Zerlegung: Funktion in Summe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 28.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
Ich bin bei dieser Aufgabe vollkommen ratlos und habe überhaupt keine Idee wo man hier anfangen soll:
Gegeben sei eine Funktion [mm] f : \IR \to \IR [/mm].
Überprüfen Sie, ob man [mm] f [/mm] immer zerlegen kann in
a) eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion.
b) ein Produkt aus einer geraden und einer ungeraden Funktion.
Falls dies der Fall ist, untersuchen Sie die Eindeutigkeit der Zerlegung und geben Sie die Summanden bzw. Faktoren an.
Ich wäre für jeden Ansatz sehr dankbar.
Viele Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Samoth
Ich sage einmal etwas zu a)
Du musst nur ein geschicketes $0$ addieren. Etwas pröbeln und Fantasie gehört natürlich dazu. Eine $0_$ entsteht ja immer, wenn du etwas addierst und gleich wieder subrahierst.
Oder auch, wenn du das, was du hast, nochmals addierst und dann das Ganze durch 2 teilst.
Also etwa: [mm] $a=\bruch{a+a}{2}$
[/mm]
Was kann man denn Gescheites nehmen?
Nun, da die Entscheidung, ob es sich um eine gerade oder ungerade Funktion handelt, erfordert, dass man $f(x)$ mit $f(-x)$ vergleicht, drängt sich das doch auf.
Also mal dieses:
$f(x)=f(x)+f(-x)-f(-x)$
Etwas mehr Symmetrie wäre wünschenswert.
Etwa so:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{2}f(x)+f(-x)+\bruch{1}{2}f(x)-f(x)$
[/mm]
Wäre schön, das auf einen Bruch zu bringen. Statt f(-x) zu addieren und wieder zu subtrahieren, kann man natürlich auch jeweis die Hälfte davon nehmen:
[mm] $f(x)=\bruch{1}{2}f(x)+\bruch{1}{2}f(-x)+\bruch{1}{2}f(x)-\bruch{1}{2}f(x)=\bruch{f(x)+f(-x)}{2}+\bruch{f(x)-f(-x)}{2}$
[/mm]
Siehst du, das der erste Bruch eine gerade Funktion darstellt, der zweite aber eine Ungerade? Um das zu sehen, brauchst du nur mal an Stelle von $x_$ ein $-x_$ zu setzen und zu vergleichen! 
Ich hoffe, diese kleinen Tipps helfen dir, dass du jetzt die anderen Teile in Anriff nehmen kannst. Du darfst aber auf keinen Fall vergessen darauf hinzuweisen, dass diese Methode nur geht, wenn zu jedem $x_$ mit $f(x)$ auch $f(-x)$ definiert ist. Das ist hier aber, soviel ich sehe, gegeben!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:00 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo Paulus,
ich danke dir für deine Hilfe, ich glaube, die anderen Aufgaben schaffe ich jetzt alleine.
Nochmals vielen Dank.
Viele Grüße,
Samoth
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