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Forum "Uni-Stochastik" - Zufallsvariable
Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Do 23.11.2006
Autor: Blefix

Aufgabe
X: omega [mm] \to \IN [/mm] Zufallsvariable
Zeige: a) E(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] n)
           b) [mm] E(x^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (2n-1) P(X [mm] \ge [/mm] n)

Hallöchen

Komme einfach nicht weiter mit dieser Aufgabe.

Ich hab aus der Vorlesung ein paar Definitionen zu a), wie z.B. :

E(x) = [mm] \summe_{w \in omega}^{} [/mm] X(w) P(w) = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP( [mm] \{w | x(w)=n\}) [/mm] = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n)

Man müsste dann noch zeigen:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(x [mm] \ge [/mm] n) = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n)

Doch das sehe ich leider nicht.


Zu b) habe ich folgendes:

[mm] E(x^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{w \in omega}^{} X(w)^{2} [/mm] P(w) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{2}P(X=n) [/mm]

bleibt zu zeigen:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{2}P(X=n) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (2n-1)P(X [mm] \ge [/mm] n)

Kann mir da jemand weiter helfen?

Danke im Vorraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zufallsvariable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 23.11.2006
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Blefix,

du siehst einfach den Wald vor lauter Baeumen nicht. Die Loesung ist total simpel und hat fast nichts mit Stochastik zu tun.

Bei der a) muss du, wie du sagst, zeigen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}P(x \ge [/mm] n)$ [mm] =$\summe_{n=1}^{\infty}$[red]n[/red]$P(x=n)$ [/mm] (Fehler korrigiert)
Es gibt zwei Varianten...
erstens stochastisch:
du ersetzt $P(x=n)$ durch [mm] $P(x{\ge}n)-P(x{\ge}n+1)$ [/mm] und schiebst die Summanden passend herum,

oder zweitens anschaulich:
In der linken Summe steckt P(x=n) in genau n Summanden drin, naemlich im ersten, im zweiten, im dritten, usw. bis zum n-ten, denn es gilt z.B.
[mm] $P(x{\ge}3)=P(x=3)+P(x=4)+\dots+P(x=n)+\dots$. [/mm]
Man hat in der Summe also immer genau n-mal den Beitrag P(x=n).

Bei der b) ist es genauso, nur muss du hier ausnutzen, dass
[mm] $n^2+\ (2n+1)=(n+1)^2$. [/mm]

Hilft dir dieser Tip weiter?

Hugo

Bezug
                
Bezug
Zufallsvariable: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Do 23.11.2006
Autor: Blefix

Vielen Dank schon mal im Vorraus,

Lasse mir das jetzt mal durch den Kopf gehen und dann wird das schon klappen. :-)

Schönen Tag noch

Blefix

Bezug
                
Bezug
Zufallsvariable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Do 23.11.2006
Autor: Blefix

Auch auf die Gefahr hin mich schrecklich zu blamieren stelle ich meine Fragen zu deiner Antwort.

Ich muss ja noch zeigen laut meinen Aufzeichnungen

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(x [mm] \ge [/mm] n) = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n)

Aber [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n) ist doch nicht das gleiche wie [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(x=n), wie du es geschrieben hast, oder?

Was heißt denn das genau, wenn über Summenformel gar nichts steht?

Hoffe du hälst mich jetzt nicht für völlig belämmert :-)





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Bezug
Zufallsvariable: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Do 23.11.2006
Autor: luis52


> Auch auf die Gefahr hin mich schrecklich zu blamieren
> stelle ich meine Fragen zu deiner Antwort.
>  
> Ich muss ja noch zeigen laut meinen Aufzeichnungen
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] P(x [mm]\ge[/mm] n) = [mm]\summe_{n \ge 1}^{}[/mm]
> nP(x=n)
>  
> Aber [mm]\summe_{n \ge 1}^{}[/mm] nP(x=n) ist doch nicht das gleiche
> wie [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] P(x=n), wie du es geschrieben
> hast, oder?


Da  hast du Recht,   Hugo_Sanchez-Vicario hat den Faktor vergessen. Lies $ [mm] \summe_{n \ge 1} [/mm] nP(x=n) $ wie $ [mm] \summe_{n =1}^{\infty} [/mm]  nP(x=n) $

Bezug
                
Bezug
Zufallsvariable: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:44 Do 23.11.2006
Autor: Blefix

Hi nochmal,

also a) hab ich jetzt dank tatkräftiger Unterstützung geschafft.

Aber bei b) haberts noch .

Irgendwie hilft mir der Tip leider nicht so wirklich.

Wäre noch für eine kleine Hilfestunde dankbar

Bezug
                        
Bezug
Zufallsvariable: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Sa 25.11.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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