Zeilen- und Spaltenraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Sa 30.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Der von den Zeilen einer Matrix aufgespannte Unterraum wird Zeilenraum genannt. Analog wird der vonden Spalten aufgespannte Raum Spaltenraum genannt.
Es sei folgende Matrix über [mm] \IZ_{5} [/mm] gegeben:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension des Zeilenraums und des Spaltenraums.
b) Geben Sie eine Basis [mm] B_{Z} [/mm] für den Zeilenraum und eine Basis [mm] B_{S} [/mm] für den Spaltenraum an.
c) Geben Sie eine Basis des Ergänzungsraums [mm] B_{Z}´ [/mm] für den Zeilenraum zum [mm] \IZ_{5}^{4} [/mm] und [mm] B_{S}´ [/mm] für den Spaltenraum zum [mm] \IZ_{5}^{5} [/mm] an. |
a)
Der Zeilenraum im [mm] \IZ_{5}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 }=>\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Der Spaltenraumraum im [mm] \IZ_{5}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 3 & 3 }=>\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die Dimension des Zeilenraumes ist 3.
Die Dimension des Spaltenraumes ist ebenso 3.
b)
Eine Basis des Zeilenraumes ist [mm] B_{Z}={ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 1} , \vektor{0 \\ 4 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 0 \\ 3 \\ 2} }
[/mm]
Eine Basis des Zeilenraumes ist [mm] B_{S}={ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 2} , \vektor{0 \\ 4 \\ 4 \\ 3 \\ 2} , \vektor{0 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 2} }
[/mm]
Ist es bis dahin richtig ?
Zu c) Kann mir jemand erklären was Ergänzungsraums und [mm] \IZ_{4}^{5} [/mm] bzw. [mm] \IZ_{5}^{5} [/mm] bedeutet ?
Danke im voraus.
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> Der von den Zeilen einer Matrix aufgespannte Unterraum wird
> Zeilenraum genannt. Analog wird der vonden Spalten
> aufgespannte Raum Spaltenraum genannt.
> Es sei folgende Matrix über [mm]\IZ_{5}[/mm] gegeben:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 }[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Dimension des Zeilenraums und des
> Spaltenraums.
>
> b) Geben Sie eine Basis [mm]B_{Z}[/mm] für den Zeilenraum und eine
> Basis [mm]B_{S}[/mm] für den Spaltenraum an.
>
> c) Geben Sie eine Basis des Ergänzungsraums [mm]B_{Z}´[/mm] für
> den Zeilenraum zum [mm]\IZ_{5}^{4}[/mm] und [mm]B_{S}´[/mm] für den
> Spaltenraum zum [mm]\IZ_{5}^{5}[/mm] an.
> a)
> Der Zeilenraum im [mm]\IZ_{5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 }=>\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Der Spaltenraumraum im [mm]\IZ_{5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 3 & 3 }=>\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Die Dimension des Zeilenraumes ist 3.
> Die Dimension des Spaltenraumes ist ebenso 3.
Hallo,
die Umformungen zur ZSF habe ich nicht nachgerechnet.
Vorausgesetzt sie sind richtig, so stimmen die Schlüsse, die Du daraus ziehst.
Es ist übrigens immer dim Zeilenraum=dim Spaltenraum.
>
> b)
> Eine Basis des Zeilenraumes ist [mm]B_{Z}={ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 1} , \vektor{0 \\ 4 \\ 1 \\ 0} , \vektor{0 \\ 0 \\ 3 \\ 2} }[/mm]
Das würde ich als Zeilen angeben - möglicherweise unterscheidet Ihr das aber gar nicht.
>
> Eine Basis des Zeilenraumes ist [mm]B_{S}={ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 2} , \vektor{0 \\ 4 \\ 4 \\ 3 \\ 2} , \vektor{0 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 2} }[/mm]
>
> Ist es bis dahin richtig ?
Vorausgesetzt, die ZSFen stimmen: ja.
> Zu c) Kann mir jemand erklären was Ergänzungsraums und
> [mm]\IZ_{5}^{4}[/mm] bzw. [mm]\IZ_{5}^{5}[/mm] bedeutet ?
[mm] \IZ_{5}^{4} [/mm] ist der Raum, der sämtliche Viertupel mit Einträgen aus dem [mm] \IZ_5 [/mm] enthält,
[mm] \IZ_{5}^{5} [/mm] ist der Raum, der sämtliche Fünftupel mit Einträgen aus dem [mm] \IZ_5 [/mm] enthält.
Du sollst sagen, mit welchem Vektor/welchen Vektoren Du die Basis des Zeilenraumes zu einer Basis [mm] des\IZ_5^4 [/mm] ergänzen kannst,
der Ergänzungsraum [mm] B_Z [/mm] wird von diesem Vektor/diesen Vektoren aufgespannt.
Du sollst sagen, mit welchem Vektor/welchen Vektoren Du die Basis des Spaltenraumes zu einer Basis [mm] des\IZ_5^5 [/mm] ergänzen kannst,
der Ergänzungsraum [mm] B_S [/mm] wird von diesem Vektor/diesen Vektoren aufgespannt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 31.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Könntest du mir erklären wie ich vorgehen soll ?
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Hallo,
[mm] \IZ_5^4 [/mm] hat die Dimension 4.
Also mußt Du noch einen Vektor finden, der die drei Basisvektoren des Zeilenraumes zu einer Basis des [mm] \IZ_5^4 [/mm] ergänzt.
Mußt es halt so machen, daß die 4 Vektoren linear unabhängig sind.
Tip: es funktioniert mit einem Standardbasisvektor.
Für den Spaltenraum mußt Du zwei ergänzende Vektoren finden.
Auch hier wirst Du bei den Standardbasisvektoren fündig.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 01.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ich verstehe schon was ich ergänzen soll und was daraus folgen soll, ich verstehe nur nicht wie ich es machen soll (ich finde kein Verfahren). Könntest du mir ein Verfahren zeigen ?
Oder kann ich einfach schreiben:
Ergänzung einer Basis bez. des Zeilenraums im [mm]\IZ_{5}[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Ergänzung einer Basis bez. des Spaltenraumraums im [mm]\IZ_{5}[/mm]
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
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> Ich verstehe schon was ich ergänzen soll und was daraus
> folgen soll, ich verstehe nur nicht wie ich es machen soll
> (ich finde kein Verfahren). Könntest du mir ein Verfahren
> zeigen ?
Hallo,
wieso?
Offenbar hast Du doch ein Verfahren gefunden, indem Du Zeilen so eingefügt hast, daß Du [mm] 4\times [/mm] 4- bzw. [mm] 5\times-5-Matrizen [/mm] Matrizen mit vollem Rang bekommen hast.
>
> Oder kann ich einfach schreiben:
>
> Ergänzung einer Basis bez. des Zeilenraums im [mm]\IZ_{5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Ergänzung einer Basis bez. des Spaltenraumraums im
> [mm]\IZ_{5}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Du mußt schreiben:
der Vektor ... ergänzt die Basis des Zeilenraumes zu einer Basis des [mm] \IZ_5^4, [/mm] also ist [mm] B_Z=(der [/mm] Vektor),
die Vektoren ... ergänzen die Basis des Spaltenraumes zu einer Basis des [mm] \IZ_5^5, [/mm] also ist [mm] B_S=(die [/mm] Vektoren).
LG Angela
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