Zulaufratenfkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:42 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Zulauf wird durch [mm] f(t)=t^3-13t^2+40t [/mm] beschrieben
Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1 m. |
Hallo, habe hier eine größere Sach vor mir liegen bei der ich sicher eure Hilfe brauchen werde, damit ich anfangen kann hätte ich gerne gewusst ob ich die 0.1m in meine Fkt einbauen muss?
Wäre dann ja [mm] f(t)=t^3-13t^2+40t+0,1
[/mm]
und dann die Nullstellen berechnen muss oder nehme ich nur die Anfangsfkt. und beachte die 0,1m nicht oder erst wenn ich das Volumen berechne?
gruß
Beliar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Sa 25.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Beliar,
mir kommt das etwas merkwürdig vor. Was gibt denn die Zulauffunktion an? Ich hätte gedacht: Die Wassermenge die zu einer bestimmten Zeit t zuläuft. Dann braucht man noch Maße des Gefäßes. Das wäre aber zu schwierig.
Du willst eine Pegelfunktion: Höhe des Wasserstands zu einer Zeit t haben. Die hätte dann auch für t = 0 den Wert 1.
Kannst Du noch mehr Informationen liefern?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 So 26.11.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Ein quaderförmiger Swimmingpool l=8m;b=5m;h03m wird mit Wasser gefüllt.Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1m.
Der Zu-Ablauf des Wassers wird modellhaft beschrieben durch die Zulaufratenfkt f mit
[mm] f(t)=t^3-13t^2+40t;0\let\le9.
[/mm]
Gib die Zeitpunkte an,zu denen Wasser weder zu-noch abläuft,und berechne den maximalen ZU-Ablusses.
b)Wie viel Wasser befindet sich nach3 Std im Pool?
bestimme die Höhe des Wasserstandes am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
Bestimme die maximale Wassermenge im Pool.
Erläutere,weshalb die Definitionmenge von f beschrängt ist. |
Hallo, die erste Frage war muss ich die 0,1m berücksichigen,also [mm] f(t)=t^3-13t^2+40t [/mm] +0,1 ?
Oder bleibe ich bei der vorgegebenen? Ich habe mit der Vorgegeben gerechnet und bekam für den Zeitpunkt wo weder Wasser zu-noch ab fliest (Nullstellen) 0;5;und 8 heraus.
maximaler Zu-Ablauf (Extremwerte) habe ich gerundet (2;36)und bei (6,67;10,69) bei durch die 1.und 2.Ableitung zu diesen Ergebnissen gekommen.
Zu b) da wollte ich das Integral von 0 bis 3 bilden,obwohl es doch von 0,1 bis 3 sein sollte?
Bei der Höhenbestimmung bin ich jetzt etwas ratlos.
Bei der maximalen Füllmenge ist ja Volumen auch den ich bekomme durch Integral doch nur Flächen,oder?
Die Definitionsmenge ist beschrägt,weil der Pool durch seine Maße begrenzt wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 26.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Beliar,
Du solltest hier zwei Sachen sauber trennen bei Deinen Überlegungen. Die Funktion, die Du gegeben hast, sagt einfach, wieviel Wasser zu einem bestimmten Zeitpunkt in den Pool fliesst. Dass dieser Pool zum Teitpunkt t = 0 bereits 10 cm hoch mit Wasser gefüllt ist, ist zwar für den Füllstand später wichtig, aber nicht für die Betrachtungen aus dem ersten Teil der Aufgabe. Die 0,1 haben also nichts in der Gleichung, die den Zufluss beschreibt, zu suchen.
Ansonsten ist Deine Rechenweise durchaus richtig.
Wieviel Wasser sich nach 3 Stunden im Pool befindet, lässt sich dann über die Integration der Zuflussratenfunktion bestimmen, dies ist schon richtig. Die Grenzen laufen dabei von 0 bis 3 Stunden. Hinzu kommt noch die Wassermenge, die zum Zeitpunkt t = 0 bereits im Becken war, also der 10 cm hohe Wasserstand. Ich weiss nicht, auf welche Größen sich die Zuflussratenfunktion bezieht, dies steht zumindest nicht in der Aufgabe drin, aber ich nehme mal an, dass es sich dabei um Liter handelt. Auf welche Zeitspanne sich diese Rate bezieht, steht leider auch nirgendwo, sind es Sekunden, Minuten, Stunden? Vielleicht findest Du dazu ja noch einen Hinweis, ansonsten kann man diese Zahlen natürlich aus als normierte Größen betrachten und kümmert sich nicht weiter um die Einheiten, was mathematisch zwar geht, praktisch aber eine Menge Schwierigkeiten bereiten kann.
Man kann aber natürlich einfach ausrechnen, wieviel Liter Wasser sich im Becken befinden, wenn der Wasserstand 10 cm hoch ist. Die Grundfläche des Beckens ist 40 qm. Stünde das Wasser 1m hoch, wären demzufolge 40000 l Wasser im Becken. Da es nur 10 cm hoch steht, sind es demzufolge 4000 l.
Da die Zulaufratenfunktion für große Zeiten t über alle Maßen anwächst, läuft das Becken irgendwann über. Die maximale Wassermenge im Pool entspricht also dem Volumen des Pools, das sind demzufolge 12000 l, wenn der Pool 30 cm hoch ist, wie ich mal vermute. Deine Angaben sind hier nicht genau nachvollziehbar.
Mit diesen Tipps ist die Aufgabe eigentlich bereits gelöst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 26.11.2006 | | Autor: | Beliar |
So ich hoffe das wars,
Wie viel Wasser befindet sich nach 3 std im Pool?
p.s. [mm] f(t)=m^3 [/mm] pro Std. und t in Std.
Habe mit der Stammfkt in der Grenze von 0 bis 3 gerechnet,
das waren 90 dazu kam der Wasserstand vom begin das sind 4 gewesen macht also [mm] 94m^3 [/mm] nach 3Stunden.
Bestimme die Höhe des W-standes am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
Habe erstmal Stammfkt. mit 0 bis 9 gerechnet, waren 101,25 + die 4 vom Anfang = [mm] 105,25m^3 [/mm] dann die Formel V=a*b*c umgestellt c= v/(a*b) und bekomme eine Höhe von 2,63 m
Berechne die maximale Wassermenge im Pool.
Mache ich wieder V=a*b*c sind [mm] 120m^3
[/mm]
Erläutere weshabl die Definitionsmenge von f beschränkt ist?
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Hi, Beliar,
> So ich hoffe das wars,
> Wie viel Wasser befindet sich nach 3 std im Pool?
> p.s. [mm]f(t)=m^3[/mm] pro Std. und t in Std.
> Habe mit der Stammfkt in der Grenze von 0 bis 3 gerechnet,
Gut so!
> das waren 90
Hä? Da krieg' ich aber bloß 83,25 raus! Rechne noch mal nach!
> dazu kam der Wasserstand vom begin das sind 4
> gewesen macht also [mm]94m^3[/mm] nach 3Stunden.
Prinzip richtig; Ergebnis (87,25 ?) überprüfen
> Bestimme die Höhe des W-standes am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
> Habe erstmal Stammfkt. mit 0 bis 9 gerechnet, waren 101,25
Diesmal krieg' ich dasselbe raus!
> + die 4 vom Anfang = [mm]105,25m^3[/mm] dann die Formel V=a*b*c
> umgestellt c= v/(a*b) und bekomme eine Höhe von 2,63 m
Passt scho'!
> Berechne die maximale Wassermenge im Pool.
> Mache ich wieder V=a*b*c sind [mm]120m^3[/mm]
> Erläutere weshalb die Definitionsmenge von f beschränkt ist?
Naja: Weil der Pool irgendwann voll ist!
(was bei obiger "Wassermengenfunktion" nach etwa 2,4 Std. der Fall ist.)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 26.11.2006 | | Autor: | Beliar |
ok. so weit so gut.Damit ist das meiste jetzt klar. Mich würde interessieren wie du auf die 2,4 Stunden kommst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 So 26.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Hallo wie geht das
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Hi, beliar,
da nur gefragt ist, wieso der Definitionsbereich beschränkt ist, wird man diese Zahl vermutlich nicht errechnen müssen.
Der Ansatz F(x) = 120 => x =? lässt sich nämlich nur näherungsweise lösen.
Aus dem Graphen (den ich mir hab zeichnen lassen) hatt' ich den Wert x [mm] \approx [/mm] 2,4 einfach abgelesen. Wie ich jetzt beim nochmaligen Überprüfen feststelle, hab' ich aber wohl die falsche Funktion erwischt, sodass nicht stimmen kann!
Aber wie gesagt: Die Berechnung dieses Wertes war ja nicht verlangt!
mfG!
Zwerglein
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