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Zufallsgrößen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Di 29.05.2012
Autor: dimi727

Aufgabe
Finden Sie jeweils Beispiele für auf [0; 1] gleichverteilte Zufallsgrößen X; Y;Z mit den
Eigenschaften (i)-(iv) oder beweisen Sie, dass solche Beispiele nicht exisitieren.

i) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 0
ii) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 0.5
iii) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 0.875
iv) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 1

Hallo,

ich weiß bei dieser Aufgabe leider garnicht,wie ich rangehen soll.

Das sind gleichverteilte Zufallsgröße, (abhängig/unabhängig/ in diesem Fall irrelevant? )

Ich soll nurn Beispiele angeben, sodass die Wahrscheinlichkeit,dass das Minimum einer zufallsgröße kleiner/gleich 0.5 sein soll. Bei 3 Zufallsgrößen MUSS es doch eine Größe geben, sodass eine Größe kleiner als 0.5 ist? Der fall hätte schon für 2 Zufallsgrößen also die Wkeit 0?

Wie soll ich also zeigen,dass es vlt. Zufallsgrößen gibt,sodass sogar i-iv gilt?

lg

        
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Zufallsgrößen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Di 29.05.2012
Autor: kamaleonti

Hallo dimi727,
> Finden Sie jeweils Beispiele für auf [0; 1]
> gleichverteilte Zufallsgrößen X; Y;Z mit den
>  Eigenschaften (i)-(iv) oder beweisen Sie, dass solche
> Beispiele nicht exisitieren.
>  
> i) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 0
>  ii) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 0.5
>  iii) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 0.875
>  iv) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 1

Nimm [0,1] mit Borel- [mm] \sigma- [/mm] Algebra und W'maß [mm] \lambda_{|[0,1]}. [/mm]

Definiere auf diesem W'raum die Zufallsvariablen

    [mm] $X:[0,1]\to[0,1], x\mapsto [/mm] x$,
    [mm] $Y:[0,1]\to[0,1], x\mapsto [/mm] 1-x$,
    $Z=X$.

Dann [mm] P(\min\{X,Y,Z\}\le0.5)=P(X\le0.5\text{ oder }Y\le0.5)=1. [/mm]

Das ist also ein Beispiel für (iv).
Ähnliche Überlegungen musst du für (i) bis (iii) anstellen.

LG

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Zufallsgrößen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Di 29.05.2012
Autor: dimi727

Sorry wir haben gerade erst Dichten und sind noch nicht bei der Maßtheorie angekommen, haben also noch keine Borel-sigma-algebra... ginge das iwie anders?

Hilft mir hier

http://www.ma.tum.de/foswiki/pub/Studium/ChristianKredler/Stoch1.pdf

der Punkt 2.3.4 nicht?

Müsse das dann nicht sein : [mm] [1-F_{X}(0.5)]^{3} [/mm] ? Iwie so?

mfg

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Zufallsgrößen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Di 29.05.2012
Autor: kamaleonti


> Sorry wir haben gerade erst Dichten und sind noch nicht bei
> der Maßtheorie angekommen, haben also noch keine
> Borel-sigma-algebra... ginge das iwie anders?

Wie habt ihr dann Zufallsvariablen definiert, wenn nicht auf einen Wahrscheinlichkeitsraum ?

>
> Hilft mir hier
>  
> http://www.ma.tum.de/foswiki/pub/Studium/ChristianKredler/Stoch1.pdf
>  
> der Punkt 2.3.4 nicht?
>  
> Müsse das dann nicht sein : [mm][1-F_{X}(0.5)]^{3}[/mm] ? Iwie so?

Dort hat man identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen.

Das hilft dir in der Tat bei (iii) weiter. Dort wählst Du X,Y,Z unabhängig gleichverteilt auf [0,1] und dann gilt

      [mm] P(\min\{X,Y,Z\}\le0.5)=1-(1-F(0.5))^3=1-(1-0.5)^3=0.875 [/mm]

Bei dem Beispiel für (iv) oben sind X,Y,Z nich unabhängig.

Nun Du mit (i) und (ii).

LG

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Zufallsgrößen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Di 29.05.2012
Autor: dimi727

Ja hab gerade aber geguckt,dass die von dir erwähnte Borel sigma Algebra erst im nächsten Kapitel kommt. KÖnntest du das n bisschen ausführen oder mir dazu was schicken? zu iv) ?

Und noch schnell zu iii) , bevor ich i) und ii) probiere :

Woher nimmst du denn [mm] 1-(1-F(0.5))^3 [/mm] ? Also die erste 1- ? Da steht doch

nur [mm] (1-F(0.5))^3 [/mm] ?

Und wieso ist F(0.5) = 0.5 ? Wegen der gleichverteilung?

lg

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Zufallsgrößen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Di 29.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja hab gerade aber geguckt,dass die von dir erwähnte Borel
> sigma Algebra erst im nächsten Kapitel kommt. KÖnntest du
> das n bisschen ausführen oder mir dazu was schicken? zu
> iv) ?

da muss nix geschickt werden. Die Angabe der Sigma-Algebra war nur der Vollständigkeit halber (und gehören eigentlich dazu, d.h. ohne Sigma-Algebra keine Zufallsvariablen), ist aber nicht notwendig, wenns klar ist, was gemeint ist.

> Und noch schnell zu iii) , bevor ich i) und ii) probiere :
>  
> Woher nimmst du denn [mm]1-(1-F(0.5))^3[/mm] ? Also die erste 1- ?
> Da steht doch nur [mm](1-F(0.5))^3[/mm] ?

[mm] $P(\min\{X,Y,Z\} \le [/mm] 0.5) = 1 - [mm] P(\min\{X,Y,Z\} [/mm] > 0.5)$

Und nun berechne mal [mm] $P(\min\{X,Y,Z\} [/mm] > 0.5)$

> Und wieso ist F(0.5) = 0.5 ? Wegen der gleichverteilung?

Ja.
Noch ein paar Tipps zu i) und ii)

Bei i) bedenke [mm] $\min\{X,Y,Z\} \le [/mm] X$
Bei ii) mach dir mal klar, was bei X=Y=Z passiert.

MFG,
Gono.

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Zufallsgrößen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:50 Mi 30.05.2012
Autor: dimi727

Hmm so?

P(min{X,Y,Z} [mm] \le0.5) [/mm] = 0  <=> P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1

<=> X,Y,Z >0.5 also  P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm] \le [/mm] 0.5 Widerspruch zu oben?

Oder schöner {min{X,Y,Z}>0.5} [mm] \subseteq [/mm] {X>0.5} =>  P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm] \le [/mm] P(X>0.5) = 0.5 Widerspruch dazu,dass P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1.

Kann man das so machen?

Und für X=Y=Z gilt

P(min{X,Y,Z} [mm] \le0.5) [/mm] = [mm] P(X\le0.5) [/mm] = 0.5

lg

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Zufallsgrößen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Mi 30.05.2012
Autor: kamaleonti


> Hmm so?
>  
> P(min{X,Y,Z} [mm]\le0.5)[/mm] = 0  <=> P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1
>  
> <=> X,Y,Z >0.5 also  P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm]\le[/mm] 0.5 Widerspruch
> zu oben?

Es gilt dann X,Y,Z>0.5 P- fast-sicher. Ja, das ist ein Widerspruch zur Gleichverteilung von X,Y,Z.

>  
> Oder schöner {min{X,Y,Z}>0.5} [mm]\subseteq[/mm] {X>0.5} =>  

> P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm]\le[/mm] P(X>0.5) = 0.5 Widerspruch dazu,dass
> P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1.
>  
> Kann man das so machen?
>  
> Und für X=Y=Z gilt
>
> P(min{X,Y,Z} [mm]\le0.5)[/mm] = [mm]P(X\le0.5)[/mm] = 0.5

Korrekt

>
> lg

LG

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