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Hallo, folgende Aufgabe: Sie möchten 35 Jahre lang vorschüssig Ratensparen, um danach 15 Jahre lang einen konstanten jährlichen Betrag vorschüssig zur Verfügung zu haben. Wie hoch müssen die Ansparraten bei einer jährlichen Verzinsung von 5,5% sein, damit die Auszahlungsraten Euro 900 betragen.
also mir fällt da nur ein dass die Formel E(vor) = R*q* [mm] (q^n [/mm] -1/q-1) Aber ich kann ja nicht als Raten die 900 Euro einsetzen.???
JEmand nen Tip?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 So 21.11.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo t-offline,
beim Lösen dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher. Vielleicht kann aber auch ein falscher Lösungsansatz zum richtigen Lösungsweg hinführen.
Meine Überlegungen:
Die Ansparrate muß mit der Auszahlungsrate äquivalent sein.
Beide Ratenzahlungen sind vorschüssige Renten.
Für die Ansparrate ist der Endwert einer vorschüssigen Rente zu ermitteln.
Für die Auszahlungsrate ist der Barwert einer vorschüssigen Rente zu ermitteln.
Formel für Endwert [mm] R_n' [/mm] einer vorschüssigen Rente:
[mm] R_n' [/mm] = R*[mm]\bruch{q^{n}-1}{q-1}*q[/mm]
Formel für Barwert [mm] R_0' [/mm] einer vorschüssigen Rente:
[mm] R_0' [/mm] = R*[mm]\bruch{q^{n}-1}{q-1}*{\bruch{1}{q^{n-1}}[/mm]
Ansatz:
R*[mm]\bruch{1,055^{35}-1}{1,055-1}*1,055[/mm] = 900*[mm]\bruch{1,055^{15}-1}{1,055-1}*{\bruch{1}{1,055^{14}}[/mm]
R = 90,11
Wer kann weiterhelfen?
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Hallo Josef, vielen Dank.
das Ergebnis stimmt! Hab aber keine Ahnung, warum du es so rechnest. Hab mir das ganze auch nochmal überlegt und hab folgende Formel aufgestellt:
nach 15 Jahre bekommt er ja 15*900= 13500 Euro
Dann hab ich
13 500 = R * 1,055 * [mm] (1,055^{15} [/mm] -1 / 1,055-1)
komm aber auf ein falsches Ergebnis. Kann man deine Rechnung auch mit einer anderen Formel rechnen? Die Barwertformel haben wir noch nie verwendet
gruss hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 21.11.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo t-offline,
bei vorschüssigen Rentenzahlungen werden die Rentenraten am Anfang einer jeden Rentenperiode gezahlt. In der Aufgabenrechnung erfolgt die Einzahlung der 1. Rentenrate am Beginn des 1. Jahres. Das bedeutet, dass dieser Betrag volle 35 lang auf dem Konto verbleibt und demnach 35 lang verzinst wird. Er wird dabei auf
[mm] K_n{0} [/mm] = [mm] R*1,055^{35}anwachsen. [/mm]
Für die weiteren Rentenraten gilt unter Berücksichtigung der kürzeren Anlagezeit auf dem Konto entspechendes.
Aus weiteren Rechnungen und Umformungen ergibt sich hieraus die vorschüssige Rentenendwertformel:
[mm] R_n [/mm] = r*q*[mm]\bruch{q^{n}-1}{q-1}[/mm].
Den Barwert einer vorschüssigen Rente erhält man wie im nachschüssigen Fall durch Abzinsung des Rentenendwertes:
[mm] R_0 [/mm] = [mm] R_n*[/mm] [mm]\bruch{1}{q^n}[/mm].
Durch weitere Rechnungen und Umformungen ergibt sich die vorschüssige Rentenbarwertformel:
[mm] R_0=r*[/mm] [mm]\bruch{q^{n}-1}{q-1}*\bruch{1}{q^{n-1}}[/mm].
Auch im Falle vorschüssiger Renten ist der Rentenbarwert dasjenige Kapital, das vor Beginn des Rentenvorgangs vorhanden sein muß, damit aus dem Kapital und den darauf zu zahlenden Zinsen alle notwendigen Rentenraten gezahlt werden können.
Somit komme ich auf meinen Ansatz.
Bei der ersten vorschüsssigen Rentenzahlung, 35 Jahre lang, ist der Rentenendwert gefragt. Dieser Rentenendwert ist gleich der Rentenbarwert für die 15 Jahre langen Rentenzahlungen.
In der Finanzmathematik gibt es viele Formeln, die zum selben Ziel führen.
Da Finanzmathematik für mich Neuland ist, kenne ich nur die mir vertrauten Formeln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 21.11.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Josef, lieber Hans!
Ich habe Josefs Ergebnis überprüft. Er hat alles richtig gemacht, insbesondere die Unterscheidung von Barwert (Anfangswert) und Endwert ist hier entscheidend. Beide Zahlungsströme müssen ja 35 Jahre nach heute bewertet werden. Den Zusammenhang zwischen Barwert und Endwert hat Josef ja auch aufgeschrieben (Aufzinsungsfaktor [mm] $q^n$). [/mm] Ansonsten möchte ich zu Hans' Ansatz hinzufügen, dass die Rechnung [mm] $15\cdot [/mm] 900$ auf den falschen Weg führt, da jede Rate ja zu einem anderen Zeitpunkt gezahlt wird, und sich deshalb auch die Verzinsung von jeder Rate ändert. Die Rechnung, die ich mir dazu überlegt hatte (ohne direkt die Formel zu nehmen, was aber natürlich auch OK ist) geht so:
Sei $K$ das Kapital, das für die Zahlung von 15 Raten à 900 EUR ausreichen soll. Dieses wollen wir nun bestimmen. Gleich am Anfang wird von $K$ die erste Rate abgezogen. Das Restgeld wird bis zum nächsten Jahr mit 5.5% Zinsen verzinst. Dann wird wieder eine Rate vom Konto weggenommen, und der Rest wieder verzinst, usw. bis schließlich die letzte Rate ausgezahlt wird. Dann ist das Konto beim Wert 0 angelangt. Also:
[mm](\ldots ((K-900)\cdot q - 900)\cdot q \ldots )\cdot q - 900 =0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow K q^{14} - 900q^{14} - 900q^{13} -\ldots - 900q - 900 =0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow K q^{14} = 900(q^{14} + q^{13} +\ldots + q + 1) [/mm]
[mm]\Leftrightarrow K q^{14} = 900 \frac{q^{15}-1}{q-1} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow K = 900 \frac{q^{15}-1}{q-1}\cdot \frac{1}{q^{14}} [/mm]
Da sind wir bei Josefs Formel angelangt 
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:47 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Josef |
Liebe brigitte,
vielen Dank für deinen Beitrag und für die Überprüfung des Rechenweges.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Fr 26.11.2004 | | Autor: | t-offline |
vielen Dank nochmal habs nun gerafft.
grüsse
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