Zentraler Grenzwert Satz Aufg < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | | Beim Roulette ist die W´keit, dass ein Spieler, der seinen gesamten Einsatz auf eine Farbe setzt, verliert 19/37. Wie oft muss der Spieler, bei einem Einsatz von je einem Euro mindestens spielen, damit die Bank mit W´keit [mm] \ge [/mm] 1/2 mindestens 1000 Euro Gewinn macht. (Hinweis: Zentr. Gr.wert satz) |
Hallo!
Wir haben ein Problem mit der obigen Aufgabe.
Im Prinzip wissen wir, wie man sowas ausrechnet, also dass n gesucht ist und dass man das mit Normalverteilung macht. Es ist ja so, dass der Spieler mind. 1000 mal verlieren muss, damit die Bank mind. 1000 Gewinn macht. Aber wie bringt man die 1000 in irgendeine Formel ein?
Wir haben eine Beispielaufgabe, wo auch n gesucht ist und da ist noch gesagt, dass l h-p l [mm] \le [/mm] 1/100 aber wie groß die abweichung sein darf ist bei uns nicht gegeben.
Wie geht man also hier vor?
Unser Tutor meinte was von wegen Zufallsvariable in Bernoulli-ZV umwandeln und am Ende soll für n was fünfstelliges rauskommen.
Wäre lieb, wenn uns jemand weiterhilft..!
DANKE
lee
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 10.01.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Lee1601,
es sei [mm] $X_i$ [/mm] die Zufallsvariable mit [mm] $(X_i=1)$, [/mm] wenn die Bank im $i$-ten
Spiel gewinnt und [mm] $(X_i=0)$, [/mm] wenn die Bank im $i$-ten Spiel verliert.
Dann kennzeichnet [mm] $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ [/mm] den Gewinn der Bank nach $n$
Spielen. Gesucht ist $n$, so dass [mm] $P(S_n\ge 1000)\ge [/mm] 1/2$.
Als Summe unabhaengiger Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen ist [mm] $S_n$
[/mm]
binomialverteilt mit $n$ und $p=19/37$. Nach dem Zentralen
Grenzwertsatz (Satz von deMoivre-Laplace) ist [mm] $S_n$ [/mm] approximativ
normalverteilt. Man erhaelt danach
[mm]
\begin{matrix}
\frac{1}{2}&\le& P(S_n\ge1000)\\
&=& 1-P(S_n\le 999)\\
&\approx& 1-\Phi(\frac{999.5-n(19/37)}{\sqrt{n(19/37)(17/37)}})
\end{matrix}
[/mm]
Diese Darstellung zeigt, dass $n$ die Approximation [mm] $n\approx 999.5\times [/mm] 37/19=1946.395$ erfuellt. Mithin sollte $n=1947$ gewaehlt werden (nicht fuenfstellig! Das irritiert mich...).
Ich mache noch die Probe mit R:
> 1- pbinom(999,1947,19/37)
[1] 0.5057033
Es gilt also [mm] $1-P(S_{1947}\le [/mm] 999)=0.5057$, was die obigen Ausfuehrungen bestaetigt.
hth
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Do 11.01.2007 | | Autor: | Lee1601 |
Vielen vielen Dank!
Dann war meine ursprüngliche rechnung doch nicht ganz falsch (bei mir kam auch was mit tausendeinhundert irgendwas raus. da hat sich unser tutor wohl vertan.
lg
lee
|
|
|
|
