Zerlegung in quadr. Zahlenber. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise: Jedes Element z [mm] \in \IZ[\wurzel{m}], [/mm] für das die Normfunktion [mm] N(z)=|z*\overline{z}| \in \IN [/mm] eine Primzahl ist, ist unzerlegbar in [mm] \IZ[\wurzel{m}] [/mm] |
Guten Tag! Folgenden Beweis hab ich mir überlegt, aber ich schaff es nur das ganze für bestimmte quadratische Zahlenbereiche zu zeigen. Der allgemeine Schritt fehlt und ich würde mich freuen wenn mir da jemand helfen könnte!
Sei z [mm] \in \IZ[\wurzel{m}]
[/mm]
Dann ist [mm] N(z)=|z*\overline{z}|
[/mm]
Sei oBdA [mm] z*\overline{z} \ge [/mm] 0
zZ: [mm] z*\overline{z} \in \IN [/mm] ist Primzahl [mm] \Rightarrow [/mm] z ist unzerlegbar in [mm] \IZ[\wurzel{m}]
[/mm]
[mm] z*\overline{z} [/mm] ist prim gdw. [mm] z*\overline{z} [/mm] ist weder 0 noch eine Einheit in [mm] \IN [/mm] und es gilt [mm] (z*\overline{z})|(x*y) \Rightarrow (z*\overline{z})|x [/mm] oder [mm] (z*\overline{z})|y [/mm] mit x,y [mm] \in \IN.
[/mm]
Für die Unzerlegbarkeit: Sei [mm] z=\alpha*\beta [/mm] eine Zerlegung von z in [mm] \IZ[\wurzel{m}], [/mm] wir müssen zeigen, dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] triviale Teiler von z sind. Dafür reicht es zu Zeigen, dass ein Faktor eine Einheit in [mm] \IZ[\wurzel{m}] [/mm] sein muss (dann muss folglich der andere Faktor assoziiert zu z sein, da z weder eine Einheit noch 0 in [mm] \IZ[\wurzel{m}] [/mm] ist).
Wende Normfkt. auf z an:
[mm] N(z)=N(\alpha*\beta) [/mm] = [mm] N(\alpha)*N(\beta) \in \IN
[/mm]
[mm] \gdw z*\overline{z} [/mm] = [mm] N(\alpha)*N(\beta)
[/mm]
Da [mm] (z*\overline{z}) [/mm] prim in [mm] \IN [/mm] ist teilt es [mm] N(\alpha) [/mm] oder [mm] N(\beta).
[/mm]
Aufgrund der Gleichung gilt aber auch [mm] N(\alpha)|(z*\overline{z}) [/mm] bzw. [mm] N(\beta)|(z*\overline{z}).
[/mm]
Falls [mm] (z*\overline{z})|N(\alpha) [/mm] ist mit [mm] N(\alpha)|(z*\overline{z}) [/mm] in [mm] \IN [/mm] damit [mm] N(\alpha)=(z*\overline{z}) \Rightarrow N(\beta)=1.
[/mm]
Falls die Normfunktion monoton ist, gilt [mm] N(\beta)=1 \gdw \beta [/mm] ist Einheit in [mm] \IZ[\wurzel{m}]. [/mm] Umgekehrt folgt mit [mm] (z*\overline{z})|N(\alpha), [/mm] dass [mm] \alpha [/mm] eine Einheit in [mm] \IZ[\wurzel{m}] [/mm] ist und damit die Unzerlegbarkeit in z.
Ich musste hier blöderweise einbauen, dass die Normfunktion monoton ist, um an die Einheit in [mm] \IZ[\wurzel{m}] [/mm] zu kommen. Hat jemand einen Vorschlag womit ich das umgehen kann? Schließlich sollte dieses Lemma für beliebige quadratische Zahlenbereiche gelten und nicht jeder besitzt eine monotone Normfunktion.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 30.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweise: Jedes Element z [mm]\in \IZ[\wurzel{m}],[/mm] für das die
> Normfunktion [mm]N(z)=|z*\overline{z}| \in \IN[/mm] eine Primzahl
> ist, ist unzerlegbar in [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm]
> Guten Tag! Folgenden Beweis hab ich mir überlegt, aber
> ich schaff es nur das ganze für bestimmte quadratische
> Zahlenbereiche zu zeigen. Der allgemeine Schritt fehlt und
> ich würde mich freuen wenn mir da jemand helfen könnte!
>
> Sei z [mm]\in \IZ[\wurzel{m}][/mm]
> Dann ist [mm]N(z)=|z*\overline{z}|[/mm]
> Sei oBdA [mm]z*\overline{z} \ge[/mm] 0
> zZ: [mm]z*\overline{z} \in \IN[/mm] ist Primzahl [mm]\Rightarrow[/mm] z ist
> unzerlegbar in [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm]
>
> [mm]z*\overline{z}[/mm] ist prim gdw. [mm]z*\overline{z}[/mm] ist weder 0
> noch eine Einheit in [mm]\IN[/mm] und es gilt [mm](z*\overline{z})|(x*y) \Rightarrow (z*\overline{z})|x[/mm]
> oder [mm](z*\overline{z})|y[/mm] mit x,y [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Für die Unzerlegbarkeit: Sei [mm]z=\alpha*\beta[/mm] eine Zerlegung
> von z in [mm]\IZ[\wurzel{m}],[/mm] wir müssen zeigen, dass [mm]\alpha[/mm]
> und [mm]\beta[/mm] triviale Teiler von z sind. Dafür reicht es zu
> Zeigen, dass ein Faktor eine Einheit in [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm]
> sein muss (dann muss folglich der andere Faktor assoziiert
> zu z sein, da z weder eine Einheit noch 0 in
> [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm] ist).
>
> Wende Normfkt. auf z an:
> [mm]N(z)=N(\alpha*\beta)[/mm] = [mm]N(\alpha)*N(\beta) \in \IN[/mm]
> [mm]\gdw z*\overline{z}[/mm]
> = [mm]N(\alpha)*N(\beta)[/mm]
> Da [mm](z*\overline{z})[/mm] prim in [mm]\IN[/mm] ist teilt es [mm]N(\alpha)[/mm]
> oder [mm]N(\beta).[/mm]
> Aufgrund der Gleichung gilt aber auch
> [mm]N(\alpha)|(z*\overline{z})[/mm] bzw. [mm]N(\beta)|(z*\overline{z}).[/mm]
> Falls [mm](z*\overline{z})|N(\alpha)[/mm] ist mit
> [mm]N(\alpha)|(z*\overline{z})[/mm] in [mm]\IN[/mm] damit
> [mm]N(\alpha)=(z*\overline{z}) \Rightarrow N(\beta)=1.[/mm]
> Falls
> die Normfunktion monoton ist, gilt [mm]N(\beta)=1 \gdw \beta[/mm]
> ist Einheit in [mm]\IZ[\wurzel{m}].[/mm] Umgekehrt folgt mit
> [mm](z*\overline{z})|N(\alpha),[/mm] dass [mm]\alpha[/mm] eine Einheit in
> [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm] ist und damit die Unzerlegbarkeit in z.
>
> Ich musste hier blöderweise einbauen, dass die
> Normfunktion monoton ist, um an die Einheit in
> [mm]\IZ[\wurzel{m}][/mm] zu kommen. Hat jemand einen Vorschlag womit
> ich das umgehen kann? Schließlich sollte dieses Lemma für
> beliebige quadratische Zahlenbereiche gelten und nicht
> jeder besitzt eine monotone Normfunktion.
Was genau verstehst du darunter, dass die Normfunktion monoton ist? Den Begriff habe ich bei Normfunktionen noch nie gehoert...
Beachte, dass falls $z [mm] \in \IZ[\sqrt{m}]$ [/mm] ist, dann auch [mm] $\overline{z} \in \IZ[\sqrt{m}]$ [/mm] ist. Falls also $z [mm] \overline{z} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$ ist, dann ist [mm] $\pm \overline{z}$ [/mm] offensichtlich das Inverse von $z$, womit $z$ dann eine Einheit ist.
Hier braucht man keinerlei spezielle Eigenschaften. Aehnlich kann man das uebrigens auch fuer allgemeine Zahlbereiche beweisen, man muss nur ein kleines wenig mehr Algebra verwenden.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Raute1337 |
> Was genau verstehst du darunter, dass die Normfunktion
> monoton ist? Den Begriff habe ich bei Normfunktionen noch
> nie gehoert...
Eine Normfunktion [mm]N:R\to\IN[/mm] eines Ringes R habe ich hier "monoton" genannt, wenn gilt N(e)=1 [mm] \gdw [/mm] e ist eine Einheit in R (Die Begriffe habe ich aus Remmert und Ullrichs "Elementare Zahlentheorie" übernommen).
Warum sie sie "monoton" genannt haben, ist mir allerdings auch etwas schleierhaft. Begründung war hier: Dass dann für einen echten Teiler a von [mm]b \not= 0[/mm] stets gilt: N(a) < N(b).
> Beachte, dass falls [mm]z \in \IZ[\sqrt{m}][/mm] ist, dann auch
> [mm]\overline{z} \in \IZ[\sqrt{m}][/mm] ist. Falls also [mm]z \overline{z} = \pm 1[/mm]
> ist, dann ist [mm]\pm \overline{z}[/mm] offensichtlich das Inverse
> von [mm]z[/mm], womit [mm]z[/mm] dann eine Einheit ist.
Oh, tatsächlich. Irgendwie hatte ich nur die speziellen Zahlenbereiche [mm]\IZ[\sqrt{m}][/mm] im Kopf, in denen [mm]m[/mm] quadratfrei ist. Aber du hast natürlich vollkommen recht. In diesem Fall wäre die so definierte Normfunktion immer "monoton" und damit auch für allgemeine quadratische Zahlenbereiche gültig!
> Hier braucht man keinerlei spezielle Eigenschaften.
> Aehnlich kann man das uebrigens auch fuer allgemeine
> Zahlbereiche beweisen, man muss nur ein kleines wenig mehr
> Algebra verwenden.
>
> LG Felix
>
Vielen Dank für deine Hilfe Felix!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Was genau verstehst du darunter, dass die Normfunktion
> > monoton ist? Den Begriff habe ich bei Normfunktionen noch
> > nie gehoert...
>
> Eine Normfunktion [mm]N:R\to\IN[/mm] eines Ringes R habe ich hier
> "monoton" genannt, wenn gilt N(e)=1 [mm]\gdw[/mm] e ist eine Einheit
> in R (Die Begriffe habe ich aus Remmert und Ullrichs
> "Elementare Zahlentheorie" übernommen).
> Warum sie sie "monoton" genannt haben, ist mir allerdings
> auch etwas schleierhaft. Begründung war hier: Dass dann
> für einen echten Teiler a von [mm]b \not= 0[/mm] stets gilt: N(a) <
> N(b).
Ah. Hier ist allerdings eine Normfunktion mit Wertebereich [mm] $\IN$ [/mm] gemeint. Die Norm (aus der Galoistheorie), die man bei (quadratischen) Zahlbereichen verwendet, ist das nicht immer (s.u.).
> > Beachte, dass falls [mm]z \in \IZ[\sqrt{m}][/mm] ist, dann auch
> > [mm]\overline{z} \in \IZ[\sqrt{m}][/mm] ist. Falls also [mm]z \overline{z} = \pm 1[/mm]
> > ist, dann ist [mm]\pm \overline{z}[/mm] offensichtlich das Inverse
> > von [mm]z[/mm], womit [mm]z[/mm] dann eine Einheit ist.
Ah. Ich ging hier davon aus, dass [mm] $\overline{\bullet} [/mm] : [mm] \IQ[\sqrt{m}] \to \IQ[\sqrt{m}]$ [/mm] der nicht-triviale Automorphismus ist, und nicht umbedingt die komplexe Konjugation. (Der Automorphismus ist durch $a + b [mm] \sqrt{m} \mapsto [/mm] a - b [mm] \sqrt{m}$ [/mm] gegeben fuer $a, b [mm] \in \IQ$; [/mm] falls $m < 0$ ist, ist dies gerade die komplexe Konjugation.)
Fuer $m > 0$ kann diese Normfunktion auch negative Werte annehmen, und man hat auch fuer $-1$ eine Einheit.
Wenn man dagegen bei $m > 0$ ebenfalls die komplexe Konjugation nimmt, hat man ein anderes Problem: die Norm $z [mm] \mapsto [/mm] z [mm] \overline{z}$ [/mm] ist dann zwar nicht-negativ, aber nimmt nicht umbedingt Werte in [mm] $\IN$ [/mm] an -- wie etwa $(1 + [mm] \sqrt{2}) \overline{(1 + \sqrt{2})} [/mm] = (1 + [mm] \sqrt{2})^2 [/mm] = 3 + 2 [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Deswegen sollte man bei $m > 0$ nicht mit der komplexen Konjugation arbeiten.
> Oh, tatsächlich. Irgendwie hatte ich nur die speziellen
> Zahlenbereiche [mm]\IZ[\sqrt{m}][/mm] im Kopf, in denen [mm]m[/mm]
> quadratfrei ist. Aber du hast natürlich vollkommen recht.
> In diesem Fall wäre die so definierte Normfunktion immer
> "monoton" und damit auch für allgemeine quadratische
> Zahlenbereiche gültig!
Nun, monoton ist sie nur fuer $m < 0$, da sie ansonsten auch negative Werte annehme kann (und somit gar nicht der Definition einer Normfunktion erfuellt, die du benutzt hast um zu sagen was monoton bedeutet). Genauer gesagt: es gibt (oft, aber nicht umbedingt immer!) auch Einheiten mit Norm -1.
LG Felix
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