Zeta-Funktion als Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Zeigen Sie, dass durch
[mm] \zeta(z)=\summe_{n=1}^{\infty} n^{-z}~~~~~~~~(n^{-z}=e^{-z \ln{n}}) [/mm]
eine in der Halbebene [mm] \{z \in \IC : \text{Re } z\ >1} [/mm] holomorphe Funktion (Riemannsche [mm] \zeta- [/mm] Funktion) definiert wird.
b)
Entwickeln Sie diese Funktion im Punkt z=2 in eine Potenzreihe und geben Sie den Konvergenzradius an (mit Begründung). |
Tachchen.
Also ich bin bei der Potenzreihe und habe folgendermaßen angefangen:
[mm] n^{-z}=e^{-(z-2+2)\ln{n}}=e^{-2\ln{n}} \cdot e^{-(z-2)\ln{n}}=\bruch{1}{n^2}\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\ln{n})^k}{k!}\cdot(z-2)^k [/mm]
und damit:
[mm] \zeta(2)=\summe_{n=1}^{\infty} n^{-2}=\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n^2}\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\ln{n})^k}{k!}\cdot(z-2)^k [/mm] )
Das ist doch jetzt mit der Doppelsumme irgendwie keine richtige Potenzreihe? Bloß wie soll ich hier weitermachen oder muss ich den Audruck doch so stehen lassen?
Vielen Dank für eure Tipps.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 14.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich bin bei der Potenzreihe und habe folgendermaßen
> angefangen:
>
> [mm]n^{-z}=e^{-(z-2+2)\ln{n}}=e^{-2\ln{n}} \cdot e^{-(z-2)\ln{n}}=\bruch{1}{n^2}\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\ln{n})^k}{k!}\cdot(z-2)^k[/mm]
> und damit:
> [mm]\zeta(2)=\summe_{n=1}^{\infty} n^{-2}=\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> ( [mm]\bruch{1}{n^2}\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\ln{n})^k}{k!}\cdot(z-2)^k[/mm]
> )
> Das ist doch jetzt mit der Doppelsumme irgendwie keine
> richtige Potenzreihe? Bloß wie soll ich hier weitermachen
> oder muss ich den Audruck doch so stehen lassen?
Die Reihen konvergieren doch absolut, also darfst du die Summationen vertauschen:
[mm] \zeta(2)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}\cdot \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\ln{n})^k}{k!}\cdot(z-2)^k = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}\cdot(z-2)^k * \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-\ln{n})^k}{n^2}[/mm] .
Eine einfachere Darstellung sehe ich nicht, auch durch Nachschlagen bei ![[]](/images/popup.gif) Abramowitz und Stegun.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 16.12.2007 | | Autor: | Mr.Teutone |
Ok, ich dank dir. Dann werd ich die Summenzeichen so wie von dir vorgeschlagen noch vertauschen.
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