Zentralprojektion < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
die Frage hatte ich bereits einmal gestellt, war aber wohl untergegangen..
Hier ist sie nochmal:
ich habe da so ein Problem...
S(-2/3/4) sei mein Projektionszentrum
ich soll in xy-Ebene projizieren.
Ich komm auf folgende Abbildungsmatrix:
[mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 0&\bruch{2}{3} \\
0 & 1&-1 \\ 0&0&0
\end{pmatrix}[/mm]
Nun soll ch die Bildpunte folgender Punkte berechnen:
E(3/2/2) F(3/5/2) G(0/3/5) H(0/2/3)
So ich hab folgende Bildpunkte berechnet, auf Grundlage
folgender Gleichung
[mm]\vec{p'}=A*\vec{p}[/mm]
[mm]E'(\bruch{13}{3}/0/0) F'(\bruch{13}{3}/3/0) G'(\bruch{10}{3}/-2/0)[/mm]
H'(2/-1/0)
In der Lösung werden nun folgende "richtige" Bildpunkte
angegeben... Nun ist die Frage, wo mein Fehler liegt..
[mm]E{'}_{Lös}(8/1/0) F{'}_{Lös}(8/7/0) G{'}_{Lös}(6/11/0) H{'}_{Lös}(6/-1/0)[/mm]
Liebe Grüße und Danke im Voraus
Andreas
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Hallo,
ich versteh halt den Fehler nicht wenn man über den Weg mit der Matrix geht.
Wenn ich die Bildpunkte einzeln berechne über die Geraden, die durch S und den Punkt gehen und den Bldpunkt berechne, indem ich den Schnittpunkt dieser Geraden mit der xy-Ebene suche, dann komme ich aber seltsamer Weise auf die richtgen Bldpunkte.
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Andreas!
> die Frage hatte ich bereits einmal gestellt, war aber wohl
> untergegangen..
>
> Hier ist sie nochmal:
>
> ich habe da so ein Problem...
>
> S(-2/3/4) sei mein Projektionszentrum
>
> ich soll in xy-Ebene projizieren.
>
> Ich komm auf folgende Abbildungsmatrix:
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}
1 & 0&\bruch{2}{3} \\
0 & 1&-1 \\ 0&0&0
\end{pmatrix}[/mm]
Wie denn das? Eine Zentralprojektion ist keine lineare Abbildung, die man mit einer Matrix aus reellen Zahlen beschreiben könnte. Das kannst du dir sofort klarmachen, wenn du dir überlegst, was aus Punkten mit der gleichen z-Koordinate wie S wird.
Aus deiner Mitteilung geht ja hervor, daß du es auch richtig kannst.
> Nun soll ich die Bildpunkte folgender Punkte berechnen:
>
> E(3/2/2) F(3/5/2) G(0/3/5) H(0/2/3)
>
> So ich hab folgende Bildpunkte berechnet, auf Grundlage
> folgender Gleichung
>
> [mm]\vec{p'}=A*\vec{p}[/mm]
>
> [mm]E'(\bruch{13}{3}/0/0) F'(\bruch{13}{3}/3/0) G'(\bruch{10}{3}/-2/0)[/mm]
> H'(2/-1/0)
>
> In der Lösung werden nun folgende "richtige" Bildpunkte
> angegeben... Nun ist die Frage, wo mein Fehler liegt..
>
> [mm]E{'}_{Lös}(8/1/0) F{'}_{Lös}(8/7/0) G{'}_{Lös}(6/11/0) H{'}_{Lös}(6/-1/0)[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
stimmt... du hast Recht, wenn ich einen Punkt mit selber z-Koordinate mit der Matrix verwurschtele komm ich auf einen Bildpunkt, der aber nicht existieren kann, wenn ich mir doch überlege, dass die entstehende Gerade parallel zur xy-Ebene liegt.
Ist das bei jeder Zentralprojektion so? Oder gibt es Ausnahmen?
Ich kann mich nämlich an Aufgaben aus dem Unterricht erinnern, wo wir Zentralprojektionen durch Abbildungsmatrixen darstellen konnten.
Alle anderen Projektionen kann ich doch durch Abbildungsmatrixen darstellen oder?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> stimmt... du hast Recht, wenn ich einen Punkt mit selber
> z-Koordinate mit der Matrix verwurschtele komm ich auf
> einen Bildpunkt, der aber nicht existieren kann, wenn ich
> mir doch überlege, dass die entstehende Gerade parallel zur
> xy-Ebene liegt.
>
> Ist das bei jeder Zentralprojektion so? Oder gibt es
> Ausnahmen?
> Ich kann mich nämlich an Aufgaben aus dem Unterricht
> erinnern, wo wir Zentralprojektionen durch
> Abbildungsmatrixen darstellen konnten.
Merkwürdig! Wie denn?
> Alle anderen Projektionen kann ich doch durch
> Abbildungsmatrixen darstellen oder?
In deinem Fall sieht die Abb. doch so aus:
[mm] (x_{P}|y_{P}|z_{P}) \mapsto [/mm] ( [mm] \bruch{2(2x_{P}+z_{P})}{4 - z_{P}} [/mm] | [mm] \bruch{4y_{P} - 3z_{P}}{4 - z_{P}} [/mm] | 0 )
So ist das im Prinzip immer bei Zentralprojektionen, da taucht eine Koordinate des abzubildenden Punktes im Nenner auf, und das heißt, gewisse Punkte veschwinden im Unendlichen. Dort ist die Abbildung gar nicht definiert, wenn man sich im affinen Raum aufhält.
Parallelprojektionen sind lineare Abbildungen, die kann man durch Matrizen beschreiben.
Hast du noch andere Projektionen?
Gruß
Dieter
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Hallo,
ich danke dir vielmals... Ich hätt wohl sonst im ABI wild Abb.matrixen von Zentralprojektionen berechnet.
Also werde ich falls was allgemeines gefragt ist das halt so angeben:
> [mm](x_{P}|y_{P}|z_{P}) \mapsto[/mm] ( [mm]\bruch{2(2x_{P}+z_{P})}{4 - z_{P}}[/mm] | [mm]\bruch{4y_{P} - 3z_{P}}{4 - z_{P}}[/mm] | 0 )
Vielen Dank nochmal
Andreas
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Hallo,
Zitat aus dem Abi-Lk-Vorbereitungsbuch-NRW-2007 vom Starck-Verlag:
"Durch ene Zentralprojektion vom Punkt P(-2/18/-1) in de xz-Ebene wird B(-3/6/-3) auf B*(-3.5/0/-4) und C auf C*(0.25/0/3.5) abgebildet. Bestimmen Sie die zur Zentralpojektion gehörige Abbildungsmatrix."
Was soll ich denn nun hiermit?
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Darüber muß ich mal echt nachdenken, ich habe ja noch 23 Std. 58 Min. Zeit
Vielleicht ist auch die Sprechweise an der Schule anders als an der Uni...
Dieter
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Hallo,
in der Lösung des Buches ist folgende Abb.matrix angegeben:
A= [mm] \begin{pmatrix}
1 & \bruch{2}{17}&0 \\
0& 0&0 \\
0& \bruch{1}{17} &1
\end{pmatrix} [/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Zitat aus dem Abi-Lk-Vorbereitungsbuch-NRW-2007 vom
> Starck-Verlag:
>
> "Durch ene Zentralprojektion vom Punkt P(-2/18/-1) in de
> xz-Ebene wird B(-3/6/-3) auf B*(-3.5/0/-4) und C auf
> C*(0.25/0/3.5) abgebildet. Bestimmen Sie die zur
> Zentralpojektion gehörige Abbildungsmatrix."
>
> Was soll ich denn nun hiermit?
Wegschmeißen! Die angegebene Lösung beschreibt die lineare Abbildung, die auf den 3 kanonischen Basisvektoren des [mm] \IR^{3} [/mm] die gleiche Wirkung hat wie die gegebene Zentralprojektion.
Aber jetzt berechne bitte mal das Bild von (0|6|0) mit der Matrix und mit deinem (richtigen) Verfahren.
Eine bessere Antwort weiß ich nicht, ist das Buch vom KuMi abgesegnet? Wundern würd's mich nicht. Aus meinen Nachhilfeerlebnissen kenne ich noch ganz andere Dinger.
Alles Gute fürs Abi
Dieter
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Hallo,
was is KuMi?
Kann man Punkte projizeren die oberhalb des Projektionszentrum liegen.. ich mein die entsthende Gerade schneidet de Ebene... aber wie soll man sich das vorstellen (siehe tisch und Lampe)?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 11.04.2007 | | Autor: | statler |
hallo noch mal!
> was is KuMi?
KuMi = Kultusministerium
> Kann man Punkte projizieren, die oberhalb des
> Projektionszentrums liegen.. ich mein die entstehende Gerade
> schneidet die Ebene... aber wie soll man sich das vorstellen
> (siehe Tisch und Lampe)?
Der Mathematiker kann, der Physiker nicht.
(Das ist eine Aussage über die reale Welt und nicht über den Physiker.)
Ciao
Dieter
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Hallo,
ok vielen Dank
wir wusstens doch... Mathematiker können übermenschliche Dinge.
Danke und liebe Grüße
Andreas
P.S.: Wenn sowas in der KLausur drankommt, kann ich dank dr auf den Putz hauen ^^
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