbe wäre ... 
[mm] $$\left( \ x^2 \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{(x+h)^2-x^2}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{x^2+2x*h+h^2-x^2}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{2x*h+h^2}{h} [/mm] \ = \ ...$$
Nun im Zähler $h_$ ausklammern und kürzen.
Gruß
Loddar
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