Zufallsvariable,Randverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Di 02.04.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | 2 Zufallsvariablen X und Y, dise nehmen je die Werte 0 oder 1 an.
Die WS-Verteilung von (X,Y) sei durch Randverteilung P[X=0]=1/2, P[Y=0]=1/2, P[X=0,Y=0]=p gegeben.
-) Bestimme als Funktion von p die Wahrscheinlichkeiten [mm] \{X=1, Y=0 \}, \{X=0, Y=1\}, \{X=1,Y=1 \}. [/mm] In welchem Bereich darf p liegen.
-) Bestimme als Funktion von p die Verteilung X+Y |
Hallo
Ich verstehe diese Aufgabe nicht.
Hab mir versucht das bildlich vorzustellen:
1...Eintreten des Ereignisses, 0..Nichteintreten des Ereignisses
Die WS, dass beide Ereignisse nicht eintreten ist p
Die WS, das das 1.Ereignis eintritt ist 1/2.
Die WS, dass das 2.Ereignis eintritt ist 1/2.
Wie komme ich auf [mm] \{X=1,Y=1 \} [/mm] ?
Wie bestimme ich die Verteilung von X+Y ? Muss ich hhier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten arbeiten oder wie mache ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Di 02.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Betrachte die folgende Tabelle:
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline &(X=0)& (X=1) & \sum\\\hline (Y=0)& p & & 1/2 \\(Y=1) & & &1/2 \\\hline \sum &1/2 & 1/2 & 1.0 \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
Du hast schon korrekt berechnet : $P(X=0, Y=1) = 1/2 -p_ $ und $P(Y=0, X=1)= 1/2 -p_$, so dass die Tabelle erweitert wird zu
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline &(X=0)& (X=1) & \sum\\\hline (Y=0)& p & 1/2-p & 1/2 \\(Y=1) & 1/2-p & &1/2 \\\hline \sum &1/2 & 1/2 & 1.0 \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
>
> Wie komme ich auf [mm]\{X=1,Y=1 \}[/mm] ?
Das siehst du jetzt, gell? 
> Wie bestimme ich die Verteilung von X+Y ? Muss ich hhier
> mit bedingten Wahrscheinlichkeiten arbeiten oder wie mache
> ich das?
Tipp: Klaere, welche Werte $X+Y_$ annimmt. Dann ist z.B. $P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)=p_$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 02.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Danke für die Hilfe. Hab doch noch frage dazu bezüglich der ersten Tabelle
Woher weißt du dass in summe das jeweils 1/2 rauskommt? Woher hast du die Information?
> $ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline &(X=0)& (X=1) & \sum\\\hline (Y=0)& p & & 1/2 \\(Y=1) & & &1/2 \\\hline \sum &1/2 & 1/2 & 1.0 \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
Ich verstehe nicht warum du die 1/2 jeweils schon weißt!!
Es gilt [mm] \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1
[/mm]
Gilt aber auch: [mm] \sum_{\omega \in X(\Omega)} p_x (\omega)=1 [/mm] ??und weshalb?
X: [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] für eine bel. Zufallsvariable
[mm] p_x (\omega) [/mm] = [mm] P(\{ \omega : X(\omega)=\omega\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 02.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe nicht warum du die 1/2 jeweils schon weißt!!
>
>
Nach Vorgabe ist
$1/2=P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=p+P(X=1,Y=0)_$.
So hast du aber auch gerechnet...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 02.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Jap hier war es ja auch klar.(bzw. kann ich mit meiner Rechnung nachvollziehen)
Aber nicht für X=1,Y=1
> $ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline &(X=0)& (X=1) & \sum\\\hline (Y=0)& p & & 1/2 \\(Y=1) & & &1/2 \\\hline \sum &1/2 & 1/2 & 1.0 \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
ALso die 1/2 in der 2 Spalte ganz unten und in der 3 Spalte und 2 Zeile kann ich nicht nachvollziehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 02.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> ALso die 1/2 in der 2 Spalte ganz unten und in der 3 Spalte
> und 2 Zeile kann ich nicht nachvollziehen.
>
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Ich verstehe dein Problem nicht. $X_$ nimmt nur die Werte 0 oder 1 an. Vorgegeben ist $P(X=0)=1/2_$. Also ist $P(X=1)=1-P(X=0)=1/2_$. Beide Werte habe ich an den Rand geschrieben, daher der Name *Randverteilung*. Dasselbe fuer $Y_$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 02.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Das hatte ich ja eigentlich vor 2 Fragen gefragt:
> Es gilt $ [mm] \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1 [/mm] $
!! > Gilt aber auch: $ [mm] \sum_{\omega \in X(\Omega)} p_x (\omega)=1 [/mm] $ ??und weshalb?
> X: $ [mm] \Omega [/mm] $ -> $ [mm] \IR [/mm] $ für eine bel. Zufallsvariable
> $ [mm] p_x (\omega) [/mm] $ = $ [mm] P(\{ \omega : X(\omega)=\omega\} [/mm] $
Das hast du ja in :$ P(X=1)=1-P(X=0)=1/2_ $.
indirekt verwendet in [mm] P(A)=1-P(A^c) [/mm] oder liege ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 02.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Ich weiss nicht mehr weiter. Ich loese dir jetzt mal die Aufgabe und drehe dann ab:
Die vollstaendige Tabelle mit den Zahlen $P(X=x,Y=y)_$, $x,y=0,1_$ lautet:
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline &(X=0)& (X=1) & \sum\\\hline (Y=0)& p & 1/2-p & 1/2 \\(Y=1) & 1/2-p &p &1/2 \\\hline \sum &1/2 & 1/2 & 1.0 \\ \hline \end{tabular} [/mm] $
Man sieht. dass gelten muss [mm] $0\le p\le [/mm] 1/2$.
Schliesslich ist
$P(X+Y=0)=P(X+Y=2)=p_$, $P(X+Y=1)=1-2p_$ und $P(X+Y=z)=0_$ fuer alle [mm] $z\ne0,1,2_$.
[/mm]
vg Luis
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