Zerfall eines freien Neutrons < SchulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie für den ß^{-}-Zerfall des freien Neutrons die Rückstoßenergie des Protons, wenn ein Elektron mit [mm] W_{max} [/mm] emittiert wird (relativistisch rechnen!). |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe ein paar Probleme. Bisher habe ich schon mal versucht eine Reaktionsgleichung aufzustellen, die sieht bisher so aus:
[mm] \bruch{1}{0} [/mm] n --> [mm] \bruch{1}{1} [/mm] p + [mm] e^{-} [/mm] + [mm] v_{e} [/mm] + [mm] W_{max}
[/mm]
(Die Bruchstriche sind nur da, damit ich die Neutronen- und Protonenzahl übereinander schreiben könnte  )
Jetzt weiß ich nur nicht, ob bei dem [mm] e^{-} [/mm] und dem Antineutrino noch Neutronen oder Protonen vor müssen und wie ich auf die Energie komme.
Hoffe, es hat wer Plan davon
Danke schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke, du sollst anehmen, dass das e^- die ganze Maximalenergie von 0,78MeV (die hab ich grad in wiki nachgesehen) kriegt, daraus den Impuls des e^- ausrechnen und daraus den Impuls und Energie des p,
ob man das realistisch so rechnen darf weiss ich grad nicht.
Gruss leduart
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Hallo,
danke schon mal für die Hilfe, habe aber immer noch nicht verstanden, was ich genau machen muss.
Also wofür brauche ich den Impuls? Wegen dem Rückstoß?
Für den Impuls gilt ja p = m * v, ich habe aber weder v noch m, weil das m ja relativistisch sein soll und damit von v abhängt. Wenn ich mit E = m * c² das m ausrechne und dann mit der Formel für die relativistische Masse eines bewegten Körpers das v berechne, komme ich auf [mm] 3*10^{8}, [/mm] also die Lichtgeschwindigkeit.
Damit kann ich jetzt den Impuls berechnen, also p= [mm] m_{n}*v=5,025*19^{-19} \bruch{kg * m}{s}.
[/mm]
Aber iwie glaube ich nicht, dass das alles so richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Di 09.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> danke schon mal für die Hilfe, habe aber immer noch nicht
> verstanden, was ich genau machen muss.
> Also wofür brauche ich den Impuls? Wegen dem Rückstoß?
Ja genau.
> Für den Impuls gilt ja p = m * v, ich habe aber weder v
> noch m, weil das m ja relativistisch sein soll und damit
> von v abhängt.
Moment, das stimmt nicht. Für das Elektron und das Proton kennst du die Ruhemasse, und für die gilt die relativistische Beziehung
[mm] p = \gamma m v = \bruch{mv}{\wurzel{1-v^2/c^2}} [/mm]
> Wenn ich mit E = m * c² das m ausrechne
> und dann mit der Formel für die relativistische Masse
> eines bewegten Körpers das v berechne, komme ich auf
> [mm]3*10^{8},[/mm] also die Lichtgeschwindigkeit.
Da hast du was verwechselt. [mm] $E=mc^2$ [/mm] ist die Beziehung zwischen Ruhemasse und Ruheenergie, da bewegt sich nix.
> Damit kann ich jetzt den Impuls berechnen, also p=
> [mm]m_{n}*v=5,025*19^{-19} \bruch{kg * m}{s}.[/mm]
Jetzt weiss ich nicht, wie du auf den Impuls des Neutrons kommst, der ist doch gar nicht gegeben und auch unerheblich: wir rechnen auf jeden Fall im Ruhesystem des Neutrons.
Überlege dir erst einmal, was da eigentlich passiert: vor uns liegt oder schwebt ein einsames Neutron, das in die drei Teile Proton, Elektron und Antineutrino zerfällt. Diese drei Teile fliegen in unterschiedliche Richtungen davon. Da das Neutron vor dem Zerfall ruht, muss die Summe der drei Impulse 0 sein:
[mm] \vec{p}_p + \vec{p}_e + \vec{p}_\nu = 0 [/mm]
Ausserdem gilt der relativistische Energieerhaltungssatz:
[mm] E_n = E_p + E_e + E_\nu [/mm],
wobei das jeweils die Gesamtenergie, also Ruheenergie plus kinetische Energie ist. Diese beiden Gleichungen gelten ganz allgemein für jeden beliebigen Zerfall eines ruhenden Teilchen in drei andere.
Die Beziehung zwischen Energie und Impuls ist die normale relativistische Energie-Impuls-Relation
[mm] E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 [/mm] .
Nun wissen wir aber, dass
1. das Neutron ruht, und daher ist [mm] $E_n=m_n*c^2$;
[/mm]
2. die Ruhemasse des Neutrinos (nahezu) 0 ist: [mm] $m_\nu [/mm] = 0$ und daher [mm] $E_\nu [/mm] = [mm] |\vec{p}_\nu| [/mm] * c$.
Wie die Energie bei einem einzelnen zerfallenden Neutron auf die drei Tochterteilchen aufgeteilt wird, kann man nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vorhersagen. Aber in dieser Aufgabe ist ja schon vorgegeben, dass die Energie des Elektron maximal sein soll. Das ist sicher dann der Fall, wenn die Energie des Neutrinos minimal ist (also gleich der Ruheenergie = 0). Unter diesen Voraussetzungen fallen [mm] $E_\nu$ [/mm] und [mm] $\vec{p}_\nu$ [/mm] weg, und die Richtung der Impulse spielt auch keine Rolle mehr, denn Elektron und Proton fliegen in genau entgegengesetzte Richtungen:
[mm] \vec{p}_p + \vec{p}_e = 0 \implies |\vec{p}_p| = |\vec{p}_e| [/mm]
und
[mm] m_n*c^2 = E_p + E_e [/mm].
Wenn du jetzt noch die Energie-Impuls-Relation einsetzt, also
[mm] E_p^2 = |\vec{p}_p|^2c^2 +m_p^2 c^4 [/mm] und [mm] E_e^2 = |\vec{p}_e|^2c^2 +m_e^2 c^4 [/mm],
kannst du daraus die Impulse und Energien exakt bestimmen.
Das ist ein bischen mühsam; einfacher ist es, wie leduart schrieb, für das Elektron direkt die Maximalenergie von 0,78MeV einzusetzen. Das ist dann aber die Energie ohne die Ruheenergie, also [mm] $E_e [/mm] - [mm] m_ec^2$ [/mm] . Damit kannst du den Impuls des Elektrons ausrechnen, der dann bis auf das Vorzeichen gleich dem Impuls des Protons ist, und daraus dann wieder die Energie des Protons.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:22 Mi 10.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo leduart!
> Hallo
> ich denke, du sollst anehmen, dass das e^- die ganze
> Maximalenergie von 0,78MeV (die hab ich grad in wiki
> nachgesehen) kriegt, daraus den Impuls des e^- ausrechnen
> und daraus den Impuls und Energie des p,
> ob man das realistisch so rechnen darf weiss ich grad
> nicht.
Solange das Neutrino Masse 0 oder im Vergleich zum Elektron winzige Masse hat, geht das.
Viele Grüße
Rainer
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