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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 So 27.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | Die Funktion y=y(x): [mm] R\to [/mm] R sei eine Lösung der DGL [mm] y'=(1+y^{2})x [/mm] mit y(0)=0. Zeigen Sie, dass y eine konvexe Funktion ist, die ein globales Minimum für x=0 annimmt.
Hinweis: In dieser Aufgabe ist es nicht notwendig, die DGL explizit zu lösen. |
Hallo Zusammen
Folgendes hab ich mir überlegt:
-Konvex bedeutet: y''>0 für alle x Element R
-globales Minimum für x=0, d.h. y'(0)=0 und y''(0)>0
Da es im Hinweis heisst, man müsse die DGL nicht explit lösen, habe ich gedacht ich könnte einfach die Funktion ableiten und schauen, ob sie die oben genannten Bedingungen erfüllt. Leider weiss ich nicht, wie man eine Funktion mit x und y ableitet (man kann ja nicht einfach einer der Beiden als Variabel betrachten, oder?)
Jetzt, weiss ich leider nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann und wäre froh, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie man da am Besten vorgeht.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruss
Aucuba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion y=y(x): [mm]R\to[/mm] R sei eine Lösung der DGL
> [mm]y'=(1+y^{2})x[/mm] mit y(0)=0. Zeigen Sie, dass y eine konvexe
> Funktion ist, die ein globales Minimum für x=0 annimmt.
>
> Hinweis: In dieser Aufgabe ist es nicht notwendig, die DGL
> explizit zu lösen.
> Hallo Zusammen
>
> Folgendes hab ich mir überlegt:
>
> -Konvex bedeutet: y''>0 für alle x Element R
> -globales Minimum für x=0, d.h. y'(0)=0 und y''(0)>0
Das bedeutet zunächst nur: lokale Minimum in x=0.
>
> Da es im Hinweis heisst, man müsse die DGL nicht explit
> lösen, habe ich gedacht ich könnte einfach die Funktion
> ableiten und schauen, ob sie die oben genannten Bedingungen
> erfüllt. Leider weiss ich nicht, wie man eine Funktion mit
> x und y ableitet (man kann ja nicht einfach einer der
> Beiden als Variabel betrachten, oder?)
Für die Funktion y gilt doch
$ [mm] y'(x)=(1+y(x)^2)x [/mm] $
Das kann man doch prima nach x ableiten !
FRED
> Jetzt, weiss ich leider nicht, wie ich die Aufgabe lösen
> kann und wäre froh, wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte, wie man da am Besten vorgeht.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Gruss
> Aucuba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
> Für die Funktion y gilt doch
>
> [mm]y'(x)=(1+y(x)^2)x[/mm]
>
> Das kann man doch prima nach x ableiten !
Danke Fred! Das hatte ich völlig überlesen.
Ich erhalte y''=1+2y(x)*y'(x)*x für die 2. Ableitung, stimmt das?
y'(0)=0 ergibt auch 0=0 und für y''>0 erhalte ich: y''(0)=1
> > -Konvex bedeutet: y''>0 für alle x Element R
> > -globales Minimum für x=0, d.h. y'(0)=0 und y''(0)>0
>
> Das bedeutet zunächst nur: lokale Minimum in x=0.
Was für eine Bedingung muss noch erfüllt werden, dass es sich um ein globales Minimum handelt?
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruss
Aucuba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Für die Funktion y gilt doch
> >
> > [mm]y'(x)=(1+y(x)^2)x[/mm]
> >
> > Das kann man doch prima nach x ableiten !
>
> Danke Fred! Das hatte ich völlig überlesen.
>
> Ich erhalte y''=1+2y(x)*y'(x)*x für die 2. Ableitung,
> stimmt das?
Nein. Es ist $y''= [mm] 1+2yy'x+y^2$
[/mm]
> y'(0)=0 ergibt auch 0=0 und für y''>0 erhalte ich:
> y''(0)=1
>
> > > -Konvex bedeutet: y''>0 für alle x Element R
> > > -globales Minimum für x=0, d.h. y'(0)=0 und
> y''(0)>0
> >
> > Das bedeutet zunächst nur: lokale Minimum in x=0.
>
>
> Was für eine Bedingung muss noch erfüllt werden, dass es
> sich um ein globales Minimum handelt?
Das ist eigentlich Schulstoff !!
Wir haben:
1. y(0)=0
2. für x<0 ist [mm] y'(x)=(1+y(x)^2)x [/mm] <0. Auf ( - [mm] \infty, [/mm] 0] ist y also monoton fallend, somit ist
y(x) [mm] \ge [/mm] y(0)=0 für x [mm] \le [/mm] 0
3. 2. für x>0 ist [mm] y'(x)=(1+y(x)^2)x [/mm] >0. Auf [0, [mm] \infty) [/mm] ist y also monoton steigend, somit ist
y(x) [mm] \ge [/mm] y(0)=0 für x [mm] \ge [/mm] 0
Fazit: y(x) [mm] \ge [/mm] y(0)=0 für x alle x.
FRED
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> Gruss
> Aucuba
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Oke, danke!
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