Zweig des Logarithmus < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Mi 30.09.2009 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve [mm] \gamma [/mm] mit Anfangspunkt i und Endpunkt -i, dessen Bild in [mm] \IC\backslash[1,\infty) [/mm] liegt.
Berechnen Sie: [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z-1} dz}
[/mm]
in dem sie einen passenden Zweig von log(z-1) verwenden. |
hallo zusammen,
ich komme mit dieser Aufgabe nocht ganz zurecht. Habe mir das Bild aufgemalt und ich weiß wie das ganze aussieht. Leider weiß ich jetzt nicht, welchen Zweig ich nehmen muss(wie finde ich das heraus??). Den Hauptzweig des Log kann ich nicht nehmen, da meine Kurve ja in der linken Hälfte der Ebene liegt und somit die negative reelle Achse schneidet.
Hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen!
Viele Grüße, die kittie
|
|
| |
|
Dann nimm den Zweig, der die positive Achse nicht trifft. Mit [mm]w = z-1[/mm] ist das also
[mm]\log w = \ln |w| + \operatorname{i} \cdot \arg w \ \ \text{mit} \ \ 0 < \arg w < 2 \pi[/mm]
Mit [mm]\ln[/mm] meine ich hier den gewöhnlichen reellen natürlichen Logarithmus.
Beispiel:
Für diesen Zweig des Logarithmus gilt
[mm]\log(1 - \operatorname{i}) = \ln |1 - \operatorname{i}| + \operatorname{i} \cdot \arg(1 - \operatorname{i}) = \ln \sqrt{2} + \frac{7}{4} \operatorname{i} \pi = \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{7}{4} \operatorname{i} \pi[/mm]
(Beim Hauptzweig wäre der Wert dagegen [mm]\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{4} \operatorname{i} \pi[/mm].)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 30.09.2009 | | Autor: | kittie |
ah, ok, liege ich dann mit folgendem richtig?
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z-1} dz}=\integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{w} dw}=log(w)=log(|w|)+iarg(w)=log(|z-1|)+iarg(z-1)
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{z-1} dz}=[log(|z-1|)+iarg(z-1)]_{i}^{-i}=...=\bruch{\pi*i}{2}
[/mm]
Stimmt das so oder fehlt da jetzt noch was??
Wäre super, wenn du nochmal helfen könntest.
Vielen Dank. die kittie
|
|
|
| |
|
Das Ergebnis stimmt. Allerdings sollte man den Kalkül der unbestimmten Integration, wie man ihn aus dem Reellen kennt, nicht ohne nachzudenken auf das Komplexe übertragen (da ist übrigens ein [mm]\gamma[/mm] zu viel). Hier geht wohl alles gut, weil es sich bei der Substitution [mm]w = z-1[/mm] um eine simple Translation handelt.
|
|
|
|
