Zerlegung eines Vektors < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Fr 11.01.2013 | | Autor: | dertho |
| Aufgabe | Zerlegen Sie den Vektor [mm] \vec{w} \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] in zwei Komponenten [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] , von denen eine senkrecht [mm] \perp [/mm] zu [mm] \vec{a} \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] , die andere senkrecht [mm] \perp [/mm] zur
Ebene x1 + x2 + 2*x3 = 0 ist. |
Ist meine Lösung richtig ?
u [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] -> [mm] \vec{u} [/mm] = u1 + 2*u2 + 3*u3
Skalarprodukt
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1*1 \\ 2*2 \\ 3*-1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -6} [/mm] = (2*1)+(1*4)+(2*-3)=0
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
---------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------
v [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] -> [mm] \vec{v} [/mm] = v1 + 2*v2 + 3*v3
Skalarprodukt
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1*2 \\ 2*2 \\ 3*-1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ -6} [/mm] = (1*2)+(1*4)+(2*-3)=0
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Danke schon mal im voraus !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dertho,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zerlegen Sie den Vektor [mm]\vec{w} \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] in
> zwei Komponenten [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] , von denen eine
> senkrecht [mm]\perp[/mm] zu [mm]\vec{a} \vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] , die
> andere senkrecht [mm]\perp[/mm] zur
> Ebene x1 + x2 + 2*x3 = 0 ist.
> Ist meine Lösung richtig ?
>
> u [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] -> [mm]\vec{u}[/mm] = u1 + 2*u2 + 3*u3
>
> Skalarprodukt
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{1*1 \\ 2*2 \\ 3*-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -6}[/mm] = (2*1)+(1*4)+(2*-3)=0
>
> [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> ---------------------------------------------------------------------
>
> ---------------------------------------------------------------------
>
> v [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] -> [mm]\vec{v}[/mm] = v1 + 2*v2 + 3*v3
>
> Skalarprodukt
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{1*2 \\ 2*2 \\ 3*-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 4 \\ -6}[/mm] = (1*2)+(1*4)+(2*-3)=0
>
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Stelle doch erstmal die Bedingungen auf,
die gelten müssen.
> Danke schon mal im voraus !
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 11.01.2013 | | Autor: | dertho |
hmm, stehe auf dem schlauch...
dachte mit
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{u} [/mm] = 0
wäre damit das skalarprodukt 0 und somit [mm] \vec{u} [/mm] zu [mm] \vec{a} [/mm] senkrecht ?
also jetzt erstmal nur für [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{a}[/mm]
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Hallo dertho,
> hmm, stehe auf dem schlauch...
>
> dachte mit
>
> [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm] = 0
>
> wäre damit das skalarprodukt 0 und somit [mm]\vec{u}[/mm] zu
> [mm]\vec{a}[/mm] senkrecht ?
Ja, das ist richtig.
Es gibt aber noch weitere Bedingungen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Fr 11.01.2013 | | Autor: | dertho |
hmm, ich komm echt nicht drauf. brauche wohl einen nett erfragten hinweis :)
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Hallo,
vllt. hilft es, wenn du mehr als 2 Minuten und in Ruhe drüber nachdenkst ...
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 11.01.2013 | | Autor: | dertho |
ich habe heut schon eine ganze weile da dran gehangen. und mehr kommt da leider nicht bei raus.
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Hallo dertho,
> hmm, ich komm echt nicht drauf. brauche wohl einen nett
> erfragten hinweis :)
Zu allererst muß doch gelten:
[mm]\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}[/mm]
Ausserdem muss [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal zur gegebenen Ebene sein.
Diese Bedingungen kommen zu der bisherigen noch dazu.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Fr 11.01.2013 | | Autor: | dertho |
mein neuer ansatz und danke für deine hilfe.
[mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v}
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Skalarprodukt
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{u} [/mm] = 0
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{1*-1 \\ 1*-2 \\ 2*1} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 4} [/mm] = (2*-1)+(1*-2)+(2*2)=0
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
kann das erstmal für [mm] \vec{u} \perp \vec{a} [/mm] passen ?
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Hallo dertho,
> mein neuer ansatz und danke für deine hilfe.
>
> [mm]\vec{w}[/mm] = [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Skalarprodukt
>
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{u}[/mm] = 0
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] * [mm]\vektor{1*-1 \\ 1*-2 \\ 2*1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-2 \\ -2 \\ 4}[/mm] = (2*-1)+(1*-2)+(2*2)=0
>
> [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> kann das erstmal für [mm]\vec{u} \perp \vec{a}[/mm] passen ?
>
Nein, das passt nicht.
Schreibe Dir doch mal alle 3 Bedingungen auf die gelten müssen.
Daraus kannst Du dann die gesuchten Vektoren berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 11.01.2013 | | Autor: | dertho |
erste bedingung:
[mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v}
[/mm]
zweite bedingung
[mm] \vec{v} [/mm] muss orthogonal zur ebene sein
dritte bedingung
skalarprodukt = 0
aber ich komm hier einfach nicht mehr weiter. mir fällt nichts mehr ein. mist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Calli |
> erste bedingung:
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> [mm]\vec{w}[/mm] = [mm]\vec{u}[/mm] + [mm]\vec{v}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zweite bedingung
>
> [mm]\vec{v}[/mm] muss orthogonal zur ebene sein.
Oder anders ausgedrückt: [mm]\vec{v}[/mm] ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene.
Wie lautet der Normalenvektor zur Ebene ?
> dritte bedingung
>
> skalarprodukt = 0
Welches Skalarprodukt genau ?
Ciao
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