Zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 So 16.08.2009 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Ein regelmäßiges Ikosaeder (Zwanzigflächner) ist so mit den Zahlen 0 bis 9 beschriftet, dass jede dieser Zahlen genau zweimal vorkommt. Das Ikosaeder wird 40-mal geworfen. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Wurfergebnisse
a) größer als 180 ist
b) kleiner als 180 ist
c) gleich 180 ist |
Guten Morgen zusammen,
ich arbeite mich nun schon seit mehreren Wochen für meine Nachhilfe wieder in das Thema Stochastik ein. Da die 13. Klasse bei mir nun auch schon wieder 3 Jahre her ist und wir in die Stochastik nicht sooo tief vorgedrungen sind, bin ich mir bei einigen Aufgaben unsicher und weiss nicht, ob ich sie richtig gelöst habe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Im Voraus schonmal ein riesen Danke schön!
Mein Gedankenweg bei dieser Aufgabe:
Die Zahlen 0-9 sind ja gleich wahrscheinlich, p=0,1. Der Erwartungswert bei einem Wurf liegt dann bei 4,5 und die Varianz bei 8,25.
Hochgerechnet auf 40 Würfe liegt der Erwartungswert dann bei 180 und die Standardabweichung bei 18,17.
Ich hoffe bis hierhin ist noch alles richtig.
a) P(x>180)
Beim zentralen Grenzwertsatz gibt es ja nur die Formel für [mm] P(x\lek).
[/mm]
Daher hab ichs so umgestellt:
= 1 - [mm] P(x\le180) [/mm]
= 1 - [mm] \emptyset (\bruch{180-180}{18,17})
[/mm]
-->ich weiss leider nicht, ob [mm] "\emptyset" [/mm] das richtige Zeichen ist, es ist aber das Einzige, dass dem was ich gesucht hab, ähnlich sieht. ich hoffe ihr wisst was ich meine
= 1 - [mm] \emptyset(0)
[/mm]
Jetzt hab ich hier im Mathebuch im Anhang eine Tabelle wo ich diese Werte ablesen kann. Leider fängt es erst bei 0,01 an. Die Werte lauten dort [mm] \emptyset [/mm] (0,01)=0,5040 und [mm] \emptyset(-0,01)=0,4960. [/mm]
Deshalb würde ich jetzt vermuten, dass [mm] \emptyset(0)=0,5 [/mm] ist. Aber stimmt das???
b) [mm] P(x\le180)= \emptyset(0)=0,5
[/mm]
c) P(x=180) hab ich folgendermaßen umformuliert
= 1- (P(x>180)+ P(x<180)
= 1- (P(x>180)+ [mm] P(x\le179)
[/mm]
= 1 - (0,5+0,4761)=0,0239
Hab ich das richtig gemacht?
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 So 16.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein regelmäßiges Ikosaeder (Zwanzigflächner) ist so mit
> den Zahlen 0 bis 9 beschriftet, dass jede dieser Zahlen
> genau zweimal vorkommt. Das Ikosaeder wird 40-mal geworfen.
> Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass
> die Summe der Wurfergebnisse
> a) größer als 180 ist
> b) kleiner als 180 ist
> c) gleich 180 ist
> Guten Morgen zusammen,
>
> ich arbeite mich nun schon seit mehreren Wochen für meine
> Nachhilfe wieder in das Thema Stochastik ein. Da die 13.
> Klasse bei mir nun auch schon wieder 3 Jahre her ist und
> wir in die Stochastik nicht sooo tief vorgedrungen sind,
> bin ich mir bei einigen Aufgaben unsicher und weiss nicht,
> ob ich sie richtig gelöst habe. Ich hoffe ihr könnt mir
> helfen! Im Voraus schonmal ein riesen Danke schön!
>
> Mein Gedankenweg bei dieser Aufgabe:
> Die Zahlen 0-9 sind ja gleich wahrscheinlich, p=0,1. Der
> Erwartungswert bei einem Wurf liegt dann bei 4,5 und die
> Varianz bei 8,25.
> Hochgerechnet auf 40 Würfe liegt der Erwartungswert dann
> bei 180 und die Standardabweichung bei 18,17.
> Ich hoffe bis hierhin ist noch alles richtig.
>
> a) P(x>180)
>
> Beim zentralen Grenzwertsatz gibt es ja nur die Formel für
> [mm]P(x\lek).[/mm]
> Daher hab ichs so umgestellt:
> = 1 - [mm]P(x\le180)[/mm]
> = 1 - [mm]\emptyset (\bruch{180-180}{18,17})[/mm]
>
> -->ich weiss leider nicht, ob [mm]"\emptyset"[/mm] das richtige
> Zeichen ist, es ist aber das Einzige, dass dem was ich
> gesucht hab, ähnlich sieht. ich hoffe ihr wisst was ich
> meine
>
> = 1 - [mm]\emptyset(0)[/mm]
> Jetzt hab ich hier im Mathebuch im Anhang eine Tabelle wo
> ich diese Werte ablesen kann. Leider fängt es erst bei
> 0,01 an. Die Werte lauten dort [mm]\emptyset[/mm] (0,01)=0,5040
> und [mm]\emptyset(-0,01)=0,4960.[/mm]
> Deshalb würde ich jetzt vermuten, dass [mm]\emptyset(0)=0,5[/mm]
> ist. Aber stimmt das???
>
> b) [mm]P(x\le180)= \emptyset(0)=0,5[/mm]
>
> c) P(x=180) hab ich folgendermaßen umformuliert
> = 1- (P(x>180)+ P(x<180)
> = 1- (P(x>180)+ [mm]P(x\le179)[/mm]
> = 1 - (0,5+0,4761)=0,0239
Hallo,
das ist unlogisch. Unter den gegebenen Bedingungen muss P(X>180) =P(X<180) sein. Beide sind jeweils kleiner als 0,5, weil ja auch noch P(X=180) dazukommt (und damit muss z.B. [mm] P(X\le [/mm] 180) größer als 0,5 sein.
Gruß Abakus
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> Hab ich das richtig gemacht?
>
> Liebe Grüße und einen schönen Sonntag,
> Kati
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:29 So 16.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Ja, das stimmt, da hast du Recht, von der Seite aus hab ichs noch gar nicht gesehen. Aber vom Vorgehen her war es doch richtig,oder?
Was ist denn dann aber [mm] \emptyset(0) [/mm] und warum steht es nicht in der Tabelle? Wenn es nicht definiert wäre, wäre zB das Ergebnis von a) 1 und das kann ja auch nicht sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 So 16.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo kati93,
[mm] \Phi(0) [/mm] = 0,5 weil der Graph von [mm] \phi, [/mm] die berühmte Gauß-Glockenkurve, symmetrisch zur y-Achse liegt. Die Funktion ist gerade so definiert worden, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen von [mm] \phi [/mm] 1 ist.
Es wundert mich, dass [mm] \Phi(0) [/mm] bei dir nicht angegeben ist, habe eben in einer Formelsammlung und einem Buch nachgesehen: Der Wert wird angegeben.
Mit freundlichem Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 So 16.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Hallo Matheoldie,
ich hab eben extra nochmal nachgeguckt: sowohl im Mathebuch (Klett, Lambacher Schweizer, Stochastik) beginnt die Tabelle mit 0,01 als auch in meiner Formelsammlung (Schroedel). Und auch im Einführungskapitel wird nicht erwähnt, dass [mm] \emptyset(0)=0,5 [/mm] ist.
Aber danke schön fürs Nachschauen! Jetzt weiss ich wenigstens, dass ich da richtig vermutet hab
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 18.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 16.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > c) P(x=180) hab ich folgendermaßen umformuliert
> > = 1- (P(x>180)+ P(x<180)
> > = 1- (P(x>180)+ [mm]P(x\le179)[/mm]
> > = 1 - (0,5+0,4761)=0,0239
> Hallo, > das ist unlogisch....
Wo kommt denn die 0,0239 her? Die hast du ja nicht selber berechnet, sondern irgendwo abgelesen.
Falls diese 0,0239 die Wahrscheinlichkeit für genau 180 darstellt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Kleiner 180: 0,48805 und für Größer 180 ebenfalls 0,48805
wegen 0,48805 +0,0239 + 0,48805 = 1,00000
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 So 16.08.2009 | | Autor: | abakus |
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> > > c) P(x=180) hab ich folgendermaßen umformuliert
> > > = 1- (P(x>180)+ P(x<180)
> > > = 1- (P(x>180)+ [mm]P(x\le179)[/mm]
> > > = 1 - (0,5+0,4761)=0,0239
>
> > Hallo, > das ist unlogisch....
>
> Wo kommt denn die 0,0239 her? Die hast du ja nicht selber
> berechnet, sondern irgendwo abgelesen.
>
> Falls diese 0,0239 die Wahrscheinlichkeit für genau 180
> darstellt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für Kleiner
> 180: 0,48805 und für Größer 180 ebenfalls 0,48805
> wegen 0,48805 +0,0239 + 0,48805 = 1,00000
Hallo,
es sollen ja hier Näherungswerte berechnet werden. Wenn man dabei die tatsächlich diskrete Verteilung durch die stetige Normalverteilung annähern will, so kann man für P(X=180) ersatzweise den Wert P(179,5<X<180,5) aus [mm] \mu, \sigma [/mm] und der Tabelle der Standard-Normalverteilung berechnen.
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:04 So 16.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Ahh, danke für den Hinweis, Abakus! Das werde ich gleich mal ausprobieren. (Edit: komme damit auf p=0,012)
Ich würde aber dennoch gerne wissen, ob mein Vorgehen falsch war und wenn ja, warum?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 18.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:02 So 16.08.2009 | | Autor: | kati93 |
Hallo rabilein1
Wie ich zu der 0,0239 gekommen bin, hab ich ja geschrieben. ich hab die Werte von P(x>180) + [mm] P(x\le179) [/mm] von 1 abgezogen, um so auf den Wert für P(x=180) zu kommen.
P(x>180)=0,5 hatte ich ja aus der vorherigen Teilaufgabe. Und [mm] P(x\le179) [/mm] hab ich in die Formel eingesetzt und bin so auf [mm] \emptyset(-0,06) [/mm] gekommen, was laut Tabelle 0,471 entspricht.
Und 1-(0,5+0,4761)=0,0239
War das falsch? Irgendwie verlier ich den Überblick. Wo liegt mein Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 18.08.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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