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| Aufgabe | Berechnen sie folgende Summen mit Hilfe der Rechenregeln und Summenformmeln
[mm] \summe_{i=1}^{40} (-1)^{i}\*i^{2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Summe addiert alle geraden Zahlen auf und alle ungeraden Zahlen werden davon abgezogen.
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i} [/mm] ist an für sich ja die geometrische Summe
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^{2} [/mm] lässt sich auch ausdrücken als [mm] \bruch{n(n+1)(n+2)}{6}
[/mm]
Meine Versuche das i so zu substituieren das ich für alle ungraden zahlen i = 2n-1 und für alle geraden zahlen i = 2n habe sind gescheitert, weil ich es nicht geschafft bzw. gesehen habe wie ich die Summe richtig aufteile.
Ich hab auch versucht die Linearität auszunutzen um so eine Summe von 1 bis 20 und 21 bis 40 zu haben, nur dann habe ich das zwar aufgeteilt, aber ungerade und gerade zahlen sind dann immer noch zusammen.
Eine weitere Überlegung war die erste Summe -1 raus zu ziehen und dann zu substitueiren mit i = 2n oder i = 2n-1 nur dann fehlen mit entweder die positvien oder die negativen Werte.
Das Endergebnis ist 820.
Was habe ich übersehn bzw. was habe ich vergessen zu machen ? Bitte nur einen Tipp oder Hinweis in die richtige Richtung.
Vielen Dank für eure Hilfe
MfG Darth
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Die ersten Glieder dieser Reihe lauten -1,3,-6,10,-15,21,-28,36,-45,55.
Wenn Dir diese Zahlen nicht bekannt vorkommen, spring ich im Dreieck.
Beweis geht leicht per Induktion, wenn Du das Summenzeichen erst einmal los bist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Do 27.11.2008 | | Autor: | Darthural |
> Die ersten Glieder dieser Reihe lauten
> -1,3,-6,10,-15,21,-28,36,-45,55.
Ich bin davon Ausgegangen, dass dies die
[mm] \summe_{i=1}^{10} (-1)^{i} \* [/mm] k [mm] \* \bruch{(k+1)}{2}
[/mm]
Nein, die Summe sagt mir so nichts. Aber du hast mich auf einen neue Idee gebracht, alle geraden Zahlen als Summe aufzufassen und alle ungeraden Zahlen als Summe aufzufassen und diese von den geraden abzuziehen.
Der Vollständigkeit halber schreibe ich meine Lösung komplett hin:
[mm] \summe_{i=1}^{20} (-1)^{i} \* k^{2} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{20} (-1)^{2n} \* (2n)^{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{20} (-1)^{2n-1} \* (2n-1)^{2}
[/mm]
Damit habe ich unegarde von gearden Zahlen getrennt.
[mm] (-1)^{2n} [/mm] ist immer positiv und darf folglich als faktor 1 betrachtet werden und vor die Summe gezogen werden.
[mm] (-1)^{2n-1} [/mm] ist immer negativ und darf folglich als faktor (-1) betrachtet werden und vor die Summe gezogen werden.
Nun kann man die Teilsummen alle berechnen. Man erhält:
4 [mm] \summe_{n=1}^{20} n^{2} [/mm] - 4 [mm] \summe_{n=1}^{20} n^{2} [/mm] + 4 [mm] \summe_{n=1}^{20} [/mm] n - [mm] \summe_{n=1}^{20} [/mm] 1
Wie man sieht kürzen sich die ersten beiden Summen raus. Den Rest kann man nun mittels der Summenformeln berechnen.
Danke für die Hilfe
Darth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 27.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ich habe da was anderes raus. Dein Ansatz ist trotzdem gar nicht schlecht!
Du hast da aber noch einen Fehler; findest Du ihn?
Zum Vergleich hier eine gar nicht so andere Reihe: [mm] \summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
Hier die Werte für aufsteigendes n, ab n=1:
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55.
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