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Forum "Folgen und Reihen" - Zeigen, ob Reihe konvergiert!
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Zeigen, ob Reihe konvergiert!: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:25 Sa 25.10.2008
Autor: yildi

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{{4k \choose 3k}} [/mm]

Hallo!

Ich steh leider mal wieder vor einem Problem :( Ich soll an der oben stehenden Reihe zeigen, dass sie entweder konvergiert oder eben divergiert. Das " 1 durch n über k" habe ich erstmal umgeformt zu:

[mm] \bruch{(3k)! * k!}{(4k)!} [/mm]

Als notwendige Bedingung für die Konvergenz hatten wir im Unterricht, dass der Limes der Folge gleich Null sein muss:

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(3k)! * k!}{(4k)!} = 0 [/mm]

Da das stimmt, weiss ich nun aber nur dass eine Konvergenz nicht ausgeschlossen ist. Ich denke, dass die anderen besprochenen Konvergenzkriterien (Leibnizsches, Majorantenkriterium und Minorantenkriterium) mir hier nicht weiterhelfen. Nur das Quotientenkriterium schätze ich. Liege ich da richtig? Falls ja, habe ich nämlich das Problem, dass ich den großen entstehenden Doppelbruch irgendwie nicht lösen kann bzw. davon den Grenzwert bilden kann. (Sogar mein TI Voyage 200 ist damit überfordert ;-) )

Wäre wirklich super, wenn mir jemand helfen könnte :-) Vielen Dank!


        
Bezug
Zeigen, ob Reihe konvergiert!: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Sa 25.10.2008
Autor: barsch

Hi,

ich würde es einmal mit dem Quotientenkriterium versuchen...

Hättest deinen Doppelbruch posten sollen. ;-) Ich kann dir mal mein mögliches Vorgehen kurz skizzieren.

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{{4k \choose 3k}}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(3k)! \cdot{} k!}{(4k)!} [/mm]

[mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|= \left|\frac{ \bruch{(3(k+1))! \cdot{} (k+1)!}{(4(k+1)!}}{ \bruch{(3k)! \cdot{} k!}{(4k)!}}\right|=\left| \bruch{(3(k+1))! \cdot{} (k+1)!*(4k)!}{(4(k+1))!*(3k)! \cdot{} k!}\right|=\left| \bruch{(3k+3)! \cdot{} \red{k!}*(k+1)*(4k)!}{(4k+4)!*(3k)! \cdot{} \red{k!}}\right|=\left| \bruch{(3k+3)! \cdot{} (k+1)*(4k)!}{(4k+4)!*(3k)!}\right| [/mm]


[mm] =\left| \bruch{\red{(3k)!}*(3k+1)*(3k+2)*(3k+3) \cdot{} (k+1)*\red{(4k)!}}{\red{(4k)!}*(4k+1)*(4k+2)*(4k+3)*(4k+4)*\red{(3k)!}}\right| [/mm]


[mm] =\left| \bruch{(3k+1)*(3k+2)*(3k+3) \cdot{} (k+1)}{(4k+1)*(4k+2)*(4k+3)*(4k+4)}\right| [/mm]

Jetzt versuche doch einmal im Zähler 3k und im Nenner 4k auszuklammern.

MfG barsch

Bezug
                
Bezug
Zeigen, ob Reihe konvergiert!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:40 So 26.10.2008
Autor: yildi

Cool danke, habs hinbekommen! :-)

So geht es dann weiter:

[mm] = \bruch{(3k) \cdot{} \bruch{4}{3} \cdot{} 2 \cdot{} 3 \cdot{} 4}{(4k) \cdot{} 2 \cdot{} 3 \cdot{} 4 \cdot{} 5} [/mm]

[mm] = \bruch{4k}{20k} [/mm]

[mm] = \bruch{1}{5} [/mm]

Bezug
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