Zerstreute, lineare Ordnung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Eine lineare Ordnung [mm] $\leq_A$ [/mm] auf der abzählbaren (mit abzählbar ist abzählbar unendlich gemeint) Menge $A$ heißt zerstreut, genau dann wenn die Aussage:
Es gibt eine ordnungstreue Abbildung
[mm] $\pi: (\mathbb{Q}, \leq_A)\to [/mm] (A, [mm] \leq_A)$
[/mm]
nicht zutrifft.
Finde mindestens abzählbar (unendlich) viele, paarweise, nicht isomorphe, zerstreute Ordnungen auf [mm] $\mathbb{N}$. [/mm] |
Hi,
ich wollte Fragen ob dieser Gedanke zu obiger Aufgabe richtig ist.
Ich habe eine Abbildung [mm] $\pi$ [/mm] welche eine unendlich aufsteigende Kette in [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] auf eine lineare Ordnung der natürlichen Zahlen abbildet.
Dann könnte ich ja nun zum Beispiel folgende Kette in [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] haben:
1<2<3<4<... usw. also auch erstmal einfach nur die natürliche Ordnung. Dies bilde ich dann ab auf die Kette:
2<3<4<5<...<1
Als nächste Abbildung könnte ich dann wieder die natürliche Ordnung auf
3<4<5<...<1<2 abbilden.
usw. und hätte dadurch, wenn ich weiter so vorgehe, bereits abzählbar viele zerstreute Ordnungen auf den natürlichen Zahlen gefunden.
Diese Ordnungen sind auch nicht isomorph, denn ich kann keinen Isomorphismus zwischen den Mengen angeben, weil wenn ich es tuen wollte, so würde es daran scheitern, dass in dem erst genannten Beispiel ich die "Bijektion" ja so wähle, dass ich jeweils
[mm] $1\mapsto [/mm] 2$
[mm] $2\mapsto [/mm] 3$
usw. abbilde. Dann bleibt jedoch keine Zahl mehr übrig die auf 1 abbgebildet wird
[mm] x\overset{\text{?}}{\mapsto}1
[/mm]
Kann ich das so machen?
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Dein Ergebnis stimmt, ich bin mir trotzdem nicht ganz sicher, ob du die Aufgabe richtig verstanden hast. Gesucht sind Ordnungen auf [mm] $\IN$, [/mm] sodass es keine ordnungstreue Abbildung [mm] $\IQ\to\IN$ [/mm] gibt. "Ketten in [mm] $\IQ$" [/mm] sollten bei einer Argumentation nirgends auftauchen und "die natürliche Ordnung auf 3<4<...<1<2 abbilden" ist sinnfrei.
Trotzdem stimmt dein Resultat, die Ordnungen die du angibst (natürlich entsprechend für höhere Zahlen) liefern die abzählbar vielen Beispiele, die du suchst.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wie ist dies zu verstehen?
Meine angegebene Abbildung ist falsch, aber das Resultat dennoch richtig? :D
Wenn ich die Kette wie oben habe, dann ist diese doch nicht ordnungstreu, oder etwa nicht?
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Es ist keine Abbildung anzugeben! Es sind Ordnungen anzugeben. Und was ist eine "ordnungstreue Kette"?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 17.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt "ordnungstreue Kette" macht keinen Sinn.
Aber ordnungstreu ist ja so definiert, dass wenn ich zwei Mengen A, B mit einer Ordung <_A und <_B gegeben habe, dass die Abbildung ordnungstreu ist, wenn gilt
f: [mm] A\to [/mm] B (bezüglich <_A und <_B) ist ordnungstreu genau dann wenn, für alle [mm] $x,y\in [/mm] A$:
[mm] $x<_Ay\Leftrightarrow [/mm] f(x)<_B f(y)$.
Also brauche ich doch eine Abbildung, oder nicht?
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> Finde mindestens abzählbar (unendlich) viele, paarweise,
> nicht isomorphe, zerstreute Ordnungen auf [mm]\mathbb{N}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mi 18.06.2014 | | Autor: | YuSul |
>[mm]A[/mm] heißt
> zerstreut, genau dann wenn die Aussage:
>
> Es gibt eine ordnungstreue Abbildung
>
> [mm]\pi: (\mathbb{Q}, \leq_A)\to (A, \leq_A)[/mm]
>
> nicht zutrifft.
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Du hast eine Definition zitiert. Ich die Aufgabe. Du willst die Aufgabe lösen, die sagt, "Gib abzählbar viele Ordnungen mit einer gewissen Eigenschaft an". Ich habe jetzt schon verraten, dass die Ordnungen
[mm] $\le_k$, [/mm] welche sich als [mm] $k+1
Zu zeigen ist also, dass sie tatsächlich zerstreut sind. Aber auch hierfür ist keine Abbildung anzugeben, sonder zu widerlegen, dass eine streng wachsende Funktion [mm] $\IQ\to(\IN,\le_k)$ [/mm] existiert.
Dazu genügt es, sich zu überlegen, dass das Bild einer dichten Ordnung unter einer ordnungstreuen Abbildung wieder dicht ist, und dass in [mm] $(\IN,\le_k)$ [/mm] keine dicht geordneten Teilmengen (mit mehr als einem Element) existieren.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 18.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Darf ich hier die natürlichen Zahlen eigentlich einfach so verwenden? Denn die Definition verlangt ja die rationalen Zahlen und das ist ja dann ja etwas anderes.
Ich bin mir natürlich bewusst, dass jede natürliche Zahl auch rational ist.
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Es sind Ordnungen auf den natürlichen Zahlen gesucht! Ein Beispiel wäre etwa [mm] $\IN$ [/mm] mit der natürlichen Ordnung.
Um zu zeigen, dass dieses tatsächlich ein Beispiel liefert, also eine zerstreute Ordnung ist, muss per Definition gezeigt werden, dass keine streng wachsende Funktion von den rationalen Zahlen auf diese Ordnung existiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, also wenn ich die natürliche Ordnung habe, dann kann dies schon mal nicht dicht sein, weil zwischen zwei natürlichen Zahlen, die jeweils Vorgänger und Nachfolger sind (wie 2 und 3) keine weitere natürliche Zahl liegt.
Daher existiert auf den natürlichen Zahlen auch keine dicht geordnete Teilmenge mit mehr als einem Element.
Nur zum Verständnis:
Die Menge [mm] $\{1\}\subset \mathbb{N}$ [/mm] wäre nach Definition dicht?
Ja, das macht Sinn, weil in der Menge ja auch nicht y<x gelten kann. Dann muss auch nicht y<z<x gelten.
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> Okay, also wenn ich die natürliche Ordnung habe, dann kann
> dies schon mal nicht dicht sein, weil zwischen zwei
> natürlichen Zahlen, die jeweils Vorgänger und Nachfolger
> sind (wie 2 und 3) keine weitere natürliche Zahl liegt.
Genau. Allerdings sind damit Teilmengen, welche keine Nachfolger enthalten, noch nicht betrachtet. Aus diesem Argument folgt z.B. nicht, dass [mm] $\{1,3\}\subseteq(\IN,\le)$ [/mm] nicht dicht ist.
> Daher existiert auf den natürlichen Zahlen auch keine
> dicht geordnete Teilmenge mit mehr als einem Element.
>
> Nur zum Verständnis:
>
> Die Menge [mm]\{1\}\subset \mathbb{N}[/mm] wäre nach Definition
> dicht?
> Ja, das macht Sinn, weil in der Menge ja auch nicht y<x
> gelten kann. Dann muss auch nicht y<z<x gelten.
Ja.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:45 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Teilmengen der natürlichen Zahlen mit mehr als einem Element sind nicht dicht, weil wenn sie dicht wären, dann würde sich diese Teilmenge "füllen" bis wir einen Ausschnitt aus den natürlichen Zahlen hat. Also wenn man sich die Zahlengerade vorstellt, haben wir irgendwann einen Teil der natürlichen Zahlen ausgeschnitten. Dies können wir dann nicht mit einer weiteren natürlichen Zahl füllen.
Ich veranschauliche es mal an einem Beispiel, was ich versucht habe zu erklären:
[mm] $\{1,3\}\subset \mathbb{N}$
[/mm]
Wenn man nun zeigen wollte das dies dicht ist, dann gilt wegen
1<3 und 1<2<3 wobei hier nun mal die 2 die Definition von dicht erfüllt. Nun gibt es aber keine Zahl mehr die zwischen 1<2 oder 2<3 passt.
Und so funktioniert es auch mit jeder anderen Teilmenge mehr als einem Element, da diese ja ein Maximum und ein Minimum haben.
Stellt man sich das nun auf der Zahlengerade vor, so wären das Maximum und Minimum die beiden "Begrenzungen" was man aus den natürlichen Zahlen raus schneidet und da zwischen wird alles gefüllt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 21.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Oder allgemein: [mm] $\IN$ [/mm] ist wohlgeordnet, und damit auch jede Teilmenge. Eine dichte Ordnung mit mehr als einem (und damit bereits unendlich vielen) Elementen ist aber nicht wohlgeordnet. Sei nämlich $A$ eine solche Menge. Entweder liefert $A$ schon ein Gegenbeispiel zur Wohlordnung und hat kein Minimum. Sonst betrachte [mm] $\{x\in A\mid x>\min A\}$. [/mm] Wegen Dichtheit hat diese kein Minimum, denn zu jedem möglicherweise kleinsten Element dieser Menge findet man noch eines, das zwischen diesem und [mm] $\min [/mm] A$ liegt.
Dies zeigt, dass jede Wohlordnung auf [mm] $\IN$ [/mm] ein Gegenbeispiel liefert. Tatsächlich sind [mm] $(\IN,\le_k)$ [/mm] abzählbar viele nicht isomorphe Wohlordnungen auf [mm] $\IN$ [/mm] (und ich meine, das Resultat hast du schonmal hier im Forum besprochen, oder?)
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 22.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, ich hatte hier einmal nach abzählbar vielen solcher Ketten gefragt.
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Gut, dann reicht es so:
[mm] $(\IN,\le_k)$ [/mm] liefern abzählbar viele nicht isomorphe Wohlordnungen auf [mm] $\IN$.
[/mm]
Zu zeigen ist nur, dass diese auch zerstreut sind. Angenommen, es gäbe einen Ordnungshomomorphismus [mm] $f\colon\IQ\longrightarrow [/mm] W$ mit $W$ eine Wohlordnung. Dann ist [mm] $f(\IQ)$ [/mm] dicht, denn für $f(a)<f(c)$ gilt auch $a<c$, es gibt also ein $b$ mit $a<b<c$ und somit auch $f(a)<f(b)<f(c)$. Zu zeigen ist, dass es keine dichten Teilmengen einer wohlgeordneten Menge gibt, wie bereits oben geschehen.
Fertig.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: Das war als Mitteilung gedacht und nicht als Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 24.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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