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Hallo!
Hab noch eine Aufgabe von meinem LA-Blatt mit der ich so meine Probleme habe. Die Aufgabe lautet:
Wir betrachten den Vektorraum F(M(n;K);K) der Funktionen von M(n;K) nach K. Für jedes i in {1,......,n} definieren wir die Elemente fi und gi aus V durch:
fi(A):= die Summe der Einträge in der i-ten Zeile von A
gi(A):= die Summe der Einträge in der i-ten Spalte von A
wobei A aus M(n;K) ist. Zeigen Sie:
1) Die Teilmenge {f1,......,fn,g1,.....gn} von V ist linear abhängig.
2) Die Teilmenge {f1,...,fn-1,g1,...,gn} von V ist linear unabhängig.
Wäre wirklich super nett, wenn mir jmd. helfen könnte. Verstehe nämlich nicht allzu viel.
Also,wie muss ich diese Aufgaben lösen?
Danke, Sonja
P.S.: Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Do 25.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sonja!
Für alle $A [mm] \in M(n;\IK)$ [/mm] gilt:
[mm] $f_1(A) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f_n(A) [/mm] - [mm] g_1(A) [/mm] - [mm] \ldots [/mm] - [mm] g_n(A) [/mm] =0$,
da die Summe aller Zeilensummen gleich der Summe aller Spaltensummen gleich der Summe aller Matrixeinträge ist.
Daher ist [mm] $(f_1,\ldots,f_n;g_1,\ldots,g_n)$ [/mm] linear abhängig.
Es seien jetzt [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1},\mu_1,\ldots,\mu_n$ [/mm] mit
(*) [mm] $\lambda_1 f_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{n-1} f_{n-1} [/mm] + [mm] \mu_1 g_1 [/mm] + [mm] \ldots \mu_n g_n [/mm] =0$.
Setzt man nun sukzessive [mm] $A_{n,i}$ [/mm] ein, wobei [mm] $A_{n,i}$ [/mm] nur an der Stelle $(n,i)$ eine $1$ hat und sonst lauter Nullen, so erhält man:
[mm] $f_j(A_{n,i}) [/mm] = 0$ für [mm] $j=1,\ldots,n-1$
[/mm]
und
[mm] $g_j(A_{n,i}) [/mm] = 0$ für [mm] $j=1,\ldots,n$, [/mm] $j [mm] \ne [/mm] i$,
[mm] $g_i(A_{n,i}) [/mm] =1$,
also durch Einsetzen von [mm] $A_{n,i}$ [/mm] in (*):
[mm] $\mu_i=0$.
[/mm]
Man hat nun noch:
[mm] $\lambda_1 f_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{n-1} f_{n-1} [/mm] =0$.
Und wie man jetzt darauf kommt, dass die [mm] $\lambda_i$ [/mm] gleich $0$ sind, sollte dir selber klar sein. 
Liebe Grüße
Stefan
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