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| Aufgabe | In einer Tüte befinden sich 2 rote und 8 gelbe Gummibärchen, die von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Ausgehend von dieser Tüte Gummibärchen werden drei verschiedene Arten von Zufallsexperimenten durchgeführt.
ZE1: Aus der Tüte wird drei Mal blind ein Gummibärchen genommen. Dabei wird jedes Gummibärchen nach der Entnahme wieder in die Tüte gegeben und die Tüte wird ordentlich durchgeschüttelt, bevor das nächste Gummibärchen entnommen wird. Nummer und Reihenfolge der gezogenen Gummibärchen werden protokolliert.
ZE2: Wie ZE1 mit folgendem Unterschied: Jedes Gummibärchen wird nach der Entnahme sofort verspeist.
ZE3: Wie ZE1 mit folgendem Unterschied: Die Gummibärchen werden mit einem Handgriff aus der Tüte geholt, also nicht einzeln der Reihe nach gezogen.
Die Zufallsvariable R1 gibt für das Zufallsexperiment ZE1 die Anzahl der roten Gummibärchen an. Die Zufallsvariable G1 gibt für das Zufallsexperiment ZE1 die Anzahl der gelben Gummibärchen an. Entsprechend sind die Zufallsvariablen R2, G2 und R3, G3 für die Zufallsexperimente ZE2 und ZE3 definiert.
Bestimme für jede dieser Zufallsvariablen: Wahrscheinlichkeitsfunktion, Erwartungswert und Varianz. |
Hallo,
mit oben genannter Aufgabe habe ich folgende Probleme. Wie erkenne ich die Zufallsvariable und wie kann ich sie passend auschreiben? Ich bräuchte wirklich nur einen kleinen Denkanstoß. Sitze an der Aufgabe schon seit längerem und finde wirklich keinen Ansatz. Auch die Beispiele aus der Vorlesung (2-maliges Werfen eines fairen Würfels) helfen mir nicht wirklich weiter.
Vielen Dank für eure Bemühungen.
Viele Grüße
Markus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/board.php?boardid=72
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Der.Franke,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es steht doch explizit in der Aufgabenstellung, was die Zufallsvariablen
sind. Z.B. [mm] $R_1$: [/mm] Anzahl der roten Gummibaerchen. Da die gezogenen Baeren
zurueckgelegt werden, kann [mm] $R_1$ [/mm] die Werte 0,1 oder 2 annehmmen.
Auch [mm] $G_1$: [/mm] Anzahl der gelben Gummibaerchen kann die Werte 0,1 oder 2 annehmen, usw.
lg
Luis
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Hallo Luis,
danke erst mal für die Antwort. Ich habe aber nochmals eine Frage dazu:
zu ZE1: Müssten da die Zufallsvariablen nicht 0,1,2,3 für "kein rot", "einmal rot", "zweimal rot" und "dreimal rot" lauten? Oder hab ich gerade ein prinzipielles Verständnisproblem?
Bei ZE2 und ZE3 ist es ja z. B. unmöglich 3 rote Gummibärchen zu ziehen. Lauten da dann die ZV 0,1,2?
Ich hoffe, ich vertricke mich jetzt nicht in irgendetwas.
Danke für eure Antworten.
Gruß Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Markus,
> zu ZE1: Müssten da die Zufallsvariablen nicht 0,1,2,3 für
> "kein rot", "einmal rot", "zweimal rot" und "dreimal rot"
> lauten? Oder hab ich gerade ein prinzipielles
> Verständnisproblem?
Du hast Recht, hab mich vertan. Auch [mm] $G_1$ [/mm] nimmt die Werte 0,1,2 oder 3 an.
>
> Bei ZE2 und ZE3 ist es ja z. B. unmöglich 3 rote
> Gummibärchen zu ziehen. Lauten da dann die ZV 0,1,2?
>
Eine Zufallsvariable kann nicht 0,1,2 "sein", wohl aber die Werte 0,1,2
"annehmen". In der Tat, [mm] $R_2$ [/mm] nimmt nur die Werte 0, 1 oder 2 an. Das
gilt auch fuer [mm] $R_3$. [/mm]
lg Luis
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Ok.
Ich habe nun die Wahrscheinlichkeitsfunktion von ZE1 ausgerechnet und komme zu folgendem Ergebnis:
Für ZE1:
P(R1 = 0) = 0,512
P(R1 = 1) = 0,384
P(R1 = 2) = 0,096
P(R1 = 3) = 0,008
Für P(G1 = 0) ... P(G1 = 3) gelten die Werte genau anders herum.
Für ZE2/ZE3 gilt dann:
P(R2,3 = 0) = 0,47
P(R2,3 = 1) = 0,47
P(R2,3 = 2) = 0,008
P(R2,3 = 3) geht nicht, da nur 2 rote Bärchen vorhanden
P(G2,3 = 0) geht nicht, da nur 2 rote Bärchen vorhanden
P(G2,3 = 1) = 0,008
P(G2,3 = 2) = 0,47
P(G2,3 = 3) = 0,47
Ich hoffe, dass ich richtig gerechnet habe. Zähle ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten bei ZE1 zusammen, komme ich, wie es sein soll, auf 1. Bei ZE2/3 nicht. Was mache ich denn da noch falsch.
Ich kann mich nur für die Geduld bedanken.
Gruß Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Ich habe nun die Wahrscheinlichkeitsfunktion von ZE1
> ausgerechnet und komme zu folgendem Ergebnis:
> Für ZE1:
>
> P(R1 = 0) = 0,512
> P(R1 = 1) = 0,384
> P(R1 = 2) = 0,096
> P(R1 = 3) = 0,008
>
> Für P(G1 = 0) ... P(G1 = 3) gelten die Werte genau anders
> herum.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für ZE2/ZE3 gilt dann:
>
> P(R2,3 = 0) = 0,47
> P(R2,3 = 1) = 0,47
> P(R2,3 = 2) = 0,008
> P(R2,3 = 3) geht nicht, da nur 2 rote Bärchen vorhanden
>
> P(G2,3 = 0) geht nicht, da nur 2 rote Bärchen vorhanden
> P(G2,3 = 1) = 0,008
> P(G2,3 = 2) = 0,47
> P(G2,3 = 3) = 0,47
>
> Ich hoffe, dass ich richtig gerechnet habe. Zähle ich die
> einzelnen Wahrscheinlichkeiten bei ZE1 zusammen, komme ich,
> wie es sein soll, auf 1. Bei ZE2/3 nicht. Was mache ich
> denn da noch falsch.
>
[mm] $P(R_2 [/mm] = 2) = 0,066 [mm] =P(G_2 [/mm] = 1)$
lg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Vielen herzlichen Dank. Das sollte erst mal für heute reichen. Darf ich, falls ich morgen mit dem Erwartungswert nicht weiterkomme, mich nochmals melden?
Viele Grüße und einen schönen Abend noch.
Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Darf ich, falls ich morgen mit dem Erwartungswert
> nicht weiterkomme, mich nochmals melden?
>
Nur zu. Luis
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Da bin ich nochmal,
das hat mir jetzt keine Ruhe gelassen und ich wollte die Aufgabe zu Ende rechnen. Für die Erwartungswerte habe ich dann folgendes herausbekommen:
E(G1) = 0,008*(P{G1=0}) + 0,096*(P{G1=1}) + 0,384*(P{G1=2}) + 0,512*(P{G1=3}) = 2,4
E(R1) = 0,512*(P{R1=0}) + 0,384*(P{R1=1}) + 0,096*(P{R1=2}) + 0,008*(P{R1=3}) = 0,6
E(R2/3) = 0,47*(P{R2/3=0}) + 0,47*(P{R2/3=1}) + 0,06*(P{R2/3=2}) = 0,59
E(G2/3) = 0,06*(P{G2/3=1}) + 0,47*(P{G2/3=2}) + 0,47*(P{G2/3=3}) = 2,41
Und für die Varianz:
V(G1) = [mm] 0^2*0,008 [/mm] + [mm] 1^2*0,096 [/mm] + [mm] 2^2*0,384 [/mm] + [mm] 3^2*0,512 [/mm] = 7,104
V(R1) = [mm] 0^2*0,512 [/mm] + [mm] 1^2*0,384 [/mm] + [mm] 2^2*0,96 [/mm] + [mm] 3^2*0,008 [/mm] = 4,296
V(R2/3) = [mm] 0^2*0,47 [/mm] + [mm] 1^2*0,47 [/mm] + [mm] 2^2*0,06 [/mm] = 0,71
V(G2/3) = [mm] 1^2*0,06 [/mm] + [mm] 2^2*0,47 [/mm] + [mm] 3^2*0,47 [/mm] = 6,17
Sind diese Berechnungen auch richtig? Wenn ja, dann schlafte ich heute wie ein Engel.
Grüße Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hall Markus,
leider darfst du noch nicht ins Bett 
> Da bin ich nochmal,
>
> das hat mir jetzt keine Ruhe gelassen und ich wollte die
> Aufgabe zu Ende rechnen. Für die Erwartungswerte habe ich
> dann folgendes herausbekommen:
>
> E(G1) = 0,008*(P{G1=0}) + 0,096*(P{G1=1}) + 0,384*(P{G1=2})
> + 0,512*(P{G1=3}) = 2,4
> E(R1) = 0,512*(P{R1=0}) + 0,384*(P{R1=1}) +
> 0,096*(P{R1=2}) + 0,008*(P{R1=3}) = 0,6
> E(R2/3) = 0,47*(P{R2/3=0}) + 0,47*(P{R2/3=1}) +
> 0,06*(P{R2/3=2}) = 0,59
() Rundungsfehler: 0.6
> E(G2/3) = 0,06*(P{G2/3=1}) + 0,47*(P{G2/3=2}) +
> 0,47*(P{G2/3=3}) = 2,41
>
() Rundungsfehler: 2.4
> Und für die Varianz:
>
> V(G1) = [mm]0^2*0,008[/mm] + [mm]1^2*0,096[/mm] + [mm]2^2*0,384[/mm] + [mm]3^2*0,512[/mm] =
> 7,104
> V(R1) = [mm]0^2*0,512[/mm] + [mm]1^2*0,384[/mm] + [mm]2^2*0,96[/mm] + [mm]3^2*0,008[/mm] =
> 4,296
> V(R2/3) = [mm]0^2*0,47[/mm] + [mm]1^2*0,47[/mm] + [mm]2^2*0,06[/mm] = 0,71
> V(G2/3) = [mm]1^2*0,06[/mm] + [mm]2^2*0,47[/mm] + [mm]3^2*0,47[/mm] = 6,17
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier musst du noch jeweils die quadrierten Erwartungswerte abziehen.
Gute Nacht
lg Luis
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Also ich hoffe, ich habe das jetzt richtig gemacht. An die quadrierten Erwartungswerte habe ich nicht mehr gedacht:
V(G1) = [mm] (0-2,4)^2*0,008 [/mm] + [mm] (1-2,4)^2*0,96 [/mm] + [mm] (2-2,4)^2*0,384 [/mm] + [mm] (3-2,4)^2*0,512 [/mm] = 2,173
V(R1) = [mm] (0-0,6)^2*0,512 [/mm] + [mm] (1-0,6)^2*0,384 [/mm] + [mm] (2-0,6)^2*0,96 [/mm] + [mm] (3-2,4)^2*0,008 [/mm] = 2,173
V(R2/3) = [mm] (0-0,59)^2*0,47 [/mm] + [mm] (1-0,59)^2*0,47 [/mm] + [mm] (2-0,59)^2*0,06 [/mm] = 0,362
V(G2/3) = [mm] (1-2,41)^2*0,06 [/mm] + [mm] (2-2,41)^2*0,47 [/mm] + [mm] (3-2.41)^2*0,47 [/mm] = 3,207
Ich hoffe ich hab da jetzt keinen Tippfehler drin. Vielen Dank auch mit dem Hinweis auf die Rundungsfehler; wenn ich diese ganze Aufgabe ins Reine schreibe, werde ich nochmals alles genau durchrechnen. Kann ich das so übernehmen?
Grüße Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Ich fuerchte, dass musst du morgen noch einmal etwas sorgfaeltiger machen.
Z.B. finde *ich*:
> V(R1) = [mm](0-0,6)^2*0,512[/mm] + [mm](1-0,6)^2*0,384[/mm] + [mm](2-0,6)^2*0,96[/mm]
> + [mm](3-2,4)^2*0,008[/mm] = 2,173
[mm] $\mbox{Var}[R_1]=(0-0,6)^2*0,512 [/mm] + [mm] (1-0,6)^2*0,384 [/mm] + [mm] (2-0,6)^2*0,096 [/mm] + [mm] (3-0.6)^2*0,008 [/mm] = 0.48$
(Die 0.96 ist falsch und die 2.4 in der letzten Klammer)
lg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Hallo Luis,
aber jetzt hab ichs:
V(G1) = [mm] (0-2.4)^2*0,008 [/mm] + [mm] (1-2,4)^2*0,096 [/mm] + [mm] (2-2,4)^2*0,384 [/mm] + [mm] (3-2,4)^2*0,512 [/mm] = 0,48
V(R1) = [mm] (0-0,6)^2*0,512 [/mm] + [mm] (1-0,6)^2*0,384 [/mm] + [mm] (2-0,6)^2*0,096 [/mm] + [mm] (3-0,6)^2*0,008 [/mm] = 0,48
Ich hoffe das stimmt jetzt so.
Bis demnächst
Gruß Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 14.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis,
>
> aber jetzt hab ichs:
>
> V(G1) = [mm](0-2.4)^2*0,008[/mm] + [mm](1-2,4)^2*0,096[/mm] + [mm](2-2,4)^2*0,384[/mm]
> + [mm](3-2,4)^2*0,512[/mm] = 0,48
> V(R1) = [mm](0-0,6)^2*0,512[/mm] + [mm](1-0,6)^2*0,384[/mm] +
> [mm](2-0,6)^2*0,096[/mm] + [mm](3-0,6)^2*0,008[/mm] = 0,48
>
> Ich hoffe das stimmt jetzt so.
>
>
Puuh.
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