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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | | Ein Mann versucht sich das Rauchen abzugewöhnen. Wenn er an einem Tag keine Zigarette geraucht hat, dann raucht er am nächsten Tag in 30% der Fälle 20 Zigaretten, in 40% der Fälle 10 Zigaretten. Raucht er an einem Tag 10 Zigaretten, dann schafft er es in 50% der Fälle, am nächsten nicht zu rauchen; in 10% der Fälle raucht er am nächsten Tag sogar 20 Zigaretten. Nach einem Tag mit 20 Zigaretten erinnert er sich an seinen Vorsatz und raucht am nächsten Tag nicht. Gelingt es dem Mann, auf lange Sicht seinen Zigarettenkonsum wenigstens zu senken, wenn er vor seinem ersten Vorsatz im Mittel täglich 10 Zigaretten geraucht hat? |
Hallo,
dazu habe ich zunächst einmal die Matrix aufgestellt. Diese lautet wie folgt:
[mm] \pmat{ 0,3 & 0,5 & 1 \\ 0,4 & 0,4 & 0 \\ 0,3 & 0,1 & 0}
[/mm]
Diese Matrix mit 100 ergibt ungefähr:
[mm] \pmat{ 0,491803 & 0,491803 & 0,491803 \\ 0,327869 & 0,327869 & 0,327869 \\ 0,180328 & 0,180328 & 0,180328}
[/mm]
Der Prozentsatz, mit dem Rauchen ganz aufzuhören, ist doch knapp 50%. Aber was kann ich nun damit anfangen. Und was meint der Satz "wenn er vor seinem ersten Vorsatz im Mittel täglich 10 Zigaretten geraucht hat"?
Danke.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Sa 24.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Übergansmatrix A lautet ja, wie Du ausgerechnet hast
[mm] A=\pmat{ 0.3 & 0.5 & 1.0 \\ 0.4 & 0.4 & 0.0 \\ 0.3 & 0.1 & 0.0 }
[/mm]
D.h., wenn der Mann 10 Zigaretten am Tag raucht, raucht er am nächsten Tag
0.5*0+0.4*10+0.1*20=6 Zigaretten. Verallgemeinert bedeutet das, wenn er mit 10 Zigaretten anfängt, raucht er am n-ten Tag
[mm] \left(A^n\right)_2*\vektor{0 \\ 10 \\ 20} [/mm] Zigaretten, wenn [mm] \left(A^n\right)_2 [/mm] die zweite Spalte der Matrix [mm] A^n [/mm] bezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 27.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Also muss ich doch im Grunde das hier rechnen oder?
[mm] A=\pmat{ 0.3 & 0.5 & 1.0 \\ 0.4 & 0.4 & 0.0 \\ 0.3 & 0.1 & 0.0 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 10 \\ 20} [/mm] Zigaretten
und könntest du vielleicht noch erläutern wie du auf die Grafik gekommen bist? Ich hab verstanden wie man auf [mm] \vektor{0 \\ 10 \\ 20} [/mm] kommt, aber noch nicht so ganz, was man damit anfangen soll.
Danke.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 27.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Spalten der Übergangsmatrix A stellen die Wahrscheinlichkeit dar, von einem gegebenen Anfangszustand in den Folgezustand zu wechseln. Die Anfangszustände [mm] \overrightarrow{x} [/mm] können sein ich rauche 0, 10 oder 20 Zigaretten. Die Anfangszustände werden durch die folgenden Vektoren beschrieben.
0 Zigaretten [mm] \overrightarrow{x_1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
10 Zigaretten [mm] \overrightarrow{x_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und
20 Zigaretten [mm] \overrightarrow{x_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
D.h. also, wenn ich 10 Zigaretten rauche, beschreibt der Vektor [mm] A*\overrightarrow{x_2} [/mm] die Wahrscheinlichkeit 0, 10 oder 20 Zigaretten am nächsten Tag zu rauchen.
D.h. [mm] A*\overrightarrow{x_2}=\vektor{0.5 \\ 0.4 \\ 0.1} [/mm] also rauche ich mit 50% nicht, mit 40% 10 Zigaretten und mit 10% 20 Zigaretten.
Am übernächsten Tag rauche ich dann mit Wahrscheinlichkeit [mm] A^2*\overrightarrow{x_2} [/mm] 0, 10 oder 20 Zigaretten usw. Also rauche ich am n-ten Tag mit Wahrscheinlichkeit [mm] A^n*\overrightarrow{x_2} [/mm] 0, 10 oder 20 Zigaretten.
Um die absolute Anzahl der gerauchten Zigaretten zu bekommen, muss man die Wahrscheinlichkeiten mit der Anzahl der Zigaretten multiplizieren, d.h.
(1) [mm] \left(A^n*\overrightarrow{x_2}\right)^T*\vektor{0 \\ 10 \\ 20}
[/mm]
So ist auch die Grafik zustande gekommen. Für jedes n rechne ich Formel (1) aus und trage die Werte in die Grafik ein.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:36 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Entschuldige, aber ich versteh irgendwie immer noch nicht wie du auf $ [mm] \overrightarrow{x_2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ kommst? Das steht doch nirgendswo in der Übergangsmatrix?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 28.09.2011 | | Autor: | Mathics |
Und wie kommt man generell auf die anderen Vektoren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Do 29.09.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
also irgendwie versteh ich Dich nicht. Du hast doch die Übergangsmatrix aufgestellt. Wie hast Du das gemacht. Das kann doch nur so gegangen sein, das Du Dir überlegt hast, mit welcher Wahrscheinlichkeit man, wenn man an einem Tag nicht geraucht hat, am nächsten Tag 10 oder 20 Zigaretten raucht. Diese Überlegung hat doch wohl zur ersten Spalte in Deiner Matrix geführt. Und auf die gleiche Art und Weise sind die beiden anderen Spalten entstanden.
Jetzt kann man sich fragen, wie erhalte ich die erste Spalte der Übergangsmatrix. Die erhälst Du, indem man die Übergangsmatrix A mit dem Vektor [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] multipliziert. Die anderen Spalten erhält man entsprechend.
Wie kann man obiges Ergebnis interpretieren? Das kann doch nur so sein, das der Vektor [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] den Zustand ich rauche keine Zigaretten darstellt. So kommt man dann auch auf die Vektoren [mm] \overrightarrow{x_2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{x_3}.
[/mm]
Wendet man die Matrix mehrmals (n-mal) hintereinander auf einen Zustandsvektor [mm] \overrightarrow{x_i} [/mm] an, erhält man die Wahrscheinlichkeit dafür, ausgehend von einem Zustand i, nach n Tagen, mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten 0, 10 oder 20 Zigaretten zu rauchen.
Und nochmal, dann bekommst Du die absolute Anzahl der gerauchten Zigaretten durch die Methode die schon beschrieben wurde. Also anders kann ich es nicht mehr erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 30.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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