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Hallo!
Ich habe mehrere Fragen zum Verständnis, um eine Aufgabe lösen zu können.
Die Aufgabe beginnt so:
"Seien [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \IR^{d} [/mm] ".
>>> Das bedeutet doch, dass [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] eigentlich Zufallsvektoren sind, der Form:
[mm] $X_{i} [/mm] = [mm] \vektor{(X_{i})_{1}\\ \vdots \\ (X_{i})_{d}}$ [/mm] mit $i = 1,...,n$
?
>>> Wenn diese Zufallsvektoren jetzt identisch verteilt sind, kann ich daraus dann schließen, dass zum Beispiel
[mm] (X_{i})_{1} [/mm] mit [mm] (X_{j})_{1}, [/mm] ..., [mm] (X_{i})_{d} [/mm] mit [mm] (X_{j})_{d}
[/mm]
identisch verteilt sind? Dann würde ja zum Beispiel auch
[mm] $E\Big[(X_{i})_{1}\Big] [/mm] = [mm] E\Big[(X_{j})_{1}\Big]$, [/mm] ..., [mm] $E\Big[(X_{i})_{d}\Big] [/mm] = [mm] E\Big[(X_{j})_{d}\Big]$
[/mm]
gelten, oder?
>>> Wenn diese Zufallsvektoren jetzt unabhängig von einander sind sind, kann ich daraus dann schließen, dass zum Beispiel
[mm] (X_{i})_{1} [/mm] und [mm] (X_{j})_{1}, [/mm] ..., [mm] (X_{i})_{d} [/mm] und [mm] (X_{j})_{d}
[/mm]
jeweils unabhängig sind?
>>> Und noch etwas: Kann ich noch mehr über die einzelnen Elemente der Vektoren aussagen?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 16.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo!
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> Ich habe mehrere Fragen zum Verständnis, um eine Aufgabe
> lösen zu können.
> Die Aufgabe beginnt so:
>
> "Seien [mm]X_{1},...,X_{n}[/mm] unabhängig identisch verteilte
> Zufallsvariablen mit Werten in [mm]\IR^{d}[/mm] ".
>
> >>> Das bedeutet doch, dass [mm]X_{1},...,X_{n}[/mm] eigentlich
> Zufallsvektoren sind, der Form:
>
> [mm]X_{i} = \vektor{(X_{i})_{1}\\ \vdots \\ (X_{i})_{d}}[/mm]
> mit [mm]i = 1,...,n[/mm]
>
> ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> >>> Wenn diese Zufallsvektoren jetzt identisch verteilt
> sind, kann ich daraus dann schließen, dass zum Beispiel
>
> [mm](X_{i})_{1}[/mm] mit [mm](X_{j})_{1},[/mm] ..., [mm](X_{i})_{d}[/mm] mit
> [mm](X_{j})_{d}[/mm]
>
> identisch verteilt sind? Dann würde ja zum Beispiel auch
>
> [mm]E\Big[(X_{i})_{1}\Big] = E\Big[(X_{j})_{1}\Big][/mm], ...,
> [mm]E\Big[(X_{i})_{d}\Big] = E\Big[(X_{j})_{d}\Big][/mm]
>
> gelten, oder?
>
> >>> Wenn diese Zufallsvektoren jetzt unabhängig von
> einander sind sind, kann ich daraus dann schließen, dass
> zum Beispiel
>
> [mm](X_{i})_{1}[/mm] und [mm](X_{j})_{1},[/mm] ..., [mm](X_{i})_{d}[/mm] und
> [mm](X_{j})_{d}[/mm]
>
> jeweils unabhängig sind?
>
> >>> Und noch etwas: Kann ich noch mehr über die einzelnen
> Elemente der Vektoren aussagen?
$ [mm] Var\Big[(X_{i})_{1}\Big] [/mm] = [mm] Var\Big[(X_{j})_{1}\Big] [/mm] $, ..., $ [mm] Var\Big[(X_{i})_{d}\Big] [/mm] = [mm] Var\Big[(X_{j})_{d}\Big] [/mm] $
(so existent).
vg Luis
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Hallo luis52,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe nun festgestellt, dass ich auch noch Folgendes bräuchte:
[mm]X_{1},...,X_{n}[/mm] sind unabhängige, identisch verteilte Zufallsvektoren der Form
[mm]X_{i} = \vektor{(X_{i})_{1}\\ \vdots \\ (X_{i})_{d}}[/mm] mit [mm]i = 1,...,n[/mm]
Sind dann auch zum Beispiel
[mm](X_{1})_{2}[/mm] und [mm] (X_{2})_{3}
[/mm]
unabhängig, also Zufallsvariablen aus verschiedenen Komponenten verschiedener Zufallsvektoren?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 16.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Sind dann auch zum Beispiel
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> [mm](X_{1})_{2}[/mm] und [mm](X_{2})_{3}[/mm]
>
> unabhängig, also Zufallsvariablen aus verschiedenen
> Komponenten verschiedener Zufallsvektoren?
vg Luis
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Hallo Luis,
> > Sind dann auch zum Beispiel
> >
> > [mm](X_{1})_{2}[/mm] und [mm](X_{2})_{3}[/mm]
> >
> > unabhängig, also Zufallsvariablen aus verschiedenen
> > Komponenten verschiedener Zufallsvektoren?
>
>
Wunderbar  , dann funktioniert mein Beweis schonmal
Nun habe ich noch eine Frage: Es geht bei mir darum, dass ich zeigen soll, dass ein Ausdruck ein erwartungstreuer Schätzer für die Kovarianzmatrix [mm] \Sigma [/mm] ist.
Nun frage ich mich aber, aus welchen Elementen [mm] \Sigma [/mm] eigentlich besteht, also was ist [mm] \Sigma_{i_{j}} [/mm] dann eigentlich?
Kann ich das schreiben als: [mm] $\Sigma_{i_{j}} [/mm] = [mm] cov(X_{k_{i}}, X_{k_{j}})$ [/mm] ? Weil es gibt doch keine Kovarianz von Zufallsvektoren, oder?
[Anmerkung auf der rechten Seite meines Schätzer für die Kovarianzmatrix [mm] \Sigma [/mm] tauchen auch solche [mm] X_{k_{i}} [/mm] auf...]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 16.12.2009 | | Autor: | luis52 |
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> Nun frage ich mich aber, aus welchen Elementen [mm]\Sigma[/mm]
> eigentlich besteht,
![[]](/images/popup.gif) Da schau her. Auf der Diagonalen stehen die [mm] $\operatorname{Var}[X_i]$.
[/mm]
vg Luis
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