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Hinweis: Bitte beachtet, dass Hoch - 1/2 fast aussieht wie ein einfaches: - 1/2!
Schon wieder das leidige Thema bei mir: Zusammenfassung bei Ableitungen, die per Produkt bzw. Kettenregel hergeleitet werden.
Die meisten Aufgaben ergeben keinerlei Probleme bei mir, aber leider gibts da noch ein paar, bei denen ich am herumgruebeln bin und da ich sonst keinen zum Fragen habe, konsultiere ich mal wieder das Forum.
1)
f(x) = [mm] sin((ax)^2)
[/mm]
und
f(x) = [mm] (sin(ax))^2
[/mm]
Bei doppelt verketteten Sinus Aufgaben bin ich ziemlich ratlos. Wenn eine Sinus / Cosinus Funktion einmalig verkettet ist, ist es kein Problem fuer mich. Hier habe ich in vielen Weisen versucht die Aufgabe zu loesen aber kam nie zu dem richtigen Ergebnis:
f'(x) = 2ax cos [mm] (ax^2) [/mm] - Ich find einfach keinen Weg ... bitte helft mir!
2)
f(x) = x * [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] = x * (1 + [mm] x^2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
Hab hier erstmal vereinfacht um Produkt + Kettenregel anwenden zu koennen.
f'(x) = (1 + [mm] x^2)^\bruch{1}{2} [/mm] + x * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1 + [mm] x^2)^-\bruch{1}{2} [/mm] * 2x
Das ganze vereinfacht:
= (1 + [mm] x^2)^\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1^\bruch{1}{2} + x + x^2}{\wurzel{1 + x^2}}
[/mm]
Soweit so gut ... richtiges Ergebnis ist laut Loesungsblatt:
f'(x) = [mm] \bruch{1 + 2x^2}{\wurzel{1 + x^2}}
[/mm]
Ich find meinen Fehler einfach nicht :( ... das [mm] 2x^2 [/mm] macht die Probleme *seufz*...
3)
f(x) = (1-x) * [mm] \wurzel{3x} [/mm] = (1 - x) * [mm] (3x)^\bruch{1}{2}
[/mm]
f'(x) = (-1) * [mm] (3x)^\bruch{1}{2} [/mm] + (1 - x) * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (3x) * 3
= (-1) * [mm] (3x)^\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{9}{2}x [/mm] - [mm] \bruch{9}{2}x^2
[/mm]
Alles was ich nach dem letzten Schritt versucht hab war schlichtweg falsch! Richtiges Ergebnis ist folgendes (laut Blatt):
f'(x) = [mm] \bruch{3 - 9x}{2*\wurzel{3x}}
[/mm]
Jemand der mir da helfen koennte? Sind sozusagen hoffentlich die letzten Aufgaben, bei denen ich Probleme hab. Ich hoffe auf eure Hilfe :).
MFG Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Do 22.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Tim
> 1)
> f(x) = [mm]sin((ax)^2)[/mm]
innerste fkt :h(x)=ax nächst Stufe:g(h(x))= [mm] h^{2} [/mm] nächste Stufe f=sin(g(h(x)) )Ableiten von aussen (hier hinten) nach innen f'(g)*g'(h)*h'(x)
also [mm] cos(g)*2*h*a=cos((ax)^{2})*2*(ax)*a
[/mm]
> und
> f(x) = [mm](sin(ax))^2[/mm]
h wie oben g=sinh [mm] f=g^{2} [/mm] also
f'(g)*g'(h)*h'(x) =2*g*cos(h)*a=2*sin(ax)*a
>
> Bei doppelt verketteten Sinus Aufgaben bin ich ziemlich
> ratlos. Wenn eine Sinus / Cosinus Funktion einmalig
> verkettet ist, ist es kein Problem fuer mich. Hier habe ich
> in vielen Weisen versucht die Aufgabe zu loesen aber kam
> nie zu dem richtigen Ergebnis:
>
> f'(x) = 2ax cos [mm](ax^2)[/mm] - Ich find einfach keinen Weg ...
> bitte helft mir!
>
> 2)
> f(x) = x * [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] = x * (1 + [mm]x^2)^\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hab hier erstmal vereinfacht um Produkt + Kettenregel
> anwenden zu koennen.
>
> f'(x) = (1 + [mm]x^2)^\bruch{1}{2}[/mm] + x * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (1 +
> [mm]x^2)^-\bruch{1}{2}[/mm] * 2x
>
> Das ganze vereinfacht:
>
> = (1 + [mm]x^2)^\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
bis hierher richtig.
> = [mm]\bruch{1^\bruch{1}{2} + x + x^2}{\wurzel{1 + x^2}}[/mm]
jetzt hast du falsch erweitert. Du musst doch, um auf den Hauptnenner zu kommen den ersten Teil mit [mm] \wurzel{1 + x^{2}} [/mm] erweitern da steht aber doch grade auch die Wurzel also :
[mm] \wurzel{1 + x^{2}}*\wurzel{1 + x^{2}}=1 [/mm] + [mm] x^{2}
[/mm]
Du hast scheins die Wurzel gezogen, indem du aus den beiden Summanden einzeln die Wurzel zogst! Das ist schlimm! (Rechne so mal [mm] \wurzel{1+1}!!)
[/mm]
> Soweit so gut ... richtiges Ergebnis ist laut
> Loesungsblatt:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1 + 2x^2}{\wurzel{1 + x^2}}[/mm]
das kriegst du jetzt auch!
>
> Ich find meinen Fehler einfach nicht :( ... das [mm]2x^2[/mm] macht
> die Probleme *seufz*...
>
> 3)
> f(x) = (1-x) * [mm]\wurzel{3x}[/mm] = (1 - x) * [mm](3x)^\bruch{1}{2}[/mm]
> f'(x) = (-1) * [mm](3x)^\bruch{1}{2}[/mm] + (1 - x) * [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> * (3x) [mm] [red]^{-\bruch{1}{2}}[/red]* [/mm] 3
Leichtsinnsfehler!
> = (-1) * [mm](3x)^\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{9}{2}x[/mm] -
> [mm]\bruch{9}{2}x^2[/mm]
>
> Alles was ich nach dem letzten Schritt versucht hab war
> schlichtweg falsch! Richtiges Ergebnis ist folgendes (laut
> Blatt):
>
> f'(x) = [mm]\bruch{3 - 9x}{2*\wurzel{3x}}[/mm]
>
> Jemand der mir da helfen koennte?
Hat sich gefunden!
Gruss leduart
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