Zeilen+Spalten einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:37 Mi 22.08.2012 | | Autor: | melodie |
Hallo,
ich arbeite an einer Aufgabe, in dem aus den Spannvektoren eines UVR eine Basis gesucht ist.
Mir ist nicht ganz klar welche Vektoren die Zeilen und die Spalten einer Matrix darstellen.
Nach meinem Wissen, sind Vektoren immer die Spalten einer Matrix.
Ist es richtig, wenn ich( so wie in meiner Aufgabe) sage, dass die Spannvektoren immer die Zeilen einer Matrix darstellen und die Basis aus so einem Vektor sind wieder die Zeilen ?
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Hallo,
damit es keine Mißverständnisse gibt, solltest Du mal konkret sagen, welches die Spanvektoren sind.
Dann mach mal vor, was Du getan hast und welche Schlüsse Du ziehst.
Wenn man das sieht, kann man entscheiden, ob es falsch oder richtig ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mi 22.08.2012 | | Autor: | melodie |
Spann { [mm] \vektor{1 \\ 2\\ -1},\vektor{-2 \\ -6 \\ \alpha+2},\vektor{2 \\ 4 \\ -2 \alpha} [/mm] }
ich bilde aus den Spannvektoren die Zeilen der Matrix und wende Gauß an:
[mm] \pmat{ 1 & 2 &-1 \\ 0 & 0 & \alpha-1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
für [mm] \alpha\not=1 [/mm] habe ich dann eine Basis aus zwei Vektoren, richtig?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Spann { [mm]\vektor{1 \\
2\\
-1},\vektor{-2 \\
-6 \\
\alpha+2},\vektor{2 \\
4 \\
-2 \alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> ich bilde aus den Spannvektoren die Zeilen der Matrix und
> wende Gauß an:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &-1 \\
0 & 0 & \alpha-1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> für [mm]\alpha\not=1[/mm] habe ich dann eine Basis aus zwei
> Vektoren, richtig?
Hallo,
ja.
(Die zSF habe ich nicht geprüft.)
Es ist dann [mm] (\vektor{1\\2\\-1}, \vektor{0\\0\\\alpha-1}) [/mm] eine Basis des von den 3 Vektoren aufgespannten Raumes.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 22.08.2012 | | Autor: | melodie |
Danke, aber meine eigentliche Frage war, warum hier diese Vektoren die Zeilen und keine Spalten der Matrix darstellen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mi 22.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
überlege, was du mit dem gaussverfahren machst, du addierst vielfache von Zeilem- also deine Spann-Vektoren und erzeuchst einfachere Zeilen, wenn du ne 0 zeile erseugen kannst sind die Vektoren lin abhängig, die übrigen sind dann lin unabh.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 23.08.2012 | | Autor: | melodie |
hätte ich die vektoren auchals spalten in die Matrix eintragen können um nach dem Gauß-Verfahren die Basis wieder abzulesen?
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Hallo melodie,
> hätte ich die vektoren auchals spalten in die Matrix
> eintragen können um nach dem Gauß-Verfahren die Basis
> wieder abzulesen?
Probiers doch einfach aus. Es ergibt sich z.B.
[mm] \pmat{1&-2&2\\0&1&0\\0&0&1-\alpha}
[/mm]
Was sagt Dir das?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 23.08.2012 | | Autor: | melodie |
ich habe dann 3 Vektoren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Do 23.08.2012 | | Autor: | reverend |
Ich warte erst mal die Frage nach den Spannvektoren ab. Sonst macht es gar keinen Sinn zwei Ergebnisse miteinander zu vergleichen.
lg
rev
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Hallo nochmal!
So, jetzt mal mit den korrigierten Daten.
Wenn Du die Vektoren spaltenweise schreibst, bekommst Du also erst
[mm] \pmat{1&-3&2\\2&-6&4\\-1&\alpha+2&-2\alpha}
[/mm]
Nach einmaliger Anwendung von Gauß ist man schon fertig:
[mm] \pmat{1&-3&2\\0&0&0\\0&(\alpha-1)&-2(\alpha-1)}
[/mm]
Das Ergebnis ist also das gleiche - für [mm] \alpha\not=1 [/mm] ist die Basis einfach unbestimmt (hat also nur zwei linear unabhängige Vektoren), für [mm] \alpha=1 [/mm] ist sie doppelt unbestimmt (also nur noch ein linear unabhängiger Vektor).
Diese Aussage bleibt unverändert abzulesen, und das ist immer so, wenn Du die Vektoren als Spalten schreibst.
Allerdings ist nun nicht mehr abzulesen, welches denn unabhängige Vektoren wären. Das ist ja auch logisch; siehe dazu leduarts Beitrag weiter oben.
Insofern ist nicht alles verloren, wenn Du die Matrix "falsch" aufstellst, aber es ist unpraktischer. Jetzt müsstest Du nämlich noch zwei unabhängige Vektoren finden, was aber andererseits nicht sooo schwierig ist. Bei der anderen Schreibweise (Vektoren in Zeilen) bekommst Du aber gleich richtige Vektoren mitgeliefert. Das ist der einzige Grund.
Ansonsten gibt es aber keine zwingende Regel, ob beim Aufstellen einer Matrix die Vektoren nun transponiert und in Zeilen umgewandelt werden oder nicht transponiert in Spalten wandern.
Alles klar?
Grüße
reverend
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Hallo melodie,
> Spann [mm]\{\vektor{1 \\
2\\
-1},\vektor{-2 \\
-6 \\
\alpha+2},\vektor{2 \\
4 \\
-2 \alpha} \}[/mm]
>
> ich bilde aus den Spannvektoren die Zeilen der Matrix und
> wende Gauß an:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &-1 \\
0 & 0 & \alpha-1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
Rechne das besser nochmal nach. 
> für [mm]\alpha\not=1[/mm] habe ich dann eine Basis aus zwei
> Vektoren, richtig?
hm... Wenn Du dann immer noch genau eine Nullzeile hast, ja.
Sonst nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 23.08.2012 | | Autor: | melodie |
laut Musterlösung ist das aber richtig. Nach zwei Schritten Gauß erhalte ich diese Matrix
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Hallo,
> laut Musterlösung ist das aber richtig. Nach zwei
> Schritten Gauß erhalte ich diese Matrix
Wie denn? Oder stimmen die angegebenen Spannvektoren vielleicht nicht?
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Do 23.08.2012 | | Autor: | melodie |
oh gott, ja ich habe mich vertippt. der zweite Vektor lautet: [mm] \vektor{-3 \\ -6\\ \alpha+2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Do 23.08.2012 | | Autor: | reverend |
Ah, dann kann ich die Rechnung auch nachvollziehen.
Damit ist dieser Teil des Threads schonmal erledigt.
Ich revidiere im anderen Teil mal meinen Beitrag anhand der korrigierten Daten.
Das ist nicht nur bei Vektoren oft so: kleine Änderung, große Wirkung.
lg
rev
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