Zeilenrang=Spaltenrang Beweis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $m,n\in \IN$, [/mm] $K$ ein Körper, [mm] $M\in Mat_{n \times n}(K)$. [/mm] Der Spaltenrang von $M$, $sr(M)$, ist die Dimension des Spaltenraumes von $M$ (also des von den Spaltenvektoren von M aufgespannten K-Vektorraumes), der Zeilenrang, $zr(M)$, die Dimension des Zeilenraumes.
Zeigen Sie: Für jedes M ist $zr(m)=sr(M)$.
(Tipp: Dimensionsformel) |
Hallo zusammen :)
Ich bearbeite gerade die obrige Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter.
Habe im Internet einige Lösungsansätze gefunden, jedoch keiner der sich auf die Dimensionsformel bezieht.
Vielen Dank
LG
Dudi
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Ich glaube ich muss das irgendwie in Verbindung mit dem Bild un dem Kern einer linearen Abbildung beweisen - aber wie?
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moin Dudi,
Weißt du, wie du den Rang ausrechnen kannst (wenn du denn bewiesen hast, dass Zeilen- und Spaltenrang gleich sind)?
Sagt dir der Gaußalgorithmus was?
Wenn ja würde ich dir raten darüber zu argumentieren:
Überlege dir, wieso der Gaußalgorithmus weder die Dimension des Spaltenraums noch die Dimension des Zeilenraums ändert.
Dann überleg dir, auf was für eine Form du eine Matrix mit dem Gauß bringen kannst und wie du bei dieser Form sofort sehen kannst, dass dort Zeilen- und Spaltenrang übereinstimmen.
Solltest du den Gaußalgorithmus noch nicht gehabt haben wäre es mal ganz gut zu wissen was du alles schon hattest und was genau du benutzen darfst/sollst.
lg
Schadow
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Ich habe an einen Beweis in diese Richtung gedacht:
http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~pott/Vorlesungen/LAAG_Ph/kapitel4.pdf
Seite 5
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Nun, dann benutz diesen Beweis doch.^^
Wenn du schon weißt, dass Spaltenrang(T) = dim(Bi(T)) und Zeilenrang(T) = dim(Ke(T)) und wenn du die Dimensionsformel kennst sehe ich gerade nicht, wo dein Problem ist.
Wenn du das noch nicht weißt dann könnte es ein Problem werden diesen Beweis zu benutzen.
Oder verstehst du an dem Beweis etwas nicht?
Dann kannst du natürlich gern fragen. ;)
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Lonpos |
Schau mal hier:
http://www.mediafire.com/imageview.php?quickkey=znorkrmk3k1otjd&thumb=6
Hier wird mit dem Dimensionsargument argumentiert.
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