Zorn's Lemma < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Di 20.01.2009 | | Autor: | Master_X |
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey ihr,
kann mir jemand in kurzen und einfachen Sätzen Zorn's Lemma erklären/darstellen und sagen, für was man das braucht.
Und sagt es eigentlich aus, dass man z.B. im Intervall (0,1) ein größtes Element finden kann?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Di 20.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> kann mir jemand in kurzen und einfachen Sätzen Zorn's
> Lemma erklären/darstellen und sagen, für was man das
> braucht.
Das erste wird schwierig, da die Formulierung einfach sehr abstrakt ist. Allerdings ist es sehr nützlich, um einige Existenzaussagen zu beweisen. Alle, die mir einfallen, gibt es auch im Wiki.
> Und sagt es eigentlich aus, dass man z.B. im Intervall
> (0,1) ein größtes Element finden kann?
Nein, also (0,1) mit der ünlichen < Relation? Da hat nicht jede Kette ein maximales Element in (0,1)!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Master_X |
Sicher, dass jede Kette in (0,1) kein maximales Element hat?
Auf Wikipedia habe ich folgendes gefunden:
Eine Teilmenge T von P hat eine obere Schranke s [mm] \in [/mm] P , falls für alle t [mm] \le [/mm] s t [mm] \in [/mm] T zutrifft. Man beachte, dass s nicht in T liegen muss. "
Wenn T = (0,1) und P = [mm] \R [/mm] mit der "standart" Ordnung dann sollte doch die 1 ein maximales Element für jedes Element aus (0,1) sein?
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Falsch. 1 ist die obere Schranke, aber nicht das maximale Element. Das ist ein wesentlicher Unterschied!
Was ist denn Deines Erachtens die größte Zahl in (0,1)?
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Master_X |
Zorn's Lemma aus Wikipedia:
"Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element."
Dass die 1 eine obere Schranke und nicht das maximale Element ist, (scheint) mir klar zusein.
Ist dann aber nicht die Aussage von Zorn's Lemma, dass es dann auch ein maximales Element in (0,1) gibt?
Wie dieses Aussieht, oder wie man es konstruieren kann drüber kann man nichts Aussagen.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:40 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Das allerdings ist fast richtig! Es gibt ein maximales Element in der Kette, und Du kannst nur wenig darüber aussagen (aber mehr als nichts): es ist kleiner als 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Master_X |
Ok, heißt dann also:
Wenn wir annehmen dass Zorn's Lemma benutzen können,
dass es ein maximales Element kleiner als Eins im offenen Intervall gibt.
Aber steht dies dann nicht im Wiederspruch zu den Aussagen der "normalen" Analysis, wie z.B. der Vollständigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ok, heißt dann also:
> Wenn wir annehmen dass Zorn's Lemma benutzen können,
> dass es ein maximales Element kleiner als Eins im offenen
> Intervall gibt.
So verstehe ich den Post fast auch ...
> Aber steht dies dann nicht im Wiederspruch zu den Aussagen
> der "normalen" Analysis, wie z.B. der Vollständigkeit?
Ja, ist aber auch falsch.
SEcki
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:54 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Es gibt ein maximales
> Element in der Kette,
Es gibt nicht "die" Kette - wir müssen alle Ketten betrachten, die es in (0,1) gibt. Zur Klarstellung: (0,1) ist hier das offene Einmheitsintervall.
> und Du kannst nur wenig darüber
> aussagen (aber mehr als nichts): es ist kleiner als 1.
Falls es existiert - aber es existiert nicht für jede Kette (und irgendwie scheinst du dies zu implizieren), siehe meinen anderen Post.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo SEcki,
schade, dass man weder auf die automatisch erstellte PN bei einer Falschmarkierung antworten kann noch auf die im Thread eingestellte Korrekturmitteilung in sonst gewohnter Weise reagieren kann.
Verstehe ich Dich richtig, dass Zorns Lemma auch und insbesondere unendliche Ketten umfasst, im betrachteten Intervall z.B. die Folge [mm] a_n=\bruch{n-1}{n} [/mm] ?
Aus ![[]](/images/popup.gif) wikipedia: "Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element."
Die genannte Folge hat klar erkennbar die obere Schranke 1. Was wäre dann also das maximale Element von (0,1)?
Liebe Grüße,
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> schade, dass man weder auf die automatisch erstellte PN bei
> einer Falschmarkierung antworten kann noch auf die im
> Thread eingestellte Korrekturmitteilung in sonst gewohnter
> Weise reagieren kann.
Hm, wie würdest du denn das machen wollen? Am besten zweigen wir das woanders hin ab.
> Verstehe ich Dich richtig, dass Zorns Lemma auch und
> insbesondere unendliche Ketten umfasst, im betrachteten
> Intervall z.B. die Folge [mm]a_n=\bruch{n-1}{n}[/mm] ?
Klar - beliebige Kardinalität sogar. Es muss in der Kette bloß zwei Elemente mit der Ordnung vergleichbar sein. [m]((0,1),\ge)[/m] ist sogar eine Totalordnung.
> Die genannte Folge hat klar erkennbar die obere Schranke 1.
Inkorrekt, denn [m]1\notin (0,1)[/m].
> Was wäre dann also das maximale Element von (0,1)?
Zum einen sichert das Lemma von Zorn nicht "das" maximale Element, es gibt i.A. mehrere (zB Basen auf Vektorräumen ...). Zum anderen existiert hier einfach kein maximales Element weil die Vorraussetzungen einfach nicht erfüllt sind.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:34 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo SEcki,
> > schade, dass man weder auf die automatisch erstellte PN bei
> > einer Falschmarkierung antworten kann noch auf die im
> > Thread eingestellte Korrekturmitteilung in sonst gewohnter
> > Weise reagieren kann.
>
> Hm, wie würdest du denn das machen wollen? Am besten
> zweigen wir das woanders hin ab.
Das tun wir ja gerade.
Ich fände nett, wenn man die Korrekturmitteilung auch diskutieren könnte. Dazu müsste es aber möglich sein, direkt auf sie zu reagieren - so dass die Diskussion auch in der Baumschachtelung an die Korrekturmitteilung angebunden ist.
> > Verstehe ich Dich richtig, dass Zorns Lemma auch und
> > insbesondere unendliche Ketten umfasst, im betrachteten
> > Intervall z.B. die Folge [mm]a_n=\bruch{n-1}{n}[/mm] ?
>
> Klar - beliebige Kardinalität sogar. Es muss in der Kette
> bloß zwei Elemente mit der Ordnung vergleichbar sein.
> [m]((0,1),\ge)[/m] ist sogar eine
> Totalordnung.
Der Link enthält noch unnötige Anführungszeichen (hier schon entfernt), was eine amüsante Auswirkung hat, wenn man ihn anklickt. Trotzdem ist er ja im Quelltext zu identifizieren - danke!
> > Die genannte Folge hat klar erkennbar die obere Schranke 1.
>
> Inkorrekt, denn [m]1\notin (0,1)[/m].
Wieso muss denn die obere Schranke im betrachteten Intervall liegen?
> > Was wäre dann also das maximale Element von (0,1)?
>
> Zum einen sichert das Lemma von Zorn nicht "das" maximale
> Element, es gibt i.A. mehrere (zB Basen auf Vektorräumen
> ...). Zum anderen existiert hier einfach kein maximales
> Element weil die Vorraussetzungen einfach nicht erfüllt
> sind.
Wahrscheinlich denke ich hier zu sehr am genannten Beispiel und damit in einem reellen Intervall. Du hast natürlich Recht, dass das Lemma auch für andere Bereiche gilt. Ich gehe mal denkenderweise in mich, aber vor allem schlafen.
> SEcki
Danke für Deine Mühe,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> > > Die genannte Folge hat klar erkennbar die obere Schranke 1.
> >
> > Inkorrekt, denn [m]1\notin (0,1)[/m].
>
> Wieso muss denn die obere Schranke im betrachteten
> Intervall liegen?
Kann es sein, dass wir an einander vorbeigeredet haben? Ich betrachte hier (0,1) nicht als Kette in [m]\IR[/m], sondern als eigene Menge mit Ordnungsrelation [m]\le[/m] - diese ist im Übrigen isomorph zu [m]\IR[/m] vermittels Verschiebung und dann Tangens. Für eine Kette in (0,1) muss die Schranke, um Zorn zu erfüllen, wieder in (0,1) liegen.
> Wahrscheinlich denke ich hier zu sehr am genannten Beispiel
> und damit in einem reellen Intervall.
Verusch mal auf der ganzen Gerade zu denken - die sind isomorph bezüglich der Ordnungsrelation. Und da ist doch hoffentlich klar: es gibt kein Maximum, oder?
> Ich
> gehe mal denkenderweise in mich, aber vor allem schlafen.
Zeit wär's. ;)
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> "Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette
> (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke
> hat, enthält mindestens ein maximales Element."
Die Schranke muss aber in der Menge vorhanden sein - nicht in der Kette, aber in der Menge! Betrachte die Kette [m](1-\bruch{1}{n})[/m] - 1 ist nicht eine obere Schranke in dem Sinne von Lemma von Zorn, wenn man (0,1) zu Grunde liegt.
> Dass die 1 eine obere Schranke und nicht das maximale
> Element ist, (scheint) mir klar zusein.
Das hat gar nichts damit zu tun. Die 1 musst du vergessen.
> Ist dann aber nicht die Aussage von Zorn's Lemma, dass es
> dann auch ein maximales Element in (0,1) gibt?
Da die Prämisse falsch ist ...
> Wie dieses Aussieht, oder wie man es konstruieren kann
> drüber kann man nichts Aussagen.
Ja, das ist der Punkt bei dem Lemma ... um mal zu zitieren: "The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and who knows with Zorn's Lemma."
SEcki
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Ich glaub ich habs:
Nochmal in eigenen Worten, um sicher zu gehen:
Meine Grundannahmen waren "Blödsinn". Wenn ich [mm] \R [/mm] (oder jede andere Teimenge der reellen Zahlen, die das offene Einheitsintervall enthällt) als Ausgangsmenge(Obermenge) benutze, dann ist (0,1) nur EINE Kette. Aber im Fall von [mm] \R [/mm] gibt es noch unendlich viele andere Ketten, (z.B. jede Zahl oder jedes Intervall usw.), bei diesen Viele keine obere Schranke haben.
Wenn ich hingegen (0,1) als meine halbgeordnete (Ausgangs)Menge nehme, dann gibt es darin kein maximales Element (wegen der "Offenheit" und Vollständikeit des Intervalls und den kleinen [mm] \epsilon [/mm] Kugeln, die für jedes Element die Existenz eines weitere [mm] x\_0 [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] bringen). Deshalb ist Zorns Lemma für offene Intervalle nicht anwendbar.
Beim Abgeschlossenen z.B. [0,1] ist die 1 drin, und obere Schranke und alles ist so wie immer;)
Ok, soweit dann schonmal Danke.
Gibt es noch irgendein "einfaches" und verständliches Beispiel, wo man das Lemma anwenden kann? Wenn möglich recht einfach an einem Beispiel vllt. mit reellen Zahlen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaub ich habs:
> Nochmal in eigenen Worten, um sicher zu gehen:
> Meine Grundannahmen waren "Blödsinn". Wenn ich [mm]\R[/mm] (oder
> jede andere Teimenge der reellen Zahlen, die das offene
> Einheitsintervall enthällt) als Ausgangsmenge(Obermenge)
Kann es sein, dass wir hier aneinander vorbeigeredet haben? Ich dachte, wir hätten als "Grundmenge" von vornherein (0,1) genommen gehabt ...
> benutze, dann ist (0,1) nur EINE Kette.
Stimmt, und wenn man [m]\IR[/m] als "Grundmenge" hat, dann hat diese Kette eben eine Schrnake mit 1.
> Aber im Fall von [mm]\R[/mm]
> gibt es noch unendlich viele andere Ketten, (z.B. jede Zahl
> oder jedes Intervall usw.), bei diesen Viele keine obere
> Schranke haben.
Genau.
> Wenn ich hingegen (0,1) als meine halbgeordnete
> (Ausgangs)Menge nehme, dann gibt es darin kein maximales
> Element (wegen der "Offenheit" und Vollständikeit des
> Intervalls und den kleinen [mm]\epsilon[/mm] Kugeln, die für jedes
> Element die Existenz eines weitere [mm]x\_0[/mm] + [mm]\epsilon[/mm]
> bringen).
Ja, stimmt.
> Beim Abgeschlossenen z.B. [0,1] ist die 1 drin, und obere
> Schranke und alles ist so wie immer;)
Genau.
> Gibt es noch irgendein "einfaches" und verständliches
> Beispiel, wo man das Lemma anwenden kann? Wenn möglich
> recht einfach an einem Beispiel vllt. mit reellen Zahlen?
Puh, weiß ich nicht, aber ich glaub's eher nicht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Master_X |
> Kann es sein, dass wir hier aneinander vorbeigeredet haben?
> Ich dachte, wir hätten als "Grundmenge" von vornherein
> (0,1) genommen gehabt ...
Ja, das haben wir. Lag aber daran, dass ich aus Unwissenheit die 1 zu unserer Menge (0,1) gesteckt habe und damit dann das halboffene Intervall (0,1] gemacht habe.
Ich denke, dass reverend genau das selbe Problem hat/hatte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Fr 23.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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