Zeigen und berechnen! < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Do 29.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe hier eine Aufgabe zur Integration, bei der zunächst ein Beweis zu machen ist und anschließend ein paar Integrationen durchgeführt werden müssen:
a) Es ist f: D [mm] \subseteq\IR \to \IR [/mm] . Jetzt ist mit partieller Integration zu zeigen:
[mm] \integral_{}^{}{1*f(x) dx} [/mm] = [xf(x)] - [mm] \integral_{}^{}{xf'(x) dx}
[/mm]
b) folgende unbestimmte Integrale sind damit zu berechnen:
1) [mm] \integral_{}^{}{ln(x) dx}
[/mm]
2) [mm] \integral_{}^{}{arctan(x) dx}
[/mm]
3) [mm] \integral_{}^{}{arcsin(x) dx}
[/mm]
Bitte um Erklärung!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 29.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, habe hier eine Aufgabe zur Integration, bei der
> zunächst ein Beweis zu machen ist und anschließend ein paar
> Integrationen durchgeführt werden müssen:
>
> a) Es ist f: D [mm]\subseteq\IR \to \IR[/mm] . Jetzt ist mit
> partieller Integration zu zeigen:
> [mm]\integral_{}^{}{1*f(x) dx}[/mm] = [xf(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{xf'(x) dx}[/mm]
ich verstehe Dein Problem oben nicht (Zusatzfrage: Welche Bedeutung hat das von Dir erwähnte $D$? Es kommt ja bei der Integration gar nicht mehr vor?! Wenn es Dir unklar ist, dann schau' vielleicht mal in Aufgabe 1.)...). Wenn Du
[mm] $\int [/mm] 1*f(x)dx$ ![[]](/images/popup.gif) partiell integrierst [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken), folgt sofort
$(\star)$ $\int 1*f(x)dx=x*f(x)-\int {x*\blue{f\,'(x)}}dx$
(Dir sollte natürlich bekannt/klar sein: $\int 1 dx=x$, d.h. mit anderen Worten: Die Funktion $F: \IR \to \IR$ mit $F(x):=x$ ($\forall x \in \IR$) ist eine Stammfunktion für $f$ definiert durch $f:\IR \to \IR$ mit $f(x):=1$ $\forall x \in \IR$.)
Ergänzend sollte man bei $(\star)$ vielleicht $\forall x \in D$ schreiben...
> b) folgende unbestimmte Integrale sind damit zu berechnen:
> 1) [/mm] [mm]\integral_{}^{}{ln(x) dx}[/mm]
> 2) [mm]\integral_{}^{}{arctan(x) dx}[/mm]
>
> 3) [mm]\integral_{}^{}{arcsin(x) dx}[/mm]
Da verstehe ich auch nicht, was Dein Problem ist. Bei 1.) ist [mm] $f(x)=\ln(x)$, [/mm] bei 2.) ist [mm] $f(x)=\arctan(x)$ [/mm] und bei 3.) ist [mm] $f(x)=\arcsin(x)$. [/mm] Von [mm] $\ln(.)$ [/mm] sollte Dir die Ableitung bekannt sein, bei [mm] $\arctan(.)$ [/mm] bzw. [mm] $\arcsin(.)$ [/mm] kannst Du z.B. die sich hier befindliche Umkehrformel [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken) benutzen, vorausgesetzt, Du kennst Ableitungen von trigonometrischen Funktionen (das sollte aber bekannt sein, auch die vom Tangens, die sich mithilfe der Quotientenregel herleiten läßt).
Ansonsten such halt in einer Formelsammlung bzw. bei Wikipedia nach den Stichworten Arkussinus bzw. Arkustangens. Der Rest ist nur noch einsetzen in $(\star)$ und mehr oder weniger banales Rechnen (bei 2.) brauchst Du für $\int {x*\blue{f\,'(x)}}dx$ vielleicht noch eine - ziemlich offensichtliche - Substitution, bei 3.= wohl auch bzw. man kann bei Wikipedia schon fast ablesen, was dort $\int {x*\blue{f\,'(x)}}dx$ sein wird)...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Do 29.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also, das D gibt einfach an, dass der Defintionsbereich Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist!
mit dem Zeigen bei a) komme ich immer noch nicht weiter, denn es heißt ja zeigen Sie mit partieller Integration!
bei b) hab ich jetzt mal soweit wie kappiert die Aufgaben gelöst!
1) [mm] \integral_{}^{}{ln(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{1*ln(x) dx} [/mm] = [x*ln(x)] - [mm] \integral_{}^{}{ 1 dx}
[/mm]
= x*ln(x) - x
2) [mm] \integral_{}^{}{arctan(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{1*arctan(x) dx} [/mm] = [x*arctan(x)] - [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+x} dx}
[/mm]
hier weiss ich jedoch nicht wie die Substitution geht?
3) [mm] \integral_{}^{}{arcsin(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{1*arcsin(x) dx} [/mm] = [x*arcsin(x)] - [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}
[/mm]
und auch hier bereitet mir die Substitution probleme?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:33 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also, das D gibt einfach an, dass der Defintionsbereich
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist!
>
> mit dem Zeigen bei a) komme ich immer noch nicht weiter,
> denn es heißt ja zeigen Sie mit partieller Integration!
ich weiß auch nicht, was das soll, denn die Formel für die partielle Integration lautet (und der Beweis ist ziemlich banal, wenn man die Produktregel für die Differentiation kennt):
(I) [mm] $\int [/mm] u(x) [mm] v\,'(x)dx=u(x)*v(x)-\int u\,'(x)v(x)dx$, [/mm] wobei man o.E. davon ausgehen kann, dass die Funktionen [mm] $u,v\,'$ [/mm] gegeben sind und alle auftretenden Termina definiert sein sollten (d.h. $u$ sei diff'bar, [mm] $v\,'$ [/mm] sei integrierbar (habe also eine Stammfunktion; wir nehmen eine her und nennen diese $v$...)...)
Setzt Du bei (I) [mm] $v\,'(x):=1$ [/mm] und $u(x):=f(x)$ [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D$) ein, so liefert das sofort die Behauptung. Der Rest der Aufgabe ist - wie gesagt - mit der angegebenen Formel eine (Fast-)Trivialität (mit Wikipedia ist es jedenfalls ziemlich banal, ansonsten ist es auch nicht besonders schwer) und Deine Ergebnisse solltest Du auch mittels Differentiation auf Korrektheit prüfen können (worauf ich hinaus will, vielleicht nochmal an einem Bsp. verdeutlicht: Es gilt bspw. [mm] $\int 2xdx=x^2$, [/mm] weil [mm] $\frac{d}{dx}{x^2}=2x$ [/mm] gilt) und daher verzeih' mir bitte, wenn ich den Rest Deiner Frage jetzt nicht mehr angucke, aber ich muss auch mal schlafen  .
Es können zudem auch gerne andere mal drübergucken und etwas dazu sagen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi nochmal,
okay, einen flüchtigen Blick gönne ich mir/Dir doch noch:
> Also, das D gibt einfach an, dass der Defintionsbereich
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist!
Naja, ein bisschen wichtig ist schon, dass die Funktion auf $D$ definiert ist. So ist z.B. der reelle [mm] $\ln(.)$ [/mm] auf [mm] $D=\IR_{> 0}$ [/mm] definiert, aber wäre es nicht auf z.B. $D=[-1,1]$. Im Falle $D=[-1,1]$ und [mm] $f(x)=\ln(x)$ [/mm] könnte man daher die oben stehende Formel für $x [mm] \in [/mm] [-1,0]$ nicht verwenden, da wäre manches *nicht wohldefiniert*...
> mit dem Zeigen bei a) komme ich immer noch nicht weiter,
> denn es heißt ja zeigen Sie mit partieller Integration!
>
> bei b) hab ich jetzt mal soweit wie kappiert die Aufgaben
> gelöst!
>
> 1) [mm]\integral_{}^{}{ln(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{1*ln(x) dx}[/mm] = [x*ln(x)] - [mm]\integral_{}^{}{ 1 dx}[/mm]
>
> = x*ln(x) - x
Das ist korrekt 
> 2) [mm]\integral_{}^{}{arctan(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{1*arctan(x) dx}[/mm] = [x*arctan(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{1+x} dx}[/mm]
>
> hier weiss ich jedoch nicht wie die Substitution geht?
Rechne das nochmal nach. Es ist nämlich [mm] $\frac{d}{dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$ [/mm] und dann kann man [mm] $y:=1+x^2$ [/mm] substituieren beim dann auftretenden Integral [mm] \int \frac{x}{1+x^2}dx [/mm] rechterhand.
Zur Kontrolle das Ergebnis:
[mm] $\int \arctan(x)dx=x*\arctan(x)-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$
[/mm]
> 3) [mm]integral_{}^{}{arcsin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{1*arcsin(x) dx}[/mm] = [x*arcsin(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> und auch hier bereitet mir die Substitution probleme?
Substituiere [mm] $y:=1-x^2$, [/mm] dann folgt mit $dy=-2xdx$:
[mm] $\integral_{}^{}{ \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}=-\frac{1}{2}*\int \frac{-2x}{1-x^2}dx=-\frac{1}{2} \int y^{-\frac{1}{2}}dy$
[/mm]
Letztes Integral (bzw. eine zugehörige Stammfunktion) läßt sich leicht angeben, Resubstitutin [mm] y=1-x^2 [/mm] nicht vergessen.
Auch hier zur Kontrolle das Ergebnis:
[mm] $\int \arcsin(x)dx=x*\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also gerade bei der 2) hab ich es jetzt mal mit der Substitution gemacht und erhalte dann:
[mm] \integral_{}^{}{1*arctan(x) ) dx} [/mm] = [x*arctan(x)] - [mm] \integral_{}^{}{x*\bruch{1}{1+x^{2}} ) dx}
[/mm]
dann substituiere ich y: = [mm] 1+x^{2}
[/mm]
also y'= [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] (1+x^{2})' [/mm] = 2x
somit dx = [mm] \bruch{dy}{2x}
[/mm]
das liefet: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{y}*\bruch{dy}{2x} }
[/mm]
und das führt zu: [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{2}*y^{-1}dy}
[/mm]
Rücksubstitution: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(1+x^{2})^{-1} dy}
[/mm]
allerdings fehlt bei mir der ln was mache ich falsch?
lg Surfer und danke für deine Hilfe
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> Also gerade bei der 2) hab ich es jetzt mal mit der
> Substitution gemacht und erhalte dann:
>
> [mm]\integral_{}^{}{1*arctan(x) ) dx}[/mm] = [x*arctan(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{x*\bruch{1}{1+x^{2}} ) dx}[/mm]
>
> dann substituiere ich y: = [mm]1+x^{2}[/mm]
> also y'= [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm](1+x^{2})'[/mm] = 2x
> somit dx = [mm]\bruch{dy}{2x}[/mm]
>
> das liefet: [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{y}*\bruch{dy}{2x} }[/mm]
>
> und das führt zu: [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{2}*y^{-1}dy}[/mm]
>
> Rücksubstitution:
Hallo,
ich weiß nicht so recht, was Du hier treibst - vielleicht wäre es eine gute Idee, vor dem Rücksubstituieren erstmal zu integrieren...
Was ist denn eine Stammfunktion v. [mm] y^{-1}?
[/mm]
Gruß v. Angela
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}(1+x^{2})^{-1} dy}[/mm]
>
> allerdings fehlt bei mir der ln was mache ich falsch?
>
> lg Surfer und danke für deine Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok der ln natürlich, darf ich zuvovor die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vors Integral ziehen? warum?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Ja, das darfst Du. Der Grund ist der, dass [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] eine Konstante ist, d.h. [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist nicht von $y$ abhängig, über das Du ja bekanntlich integrierst.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann sind die Integralaufgaben hier schonmal klar, nur noch das Zeigen mit der partiellen Integrtation verstehe ich nicht ganz!
a) Es ist f: D $ [mm] \subseteq\IR \to \IR [/mm] $ . Jetzt ist mit partieller Integration zu zeigen:
$ [mm] \integral_{}^{}{1\cdot{}f(x) dx} [/mm] $ = [xf(x)] - $ [mm] \integral_{}^{}{xf'(x) dx} [/mm] $
lg Surfer
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> Ok dann sind die Integralaufgaben hier schonmal klar, nur
> noch das Zeigen mit der partiellen Integration verstehe
> ich nicht ganz!
>
> a) Es ist f: D [mm]\subseteq\IR \to \IR[/mm] . Jetzt ist mit
> partieller Integration zu zeigen:
> [mm]\integral_{}^{}{1\cdot{}f(x) dx}[/mm] = [xf(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{xf'(x) dx}[/mm]
>
> lg Surfer
Hallo Surfer,
Ich nehme einmal an, dass du eine Formel für die
partielle Integration kennst. Dann zeige diese mal
und wende sie auf den vorliegenden Fall an.
Du kannst auch die Funktion
[mm]F(x) = x* f(x)[/mm]
mittels Kettenregel ableiten und dir dann die
Konsequenzen für die Gleichung
[mm] \integral{F'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{(x*f(x))' dx}
[/mm]
überlegen.
LG al-Chwarizmi
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:37 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
eine Kleinigkeit:
> > Ok dann sind die Integralaufgaben hier schonmal klar, nur
> > noch das Zeigen mit der partiellen Integration verstehe
> > ich nicht ganz!
> >
> > a) Es ist f: D [mm]\subseteq\IR \to \IR[/mm] . Jetzt ist mit
> > partieller Integration zu zeigen:
> > [mm]\integral_{}^{}{1\cdot{}f(x) dx}[/mm] = [xf(x)] -
> > [mm]\integral_{}^{}{xf'(x) dx}[/mm]
> >
> > lg Surfer
>
> Hallo Surfer,
>
> Ich nehme einmal an, dass du eine Formel für die
> partielle Integration kennst. Dann zeige diese mal
> und wende sie auf den vorliegenden Fall an.
>
> Du kannst auch die Funktion
>
> [mm]F(x) = x* f(x)[/mm]
>
> mittels Kettenregel ableiten und dir dann die
man nehme bitte die Produktregel
> Konsequenzen für die Gleichung
>
> [mm]\integral{F'(x) dx}[/mm] = [mm]\integral{(x*f(x))' dx}[/mm]
>
> überlegen.
>
> LG al-Chwarizmi
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Im Grunde kann ich es so übernehmen, wie es oben schon vrlinkt bei Wikipedia vorliegt oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Da steht Deine Aufgabe bei Wikipedia? Da steht die allgemeine Formel der partiellen Integration mit:
[mm] $$\integral{u'*v \ dx} [/mm] \ = \ [mm] u*v-\integral{u*v' \ dx}$$
[/mm]
Wende das nun auf Deine Aufgabe an und setze ein $u' \ = \ 1$ sowie $v \ = \ f(x)$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Im Grunde kann ich es so übernehmen, wie es oben schon
> vrlinkt bei Wikipedia vorliegt oder?
>
> lg Surfer
also ich weiß nicht: Ich hab's hier schonmal geschrieben, Al-Chwarizmi hat schon was dazugesagt und Loddar hat Dir nun auch nochmal etwas dazugeschrieben. Mit der allg. Formel der partiellen Integration, wie Du sie bei Wiki findest, ist das ganze weiterhin eine Trivialität und ich weiß' da sonst auch - ehrlich gesagt - nichts weiter mehr zu sagen, da ich mich ansonsten nur noch wiederholen würde. Ich weiß' auch nicht, warum ihr eine solch' banale Formel - auch noch mit dem Tipp, dass man partielle Integration anwenden solle - herleiten sollt, denn ich würde da einfach schreiben, dass die Formel eben sofort aus der partiellen Integration folgt. *Etwas* ausführlicher steht es - wie gesagt - schonmal bei mir oder Loddar, indem man halt in der entsprechenden Formel mit angibt, wie nun [mm] $u\,'(x)$ [/mm] und $v(x)$ (oder analoges) nun hier konkret aussehen...
Gruß,
Marcel
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