Zusammensetzung komplexe DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Sa 14.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Fasse die Differentialgleichungen a und b zu einer komplexen DGL zusammen und löse diese unter den Anfangsbedingungen z(0)=a und dz/dt(0)=0
a) [mm] \bruch{d^2x}{dt^2}=2*u*\bruch{dy}{dt}-\gamma* [/mm] x
b) [mm] \bruch{d^2y}{dt^2}=-2*u*\bruch{dx}{dt}-\gamma* [/mm] y |
Ich wollte das so angehen:
z(t)=x(t)+i*y(t)
nur weiß ich jetz nicht, ob ich dazu x(t) und y(t) jeweils aus den einzelnen Gleichungen ausrechnen muss (welcher Typ DGL liegt hier vor?).
oder knn ich (da x und y in den Gleichungen vorkommt) die Gleichungen auf diese Variablen umformen und dann die entstandene DGL lösen?
Liebe Grüße und viel Spaß beim Fußball schauen ;)
Chris
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Hallo chrisi99,
> Fasse die Differentialgleichungen a und b zu einer
> komplexen DGL zusammen und löse diese unter den
> Anfangsbedingungen z(0)=a und dz/dt(0)=0
>
> a) [mm]\bruch{d^2x}{dt^2}=2*u*\bruch{dy}{dt}-\gamma*[/mm] x
> b) [mm]\bruch{d^2y}{dt^2}=-2*u*\bruch{dx}{dt}-\gamma*[/mm] y
> Ich wollte das so angehen:
>
>
> z(t)=x(t)+i*y(t)
>
> nur weiß ich jetz nicht, ob ich dazu x(t) und y(t) jeweils
> aus den einzelnen Gleichungen ausrechnen muss (welcher Typ
> DGL liegt hier vor?).
[mm]x\left(t\right)[/mm] bzw. [mm]y\left(t\right)[/mm] ausrechnen mußt Du hier nicht.
Der Ansatz
[mm]z\left(t\right)=x\left(t\right)+i*y\left(t\right)[/mm]
liefert dann
[mm]z'\left(t\right)=x'\left(t\right)+i*y'\left(t\right)[/mm]
bzw,
[mm]z''\left(t\right)=x''\left(t\right)+i*y''\left(t\right)][/mm]
>
> oder knn ich (da x und y in den Gleichungen vorkommt) die
> Gleichungen auf diese Variablen umformen und dann die
> entstandene DGL lösen?
Willst Du das DGL so lösen, dann mußt Du das erstmal auf ein System 1. Ordnung zurückführen.
>
> Liebe Grüße und viel Spaß beim Fußball schauen ;)
>
> Chris
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Sa 14.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Vielen Dank für deine prompte Hilfe!
also eingesetzt in die zweite Ableitung von z(t):
[mm] \bruch{d^2z}{dt^2}=2.u.\bruch{dy}{dt}-\gamma [/mm] x +i (-2u [mm] \bruch{dx}{dt} -\gamma [/mm] y)
dann habe ich eine DGL 2. Ordnung in 2 Variablen, die beide von t abhängen, also x(t) und y(t) und deren Ableitungen.
Leider habe ich so eine DGL noch nie gelöst (wir machen gerade Integralsätze und einfache DGL).
Was muss ich denn als nächstes tun?
Lg
Chris
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Hallo chrisi99,
> Vielen Dank für deine prompte Hilfe!
>
> also eingesetzt in die zweite Ableitung von z(t):
>
>
> [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}=2.u.\bruch{dy}{dt}-\gamma[/mm] x +i (-2u
> [mm]\bruch{dx}{dt} -\gamma[/mm] y)
>
> dann habe ich eine DGL 2. Ordnung in 2 Variablen, die beide
> von t abhängen, also x(t) und y(t) und deren Ableitungen.
>
> Leider habe ich so eine DGL noch nie gelöst (wir machen
> gerade Integralsätze und einfache DGL).
>
> Was muss ich denn als nächstes tun?
Jetzt mußt Du die so erhaltene DGL, dann so darstellen:
[mm]\bruch{d^2z}{dt^2}=\alpha*\bruch{dz}{dt}+\beta*z[/mm]
mit [mm]\alpha, \ \beta \in \IC[/mm]
>
> Lg
> Chris
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 14.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Hm, ich brings nicht so ganz hin :(
also [mm] \bruch{d^2z}{dt^2}=2.u.\bruch{dz}{dt}-\gamma .x+i(-2.u.\bruch{dx}{dt} [/mm] - [mm] \gamma .y)=\alpha (\bruch{dx}{dt}+i\bruch{dy}{dt})+\beta [/mm] (x+iy)
wäre die Gleichung. Aber wie kann ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] jetzt bestimmen (Rechnen mit komplexen Zahlen ist schon echt lange her ;)
ich habe versucht den Ableitungen entsprechend Koeffizienten zu bestimmen (Koeffizientenvergleich), aber das haut nicht hin...
lg
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Hallo chrisi99,
> Hm, ich brings nicht so ganz hin :(
>
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> also [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}=2.u.\bruch{dz}{dt}-\gamma .x+i(-2.u.\bruch{dx}{dt}[/mm]
> - [mm]\gamma .y)=\alpha (\bruch{dx}{dt}+i\bruch{dy}{dt})+\beta[/mm]
> (x+iy)
>
> wäre die Gleichung. Aber wie kann ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> jetzt bestimmen (Rechnen mit komplexen Zahlen ist schon
> echt lange her ;)
>
>
> ich habe versucht den Ableitungen entsprechend
> Koeffizienten zu bestimmen (Koeffizientenvergleich), aber
> das haut nicht hin...
Wir haben also:
[mm]\bruch{d^{2} z}{dt^{2}}=\bruch{d^{2} x}{dt^{2}}+i*\bruch{d^{2} y}{dt^{2}}=2\cdot{}u\cdot{}\bruch{dy}{dt}-\gamma\cdot{} x + i* \left(-2\cdot{}u\cdot{}\bruch{dx}{dt}-\gamma\cdot{} y\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{d^{2} z}{dt^{2}}=2u*\left(\bruch{dy}{dt}-i*\bruch{dx}{dt}\right)-\gamma\left(x+i*y\right)[/mm]
Nun muß gelten:
[mm]\alpha*\left(\bruch{dx}{dt}+i*\bruch{dy}{dt}\right)=2u*\left(\bruch{dy}{dt}-i*\bruch{dx}{dt}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \alpha=-i*2u[/mm] bzw. [mm]i*\alpha=2u[/mm]
und
[mm]\beta*\left(x+i*y\right)=-\gamma\left(x+i*y\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \beta = -\gamma[/mm] bzw. [mm]i*\beta=-i*\gamma[/mm]
Insgesamt folgt demnach:
[mm]\bruch{d^2z}{dt^2}=-i*2u*\bruch{dz}{dt}-\gamma*z[/mm]
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
$ [mm] \bruch{d^2z}{dt^2}=-i\cdot{}2u\cdot{}\bruch{dz}{dt}-\gamma\cdot{}z [/mm] $
umgeformt auf
[mm] \bruch{d^2z}{dt^2}+i\cdot{}2u\cdot{}\bruch{dz}{dt}+\gamma\cdot{}z=0 [/mm] ist dann eine homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. (falls das gleich bleibt wie im Reelen?)
Kann ich das jetzt mit Exponentialansatz lösen wie in R oder ist das in C anders?
Lg
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Hallo chrisi99,
>
> [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}=-i\cdot{}2u\cdot{}\bruch{dz}{dt}-\gamma\cdot{}z[/mm]
>
> umgeformt auf
>
> [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}+i\cdot{}2u\cdot{}\bruch{dz}{dt}+\gamma\cdot{}z=0[/mm]
> ist dann eine homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten. (falls das gleich bleibt wie im Reelen?)
>
Ja, falls [mm]u, \gamma[/mm] vorgegebene Konstanten sind.
>
> Kann ich das jetzt mit Exponentialansatz lösen wie in R
> oder ist das in C anders?
Das ist in [mm]\IC[/mm] dasselbe.
>
> Lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
das gäbe dann (sind Konstanten)
[mm] \lambda^2+2.u.i.\lambda+\gamma=0
[/mm]
und [mm] \lambda_{1,2}=-u.i\pm\wurzel{-u^2-\gamma}
[/mm]
ist dann die Lösung für
[mm] z_{h}=C_1.e^{\lambda_1}+C_2.e^{\lambda_2}
[/mm]
?
Das ganze ist dann noch ein AWP, wo ja z(0)=a (reele Konstante) und dz/dt=0 sein soll.
lg
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Hallo chrisi99,
> das gäbe dann (sind Konstanten)
>
> [mm]\lambda^2+2.u.i.\lambda+\gamma=0[/mm]
>
> und [mm]\lambda_{1,2}=-u.i\pm\wurzel{-u^2-\gamma}[/mm]
>
> ist dann die Lösung für
>
> [mm]z_{h}=C_1.e^{\lambda_1}+C_2.e^{\lambda_2}[/mm]
>
> ?
Hier ist wohl das t verlorengegangen:
[mm]z_{h}=C_1.e^{\lambda_{1}\red{t}}+C_2.e^{\lambda_{2}\red{t}}[/mm]
>
> Das ganze ist dann noch ein AWP, wo ja z(0)=a (reele
> Konstante) und dz/dt=0 sein soll.
>
Ja. [mm]z\left(0\right)=a, \ z'\left(0\right)=0[/mm]
Um die Konstanten [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] zu bestimmen, mußt Du nur das entstehende Gleichungssystem lösen.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für den scharfen Blick, da ist das t wirklich verloren gegangen ;)
als aus
z(0)=a=C1+C2
[mm] z'(0)=0=C_1.\lambda_{1}+C_2. \lambda_{2}
[/mm]
folgt [mm] a.\lambda_{1}+C_2(\lambda_{2}-\lambda_{1})=0
[/mm]
und damit [mm] C_2=-\bruch{a.\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}
[/mm]
und [mm] C_1=a-C_2
[/mm]
[mm] C_1=a+\bruch{a.\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}
[/mm]
schaut das so richtig aus?
lg
Chris
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Hallo chrisi99,
> danke für den scharfen Blick, da ist das t wirklich
> verloren gegangen ;)
>
> als aus
>
> z(0)=a=C1+C2
> [mm]z'(0)=0=C_1.\lambda_{1}+C_2. \lambda_{2}[/mm]
>
> folgt [mm]a.\lambda_{1}+C_2(\lambda_{2}-\lambda_{1})=0[/mm]
>
> und damit
> [mm]C_2=-\bruch{a.\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}[/mm]
>
> und [mm]C_1=a-C_2[/mm]
>
> [mm]C_1=a+\bruch{a.\lambda_{1}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}[/mm]
>
> schaut das so richtig aus?
Ja, das schaut gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]C_{1}[/mm] kann man noch etwas kompakter schreiben.
>
> lg
> Chris
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
wow, danke schon mal, das war ein kleiner Kraftakt ;)
ich soll zum Schluss noch Ort z und Geschwindigkeit dz/dt zum Zeitpunkt T/2 und T bestimmen, wobei [mm] T=\bruch{2 \pi}{\wurzel{u^2+\gamma}} [/mm] ist.
Da u und [mm] \gamma [/mm] ja nicht vorgegeben sind, kann ich sie dann wählen wie es mir passt? wenn ich nämlich beginne, das alles einzusetzen wird das ein entsetzlich langer Term. Oder kann ich da bei C1 und C2 noch relativ viel vereinfachen wenn ich [mm] \lambda [/mm] einsetze? Bin da nämlich nicht auf viel gekommen...
lg
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Hallo chrisi99,
> wow, danke schon mal, das war ein kleiner Kraftakt ;)
>
> ich soll zum Schluss noch Ort z und Geschwindigkeit dz/dt
> zum Zeitpunkt T/2 und T bestimmen, wobei [mm]T=\bruch{2 \pi}{\wurzel{u^2+\gamma}}[/mm]
> ist.
Hier ist ja unmittelbar zu sehen, daß [mm]u^{2}+\gamma > 0[/mm] ist.
>
> Da u und [mm]\gamma[/mm] ja nicht vorgegeben sind, kann ich sie dann
> wählen wie es mir passt? wenn ich nämlich beginne, das
> alles einzusetzen wird das ein entsetzlich langer Term.
> Oder kann ich da bei C1 und C2 noch relativ viel
> vereinfachen wenn ich [mm]\lambda[/mm] einsetze? Bin da nämlich
> nicht auf viel gekommen...
>
Es ist leicht einzusehen, daß die Konstanten C1 und C2 reell sind.
Die Eulersche Formel
[mm]e^{ix}=\cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right)[/mm]
dürfte ja bekannt sein.
Um dann Ort und Geschwindigkeit auszurechnen, wirst Du das benötigen.
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ich nehme jetzt einmal C2 her
C2=-a [mm] \bruch{-ui+2 \wurzel{-u^2-\gamma}}{-4 \wurzel{-u^2-\gamma}}
[/mm]
der Ausdruck [mm] \wurzel{-u^2-\gamma} [/mm] ist sicher Imaginär, da u und [mm] \gamma [/mm] positive reele Zahlen sind, also schreibe ich ihn um nach:
i [mm] \wurzel{u^2+\gamma}
[/mm]
da jetzt alle Terme i enthalten kann ich wohl kürzen->
C2= [mm] a\bruch{2\wurzel{u^2+\gamma}-u}{4\wurzel{u^2+\gamma}} [/mm] (ichhoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet.
Für C1 gilt ja a-C2 C1=a [mm] (1-\bruch{2\wurzel{u^2+\gamma}-u}{4\wurzel{u^2+\gamma}})
[/mm]
so, jetzt setze ich das in die LSG ein und erhalte für [mm] T=\bruch{2 \pi}{\wurzel{u^2+\gamma}} [/mm] (sieht ja sehr nach den Konstanten aus ;) )
ich schau mir jetzt einmal den Term im Exponenten an: [mm] \lambda_{1} [/mm] . T
[mm] (-ui+i.\wurzel{u^2+\gamma}). \bruch{2 \pi}{\wurzel{u^2+\gamma}}
[/mm]
mit der Euleridentität ergibt das etwas der Form [mm] e^{2\pi}[cos(\bruch{-2. \pi u}{\wurzel{u^2+\gamma}})+i.sin(\bruch{-2. \pi u}{\wurzel{u^2+\gamma}})]...
[/mm]
scheinbar habe ich mich irgendwo verrechnet, weil das ist kein guter Ausdruck...
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Hallo chrisi99,
> ich nehme jetzt einmal C2 her
>
>
> C2=-a [mm]\bruch{-ui+2 \wurzel{-u^2-\gamma}}{-4 \wurzel{-u^2-\gamma}}[/mm]
Das muss doch wohl eher so heißen:
[mm]C_{2}=-a*\bruch{-i*u+\wurzel{-u^{2}-\gamma}}{2*\wurzel{-u^{2}-\gamma}}[/mm]
>
> der Ausdruck [mm]\wurzel{-u^2-\gamma}[/mm] ist sicher Imaginär, da u
> und [mm]\gamma[/mm] positive reele Zahlen sind, also schreibe ich
> ihn um nach:
>
> i [mm]\wurzel{u^2+\gamma}[/mm]
>
> da jetzt alle Terme i enthalten kann ich wohl kürzen->
>
> C2= [mm]a\bruch{2\wurzel{u^2+\gamma}-u}{4\wurzel{u^2+\gamma}}[/mm]
> (ichhoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet.
>
> Für C1 gilt ja a-C2 C1=a
> [mm](1-\bruch{2\wurzel{u^2+\gamma}-u}{4\wurzel{u^2+\gamma}})[/mm]
>
> so, jetzt setze ich das in die LSG ein und erhalte für
> [mm]T=\bruch{2 \pi}{\wurzel{u^2+\gamma}}[/mm] (sieht ja sehr nach
> den Konstanten aus ;) )
>
> ich schau mir jetzt einmal den Term im Exponenten an:
> [mm]\lambda_{1}[/mm] . T
>
> [mm](-ui+i.\wurzel{u^2+\gamma}). \bruch{2 \pi}{\wurzel{u^2+\gamma}}[/mm]
>
>
> mit der Euleridentität ergibt das etwas der Form
> [mm]e^{2\pi}[cos(\bruch{-2. \pi u}{\wurzel{u^2+\gamma}})+i.sin(\bruch{-2. \pi u}{\wurzel{u^2+\gamma}})]...[/mm]
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> scheinbar habe ich mich irgendwo verrechnet, weil das ist
> kein guter Ausdruck...
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 15.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
hi! Danke für deine Korrektur!
Leider ändert das nichts im Exponenten, kannst du da einen Fehler entdecken?
ausmultiplizieren von [mm] \lambda_1 [/mm] .T ergibt
[mm] i(1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}}) [/mm] .2 [mm] \pi
[/mm]
dann verwende ich die Euleridentität und erhalte aus
[mm] e^{i(1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}}) .2 \pi}=cos((1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}}) [/mm] .2 [mm] \pi)+i sin((1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}}) [/mm] .2 [mm] \pi)
[/mm]
das macht aber noch nicht "viel her", meistens kommen da schöne Terme raus ;)
lg
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Hallo chrisi99,
> hi! Danke für deine Korrektur!
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> Leider ändert das nichts im Exponenten, kannst du da einen
> Fehler entdecken?
>
> ausmultiplizieren von [mm]\lambda_1[/mm] .T ergibt
>
> [mm]i(1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}})[/mm] .2 [mm]\pi[/mm]
>
> dann verwende ich die Euleridentität und erhalte aus
>
> [mm]e^{i(1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}}) .2 \pi}=cos((1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}})[/mm]
> .2 [mm]\pi)+i sin((1-\bruch{u}{\wurzel{u^2+\gamma}})[/mm] .2 [mm]\pi)[/mm]
Diesen Ausdruck kann man noch etwas vereinfachen, in dem Du die entsprechenden Additionstheoreme verwendest.
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> das macht aber noch nicht "viel her", meistens kommen da
> schöne Terme raus ;)
>
> lg
>
>
Gruß
MathePower
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ich muss diesen Faden wieder ausgraben 
irgendwo scheint dann doch ein Fehler passiert zu sein...
könnte jemand prüfen, ob die Lösung des charakteristischen Polynoms mit
[mm] \lambda_{1,2}=-ui\pm\wurzel{-u^2-\gamma}=i(-u\pm\wurzel{u^2+\gamma}
[/mm]
richtig ist?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 23.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Hm ich habe das Ganze jetzt noche einmal durchgeschaut und finde keinen Fehler. Die Lösung sieht aber trotzdem seltsam aus ...
falls mir jemand helfen kann bin ich sehr dankbar! :)
lg
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mi 25.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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leider konnte ich meinen Fehler noch immer nicht finden... (uU ist da auch keiner
aber wie würdest du die Terme noch zusammenfassen?
lg
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Fr 27.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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