Zerlegung einer Norm < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir betrachten im [mm] $\IR^3$ [/mm] die durch [mm] $b_A(x,y):=x^tAy$ [/mm] definierte Bilinearform mit folgender Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2}
[/mm]
a) Zeige, dass [mm] $b_A$ [/mm] ein Skalarprodukt ist
b) Überführe den Ausdruck [mm] $||x||^2_A=b_A(x,x)$ [/mm] in eine Summe von 3 Termen
c) Finde im [mm] $IZ^3$ [/mm] mit dem Standardskalarprodukt drei Vektoren, deren Grammatrix gleich $A$ ist.
[mm] $a_i(x_i+... \cdots x_3)^2, [/mm] i=1,2,3$
und bestimme hiermit alle [mm] $x\in \IZ^3$ [/mm] mit [mm] $||x||_A^2\leq [/mm] 4$ |
Hallo Zusammen, kurze Frage zu Aufgabe b) (Teil a ist klar):
Ich hab jetzt einfach mal ganz blöd den Ausdruck $x^tAx$ ausgerechnet und dadurch erhält man ja die Norm bzgl. $A$ und die ist eine Summe aus drei Teilen:
[mm] $2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+2x_2x_3+2x_3^2$
[/mm]
Wie presse ich denn das jetzt in die gewünschte Form? Schon etwa seltsam finde ich....
Zu c) Also ich weiß schon was die Gram-Matrix ist und ich weiß auch, wie ich zu einer gegeben Bilinearform eine Gram-Matrix bestimme (abbilden der Basisvektoren usw.) aber die Gram-Matrix von 3 Vektoren??
Wäre echt super, wenn jemand Rat wüsste, ich bin grad echt am verzweifeln... Danke schon mal im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mo 05.12.2011 | | Autor: | wieschoo |
ich kann vielleicht sehr wenig beitragen
Falls nur 3 Summanden gesucht sind, dann kannst du beliebige Summanden nehmen. Nimm doch
[mm]x_1(2x_1+x_2)+x_2(x_1+2x_2+x_3)+x_3(x_2+2x_3)[/mm]
c) Seien die 3 Vektoren [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IZ^3$. [/mm] Dann suchst du [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] so, dass
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2} =\pmat{ \langle a_1,a_1 \rangle & \langle a_1,a_2 \rangle & \langle a_1,a_3 \rangle \\
\langle a_2,a_1 \rangle & \langle a_2,a_2 \rangle & \langle a_2,a_3 \rangle \\
\langle a_3,a_1 \rangle & \langle a_3,a_2 \rangle & \langle a_3,a_3 \rangle} [/mm]
gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 05.12.2011 | | Autor: | rainman_do |
Vielen Dank erstmal für die Antwort. Es war ja nach 3 Summanden gefragt, die jeweils irgendwelche quadrate sind...naja ich hab dann im grunde nur die norm von x ausgerechnet und dann per quadratischer ergänzung solange umgeformt bis ich 3 summanden hatte, die jeweils quadrate waren....mal schauen ob das richtig ist so... das mit der gram-matrix hatte ich auch so gemacht, ich hab es erst falsch verstanden und dachte, es müsse zusätzlich noch die norm bzgl. A kleiner-gleich 4 sein, so wie in der b) und war mir da nicht so ganz sicher...
Nochmal vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Mo 05.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank erstmal für die Antwort. Es war ja nach 3
> Summanden gefragt, die jeweils irgendwelche quadrate
> sind...naja ich hab dann im grunde nur die norm von x
> ausgerechnet und dann per quadratischer ergänzung solange
> umgeformt bis ich 3 summanden hatte, die jeweils quadrate
> waren....mal schauen ob das richtig ist so...
Wenn du das systematisch machen willst, dann musst du die Matrix orthogonal diagonalisieren.
Wenn du die Diagonalmatrix noch als Quadrat schreibst, kannst du das Skalarprodukt [mm] $v^T [/mm] A v$ dann als $(B [mm] v)^T [/mm] (B v)$ schreiben mit einer passenden Matrix $B$, die sich aus der Wurzel von der Diagonalmatrix sowie der Transformationsmatrix zusammensetzt. Das Produkt $(B [mm] v)^T [/mm] (B v)$ ergibt dir nun die gewuenschte Summe von Quadraten.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
