Zusammengesetzte Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die kleinste Primzahl,die n teilt und sei [mm] p>\wurzel[3]{n}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] eine Primzahl ist. |
Hallo ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da n eine zusammengesetzte Zahl ist, gilt n=a*p für ein n [mm] \in \IN [/mm] und p prim , p > [mm] \wurzel[3]{n}.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm] \bruch{n}{p} [/mm] nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.
Ich habe überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen.
Angaenommen es gibt ein x [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \bruch{n}{p}=x*b, [/mm] wobei b [mm] \in \IN.
[/mm]
Durch ein Lemma wissen wir, dass n einen Teiler d hat mit 1<d [mm] \le \wurzel{n}. [/mm] Daraus folgt, dass n=d*b für ein b [mm] \in \IN.
[/mm]
Jetzt weiß ich schonmal dass [mm] p>\wurzel[3]{n} [/mm] und d [mm] \le \wurzel{n}.
[/mm]
Weiter komme ich nicht. Hat jemand einen Tipp für ich ?
Danke
Lieben Gruß
Studentin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mi 22.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die
> kleinste Primzahl,die n teilt und sei [mm]p>\wurzel[3]{n}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist.
> Hallo ;)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Da n eine zusammengesetzte Zahl ist, gilt n=a*p für ein n
> [mm]\in \IN[/mm] und p prim , p > [mm]\wurzel[3]{n}.[/mm]
Hallo,
damit gilt insbesondere [mm]p^3>n[/mm], woraus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm] folgt.
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] nur durch 1 und durch sich
> selbst teilbar ist.
> Ich habe überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen.
> Angaenommen es gibt ein x [mm]\in \IN[/mm] sodass [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm]
> wobei b [mm]\in \IN.[/mm]
Element von n reicht nicht. x und b müssten für deinen Widerspruchsbeweis größer als 1 sein.
Aus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm] und [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm] folgt nun [mm]p^2>x*b,[/mm]
Hatten wir nicht aber laut Aufgabenstellung, dass p der kleinste Primteiler von n sein soll?
Gruß Abakus
PS: Wie weit bist du mit Teil 1) deines vorherigen Posts?
>
> Durch ein Lemma wissen wir, dass n einen Teiler d hat mit
> 1<d [mm]\le \wurzel{n}.[/mm] Daraus folgt, dass n=d*b für ein b [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Jetzt weiß ich schonmal dass [mm]p>\wurzel[3]{n}[/mm] und d [mm]\le \wurzel{n}.[/mm]
>
> Weiter komme ich nicht. Hat jemand einen Tipp für ich ?
>
> Danke
> Lieben Gruß
> Studentin
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> > Sei n [mm]\in \IN[/mm] eine zusammengesetzte Zahl. Sei p die
> > kleinste Primzahl,die n teilt und sei [mm]p>\wurzel[3]{n}.[/mm]
> > Beweisen Sie, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] eine Primzahl ist.
> > Hallo ;)
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Da n eine zusammengesetzte Zahl ist, gilt n=a*p für ein
> n
> > [mm]\in \IN[/mm] und p prim , p > [mm]\wurzel[3]{n}.[/mm]
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> Hallo,
> damit gilt insbesondere [mm]p^3>n[/mm], woraus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm]
> folgt.
>
> >
> > Zu zeigen ist, dass [mm]\bruch{n}{p}[/mm] nur durch 1 und durch
> sich
> > selbst teilbar ist.
> > Ich habe überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen.
> > Angaenommen es gibt ein x [mm]\in \IN[/mm] sodass
> [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm]
> > wobei b [mm]\in \IN.[/mm]
> Element von n reicht nicht. x und b
> müssten für deinen Widerspruchsbeweis größer als 1
> sein.
> Aus [mm]p^2>\bruch{n}{p}[/mm] und [mm]\bruch{n}{p}=x*b,[/mm] folgt
> nun [mm]p^2>x*b,[/mm]
> Hatten wir nicht aber laut Aufgabenstellung, dass p der
> kleinste Primteiler von n sein soll?
Ja hatten wir.
aus [mm] x*b
Liegt darin der Widerspruch ?
lg
studentin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 23.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> aus [mm]x*b
> ist auch [mm]\wurzel{x*b}[/mm] ein Teiler von n und ist kleiner als
> p.
Findest du, dass Wurzeln zur Teilbarkeit nach einer guten Idee aussehen?
> Liegt darin der Widerspruch ?
Was abakus meinte, ist das Folgende:
Wenn [mm] $\frac{n}{p}$ [/mm] keine Primzahl ist, besitzt es eine Darstellung
[mm] $\frac{n}{p}=x*b$ [/mm] ($x,b>1$)
Du hast auch
$ [mm] p^2>x\cdot{}b, [/mm] $
Damit ist $p>x$ oder $p>b$, kann $p$ dann noch der kleinste Primteiler von $n$ sein?
LG
Daniel
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