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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:02 So 26.04.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | Es sei K eine Menge, die nur aus den Elementen 0 und 1 besteht. Auf K werde eine Addition und eine Multiplikation erklärt durch
0+0:=1+1:=0, 0+1:=1+0:=1,
0*0:=0*1:=1*0:=0, 1*1:=0
Zeigen Sie, dass (K,+,*) einen Körper bildet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(Ich bin Anfänger)
Ich versuche erstmal darzulegen, was ich mir bisher erarbeitet habe und wie ich die Aufgabe verstehe.
Ich habe die Menge K mit den Elementen 0 und 1 also K={0,1} - Die Erklärung durch... sehe ich als eine Art Tabelle vor mir, in etwa so
+ |0 | 1 * | 0 | 1
---------- -----------
0 | 0 | 1 0 | 0 | 0
---------- ----------
1 | 1 | 0 1 | 0 | 1
Nun kommen wir zu meinem Lösungsansatz. Laut meinem Script, heißt ein Ring (K, + , *) Körper wenn für den [mm] (K\{0}, [/mm] *) eine abelsche Gruppe ist.
Ich würde jetzt also erstmal nachweisen wollen, ob (K, +, *) ein Ring ist. Dazu würde ich überprüfen ob die Distributivgesetze für + und * gelten. Also [mm] \forall [/mm] a, b, c [mm] \in [/mm] K: a*(b+c) = a*b + a*c
Nun würde ich also meine Tabelle (siehe oben) zur Rate ziehen und erstmal definieren, also a=0 b=1 c=? und dann halt entsprechend vergleichen und schauen ob das Gesetz erfüllt ist. Hier komme ich aber schon nicht weiter da ich c nicht definieren kann, also würde ich als nächstes versuchen zu überprüfen ob (K, +) eine abelsche Gruppe ist um nachzuweisen ,dass (K, +, *) ein Ring ist. Dazu müsste ich dann aber schauen ob das Assoziativ und das Kommutativgesetz erfüllt sind und schauen ob ein neutrales in imverses Element existieren. Um jetzt aber das Assoziativgesetz nachweisen zu können, benötige ich wieder ein 3. Element durch (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)) also c, ich hab aber doch nur 0 und 1. Wie gehe ich vor? Vielen Dank vorab.
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Hallo ChaoZz,
wenn Du Dir in Deinem Skript nochmal die Formulierungen bzgl. des Assoziativ-/ Distributivgesetzes anschaust, wirst Du sicher sehen, dass dort nicht gefordert wird, das a, b, c *verschieden* sind. a,b,c sind nur "Platzhalter" für irgendwelche Elemente aus der betrachteten Menge. Und wenn Du vorher zeigst, daß "*" kommutativ ist, ist es natürlich nicht mehr nötig, [mm](b+c)*a =b*a +c*a]/mm] gesondert zu zeigen  .
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | Es sei K eine Menge, die nur aus den Elementen 0 und 1 besteht. Auf K werde eine Addition und eine Multiplikation erklärt durch
0+0:=1+1:=0, 0+1:=1+0:=1,
0*0:=0*1:=1*0:=0, 1*1:=0
Zeigen Sie, dass (K,+,*) einen Körper bildet. |
Hallo zahlenspieler,
vielen Dank für deine Antwort. Ich definiere also a=0 b=0 und c=1 (soweit ich das nun verstehe, könnte ich sogar a=0 b=0 c=0 wählen solange es nur die zur Verfügung stehenden Elemente sind, oder?) und somit gilt das Distributivgesetz für + und * daraus folgt, dass K ein Ring ist. Nun muss ich noch zeigen, dass K einen Körper bildet. Hier mal die Definition aus meinem Script : Ein Ring (K,+,*), für den (R\ {0} ,*) eine abelsche Gruppe ist, heißt Körper.
Jetzt weiß ich nur nicht was "[...]für den (R\ {0},*) eine abelsche Gruppe ist[...]" bedeutet. Ich wäre dir wirklich dankbar, wenn du mir das ins Deutsche übersetzen könntest. :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:39 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei K eine Menge, die nur aus den Elementen 0 und 1
> besteht. Auf K werde eine Addition und eine Multiplikation
> erklärt durch
>
> 0+0:=1+1:=0, 0+1:=1+0:=1,
> 0*0:=0*1:=1*0:=0, 1*1:=0
>
> Zeigen Sie, dass (K,+,*) einen Körper bildet.
> Hallo zahlenspieler,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Ich definiere also a=0 b=0
> und c=1 (soweit ich das nun verstehe, könnte ich sogar a=0
> b=0 c=0 wählen solange es nur die zur Verfügung stehenden
> Elemente sind, oder?)
Ja, kannst du.
> und somit gilt das Distributivgesetz
> für + und * daraus folgt, dass K ein Ring ist.
Nun, du musst natuerlich noch mehr Kombinationen ausprobieren und nicht nur eine oder zwei. (Es gibt genau 8 Stueck.)
> Nun muss ich
> noch zeigen, dass K einen Körper bildet. Hier mal die
> Definition aus meinem Script : Ein Ring (K,+,*), für den
> (R\ {0} ,*) eine abelsche Gruppe ist, heißt Körper.
>
> Jetzt weiß ich nur nicht was "[...]für den (R\ {0},*) eine
> abelsche Gruppe ist[...]" bedeutet. Ich wäre dir wirklich
> dankbar, wenn du mir das ins Deutsche übersetzen könntest.
> :D
Das ist Deutsch ^^
Was $R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist solltest du wissen. Was $*$ ist solltest du auch wissen. Was eine Gruppe ist solltest du auch wissen. Was eine abelsche Gruppe ist solltest du auch wissen. Wenn du was davon nicht weisst, guck es nach.
Schreib doch mal $R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] hier hin wenn du nicht weiterkommst und sag uns, was du zeigen musst und woran es scheitert.
LG Felix
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