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Forum "Uni-Stochastik" - Zufälliger Vektor (stetig)
Zufälliger Vektor (stetig) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zufälliger Vektor (stetig): Randverteilung, E und Var
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Di 15.03.2011
Autor: gffghdfgd

Aufgabe
[mm] f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 , 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]

("für" ging irgendwie nicht...)

Bestimme a, so dass f(x,y) Dichte ist
Bestimme Die Randdichten, die Erwartungswerte und Var(X)

wie kann man die dx und dy abrücken?

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{a dy} dx} [/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{1-x^2}{a dy} dx} [/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}{[ay]_{0}^{1-x^2} dx}= [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}{a(1-x^2) dx}=a \integral_{-1}^{1}{(1-x^2) dx}= [/mm]
a [mm] [x-\bruch{1}{3}x^2]_{-1}^{1} [/mm] = 1

=> a = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]

Randdichte x:

analog zu oben
[mm] f_x(x)=\integral_{0}^{1-x^2}{a dy} [/mm] = [mm] [ay]{_0}^{1-x^2} [/mm] = [mm] a*(1-x^2) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*(1-x^2) [/mm]

E(X) = [mm] \integral_{-1}^{1}{x*f_x(x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{x*a(1-x^2) dx} [/mm]
= a* [mm] \integral_{-1}^{1}{x-x^3 dx}=a*[0,5 x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x^4]_{-1}^{1} [/mm] = a* [(0,5 - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] - (0,5 - [mm] \bruch{1}{4})]=0 [/mm]
analog
[mm] E(X^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm]

ABER jetzt:

Randdichte y:
[mm] f_y(y) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{a dx} [/mm] = [mm] [ax]_{-1}^{1} [/mm] = a - - a = 2a = 1,5

E(Y) =  [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1-x^2}{y*1,5 dy}=[\bruch{3}{4} y^2]_{0}^{1-x^2} [/mm]
= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] (1-x^2)^2 [/mm]
Aber nun?! da sollte doch jetzt kein x mehr drin sein?!.... Irgendwo ist da also der Wurm drin, aber wo?

danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Typographisches
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:47 Mi 16.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{für } -1 \le x \le 1\ ,\ 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> ("für" ging irgendwie nicht...)

eine mbox hast du ja schon gesetzt. Ich habe nun das "ue"
durch "ü" ersetzt, und es scheint zu funktionieren ...
Als ich dann noch was Kleines innerhalb des "cases"
änderte, stand da plötzlich wieder das hässliche

"fÄØr" oder so ...   aber einmal funktioniert's , dann
wieder nicht, ohne durchschaubares System

Ich vermute irgendeinen Fehler im Zusammenspiel von
$\ T_EX$  und Browser.

>  wie kann man die dx und dy abrücken?

Siehe Eingabehilfen / Formeln / Platz zwischen den Zeichen
(ganz am Schluss)
Nimm einen ganzen Zwischenraum (backslash+space) oder
einen halben (backslash+Komma) :
  

> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\ {\integral_{-\infty}^{\infty}a\ dy\,dx}[/mm]

  

> = [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{1-x^2}a\ dy\ dx[/mm]


LG   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:33 Mi 16.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 , 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> ("für" ging irgendwie nicht...)
>  
> Bestimme a, so dass f(x,y) Dichte ist
>  Bestimme Die Randdichten, die Erwartungswerte und Var(X)
>  wie kann man die dx und dy abrücken?
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{a dy} dx}[/mm]
>  
> =
>  [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{1-x^2}{a dy} dx}[/mm]
>  =
>  [mm]\integral_{-1}^{1}{[ay]_{0}^{1-x^2} dx}=[/mm]
>  
> [mm]\integral_{-1}^{1}{a(1-x^2) dx}=a \integral_{-1}^{1}{(1-x^2) dx}=[/mm]
>  
> a [mm][x-\bruch{1}{3}x^2]_{-1}^{1}[/mm] = 1
>  
> => a = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>  
> Randdichte x:
>  
> analog zu oben
> [mm]f_x(x)=\integral_{0}^{1-x^2}{a dy}[/mm] = [mm][ay]{_0}^{1-x^2}[/mm] =
> [mm]a*(1-x^2)[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}*(1-x^2)[/mm]        [ok]
>  
> E(X) = [mm]\integral_{-1}^{1}{x*f_x(x) dx}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x*a(1-x^2) dx}[/mm]
>  = a*
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x-x^3 dx}=a*[0,5 x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4}x^4]_{-1}^{1}[/mm] = a* [(0,5 - [mm]\bruch{1}{4})[/mm] - (0,5
> - [mm]\bruch{1}{4})]=0[/mm]      [ok]
>  analog
>  [mm]E(X^2)[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]      [ok]
>  
> ABER jetzt:
>  
> Randdichte y:
>  [mm]f_y(y)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{a dx}[/mm] = [mm][ax]_{-1}^{1}[/mm] = a - - a = 2a =
> 1,5      [notok]

Die Integrationsgrenzen sind falsch. Diese sind nicht
-1 und +1, sondern vom jeweiligen Wert von y abhängig.
Zeichne dir das Integrationsgebiet auf !
  

> E(Y) =  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{0}^{1-x^2}{y*1,5 dy}=[\bruch{3}{4} y^2]_{0}^{1-x^2}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * [mm](1-x^2)^2[/mm]
>  Aber nun?! da sollte doch jetzt kein x mehr drin
> sein?!.... Irgendwo ist da also der Wurm drin, aber wo?
>  
> danke

LG    Al-Chw.

Bezug
                
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Zufälliger Vektor (stetig): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Mi 16.03.2011
Autor: gffghdfgd

das habe ich bereits (aufgezeichnet), aber wie erkenne ich dann die richtigen Grenzen?
Die müssten dann ja für y = 0 (1 und -1) sein, für y= 1 (0 und 0) - rein aus der graphischen Betrachtung. Aber wie komme ich auf die entsprechende Formel für die Integralgrenzen?!


Bezug
                        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Mi 16.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> das habe ich bereits (aufgezeichnet), aber wie erkenne ich
> dann die richtigen Grenzen?
>  Die müssten dann ja für y = 0 (1 und -1) sein, für y= 1
> (0 und 0) - rein aus der graphischen Betrachtung. Aber wie
> komme ich auf die entsprechende Formel für die
> Integralgrenzen?!


Löse die Parabelgleichung nach x auf !

LG   Al-Chw.  


Bezug
                                
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 16.03.2011
Autor: gffghdfgd

also x = [mm] \sqrt{1-y} [/mm]

Randdichte y:
[mm] f_y(y) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{y-1}^{1-y}{a dx} [/mm] = [mm] [ax]_{y-1}^{1-y} [/mm] = a[(1-y)-(y-1) ] = 2a(1-y)

E(Y) =  [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1-x^2}{y*2a(1-y) dy}=2a[0,5 y^2-\bruch{1}{3} y^3]_{0}^{1-x^2} [/mm]
= 2a[0,5 [mm] (1-x^2)^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-x^2)^3] [/mm]
= 2a[0,5 [mm] (1-2x^2+x^4) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-x^2)*(1-2x^2+x^4)] [/mm]
= 2a[0,5 [mm] (1-2x^2+x^4) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-2x^2+x^4)-(x^2-2x^4+x^6))] [/mm]
= 2a[0,5 [mm] -x^2 [/mm] + 0,5 [mm] x^4) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-3x^2+3x^4-x^6))] [/mm]
= [mm] 2a[\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] -2,5 [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^6))] [/mm]

Somit wieder von x abhängig - aber vermutlich sind dann auch hier die Grenzen falsch?!.....

Bezug
                                        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mi 16.03.2011
Autor: fred97


> also x = [mm]\sqrt{1-y}[/mm]

Nein.  x = [mm] \pm[/mm]  [mm]\sqrt{1-y}[/mm]

>  
> Randdichte y:
>  [mm]f_y(y)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{y-1}^{1-y}{a dx}[/mm]

Das stimmt nicht.  Es ist [mm] f_y(y)= \integral_{- \sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}{a dx} [/mm]


FRED

> = [mm][ax]_{y-1}^{1-y}[/mm] =
> a[(1-y)-(y-1) ] = 2a(1-y)
>  
> E(Y) =  [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{0}^{1-x^2}{y*2a(1-y) dy}=2a[0,5 y^2-\bruch{1}{3} y^3]_{0}^{1-x^2}[/mm]
>  
> = 2a[0,5 [mm](1-x^2)^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-x^2)^3][/mm]
>  = 2a[0,5
> [mm](1-2x^2+x^4)[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-x^2)*(1-2x^2+x^4)][/mm]
>  = 2a[0,5
> [mm](1-2x^2+x^4)[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-2x^2+x^4)-(x^2-2x^4+x^6))][/mm]
>  
> = 2a[0,5 [mm]-x^2[/mm] + 0,5 [mm]x^4)[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-3x^2+3x^4-x^6))][/mm]
>  
> = [mm]2a[\bruch{1}{6}[/mm] + [mm]2x^2[/mm] -2,5 [mm]x^4[/mm] + [mm]x^6))][/mm]
>  
> Somit wieder von x abhängig - aber vermutlich sind dann
> auch hier die Grenzen falsch?!.....


Bezug
                                                
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mi 16.03.2011
Autor: gffghdfgd

also 2a [mm] \sqrt{1-y} [/mm]

EY = 2a [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{y * \sqrt{1-y} \, dx} [/mm]
= 2a [mm] \integral_{0}^{1-x^2}{y * \sqrt{1-y} \, dx} [/mm]

WOW, das jetzt integriert zu bekommen.....

Bezug
                                                        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Mi 16.03.2011
Autor: fred97


> also 2a [mm]\sqrt{1-y}[/mm]
>  
> EY = 2a [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{y * \sqrt{1-y} \, dx}[/mm]

Nein. Es ist  $ [mm] f_y(y)= \integral_{- \sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}{a dx} [/mm] $  für y [mm] \in [/mm] [0,1]  und [mm] f_y(y)=0 [/mm] sonst.

>  
> = 2a [mm]\integral_{0}^{1-x^2}{y * \sqrt{1-y} \, dx}[/mm]

Nein

      = 2a [mm]\integral_{0}^{1}{y * \sqrt{1-y} \, dx}[/mm]

>  
> WOW, das jetzt integriert zu bekommen.....

Substituiere $t= [mm] \sqrt{1-y}$ [/mm]

FRED


Bezug
        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Mi 16.03.2011
Autor: gfm


> [mm]f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 , 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  

Also es ist

[mm] f(x,y)=3/4*1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,1-x^2]}(y) [/mm]

Die Randdichten sind dann

[mm]f_x(x):=\integral f(x,y)dy[/mm]
[mm]f_y(y):=\integral f(x,y)dx[/mm]

Also

[mm] f_x(x):=\integral 3/4*1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,1-x^2]}(y)dy=3/4*1_{[-1,1]}(x)*\integral1_{[0,1-x^2]}(y)dy=3/4*1_{[-1,1]}(x)\lambda([0,1-x^2])=3/4*(1-x^2)*1_{[-1,1]}(x) [/mm]

und

[mm] f_y(y):=\integral 3/4*1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,1-x^2]}(y)dx=3/4*\integral 1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,\infty)}(y)*1_{[y,\infty)}(1-x^2)dx=3/4*1_{[0,\infty)}(y)*\lambda([-1,1]\cap \{x: 1-x^2\in[y,\infty)\}) [/mm]
[mm] =3/4*1_{[0,\infty)}(y)*\lambda([-1,1]\cap \{x: x^2\in(-\infty,1-y]\})=3/4*1_{[0,1]}(y)*\lambda([-\wurzel{|1-y|},\wurzel{|1-y|}]) [/mm]
[mm] =3/2*1_{[0,1]}(y)*\wurzel{|1-y|} [/mm]

;-)

LG

gfm

Bezug
                
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Zufälliger Vektor (stetig): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mi 16.03.2011
Autor: gffghdfgd

was bitte ist [mm] 1_{[a,b]} [/mm]   ?!

Bezug
                        
Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Mi 16.03.2011
Autor: fred97


> was bitte ist [mm]1_{[a,b]}[/mm]   ?!

          
[mm]1_{[a,b]}(x)=1[/mm] , falls x [mm] \in [/mm] [a,b]  und  [mm]1_{[a,b]}(x)=0[/mm] , falls x [mm] \notin [/mm] [a,b]

Google mal unter "Indikatorfunktion" oder "charakteristische Funktion"

FRED

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Bezug
Zufälliger Vektor (stetig): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Mi 16.03.2011
Autor: gfm


> was bitte ist [mm]1_{[a,b]}[/mm]   ?!

Ich (aber offenbar nicht viele andere) schreibe statt

[mm] \integral_A f(\omega)d\mu [/mm]

gerne

[mm] \integral 1_A(\omega)*f(\omega)d\mu [/mm]

Ob man am Integral notiert, dass die Funktion f über die Menge A zu integrieren ist, oder aber den maximal Möglichen zu läßt und dafür f mit der Indikatorfunktion [mm] 1_A [/mm] multipliziert, die nur für Elemente aus A von 0 verschieden den Wert 1 liefert, macht keinen Unterschied.

Für mich werden so die algebraischen Umformungsoptionen offenbarer. Und manchmal kann man das Ergebnis schneller und eleganter hinschreiben. Fallunterscheidungen passen oft in eine Zeile.

Vielleicht sagt es Dir auch zu. Wenn nicht, auch nicht schlimm. Ist halt mal was anderes.

LG

gfm

Bezug
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