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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Do 06.01.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Zwei Körper (wie etwa Sonne und Erde oder Erde und Mond) mit den Massen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] bewegen sich relativ zueinander infolge der durch das allg. Gravitationsgesetz beschrieben Kraft. In einem raumfesten Koordinatensystem werden ihre Ortsvektoren mit [mm] $\vec r_1$ [/mm] und [mm] $\vec r_2$ [/mm] bezeichnet. Der Abstandsvektor sei folgendermaßen festgelegt: [mm] $\vec r=\vec r_2 -\vec r_1$
[/mm]
a) Stellen sie die Bewegungsgleichungen für [mm] $\ddot\vec r_1$ [/mm] und [mm] $\ddot\vec r_2$ [/mm] auf.
b) Gehen sie zu einem Koordinatensystem mit dem Nullpunkt im Schwerpunkt beider Massen über, so dass nun [mm] $m_1 \vec r_1+m_2 \vec r_2 [/mm] = 0 $ gilt. Zeigen sie damit [mm] $\ddot\vec r_1= [/mm] -G [mm] \bruch{m_1+m_2}{r^3}\vec r_1$ [/mm] und [mm] $\ddot\vec r_2 [/mm] = -G [mm] \bruch{m_1+m_2}{r^3}\vec r_2$ [/mm] (G = Gravitationskonstante)
c) Bestimmen sie durch Subtraktion der Bewgungsgleichungen aus b) die BEweungsgleichung der Reltivbewegung (Einkörperproblem) [mm] $\ddot\vec [/mm] r=...$ |
Also ich habe mir bisher Folgendes überlegt:
a)
Die Kräfte sehen bei mir so aus:
[mm] $\vec F_1_2=-G*\bruch{m_2*m_1}{r^2}*\bruch{\vec r}{|\vec r|}$ [/mm] (Kraft der Masse 1 auf Masse 2)
[mm] $\vec F_2_1=G*\bruch{m_1*m_2}{r^2}*\bruch{\vec r}{|\vec r|}$ [/mm] (Kraft der Masse 2 auf Masse 1)
Dann würde ich entsprechend erhalten:
[mm] $\ddot\vec r_1=-G*\bruch{m_2}{r^2}*\bruch{\vec r}{|\vec r|}$
[/mm]
[mm] $\ddot\vec r_2=G*\bruch{m_1}{r^2}*\bruch{\vec r}{|\vec r|}$
[/mm]
Stimmt das soweit?
Sind auch die Vorzeichen richtig? Da bin ich mir immer Unsicher...
b)
Der Ortsvektor des Schwerpunktes ist:
[mm] $\vec r_s [/mm] = [mm] \bruch {m_1*\vec r_1 + m_2*\vec r_2}{m_1 + m_2}
[/mm]
Außerdem ja
[mm] $\vec [/mm] r= [mm] \vec r_2 [/mm] - [mm] \vec r_1$
[/mm]
Daraus erhalte ich dann:
[mm] $\vec r_1= \vec r_s [/mm] - [mm] \bruch{m_2}{m_1+m_2}*\vec [/mm] r$
[mm] $\vec r_2= \vec r_s [/mm] + [mm] \bruch{m_1}{m_1+m_2}*\vec [/mm] r$
Aber jetzt komme ich nicht so recht weiter.
Da der Ursprung ja im Schwerpunkt beider Massen liegen soll ist doch [mm] $\vec r_s=0$
[/mm]
Dann sieht man ja sofort, dass [mm] $m_1 \vec r_1 [/mm] + [mm] m_2 \vec r_2 [/mm] = 0$ gilt.
Aber ich komme einfach nicht auf die geforderten 2 Gleichungen..
Mich verwirrt irgendwie, dass da nicht mehr der Einheitsvektor von [mm] $\vec [/mm] r$ steht, sondern [mm] $\bruch{\vec r_1}{r}$, [/mm] was ja garkein Einheitsvektor mehr ist. Sehe ich das richtig?
Ich muss doch irgendwie die Kraft vom Anfang in mein "neues" Koordinatensystem umformen oder?
Aber irgendwie schaff ich das nicht.
Liebe Grüße
----
Ich denk ewig drüber nach und mir fällt nichts ein. Dann poste ich es hier und plötzlich hab ich doch noch eine Idee...
Also habe ja:
I) [mm] $\ddot\vec r_1=-G*\bruch{m_2}{r^2}*\bruch{\vec r}{|\vec r|}$
[/mm]
und
II) [mm] $\vec r_1=- \bruch{m_2}{m_1+m_2}*\vec [/mm] r$
Ich kann ja jetzt einfach [mm] $\vec [/mm] r$ in meinem neuen Koordinatensystem ausdrücken, indem ich II) nach [mm] $\vec [/mm] r$ umstellen und dann in I) einsetzen. Dann erhalte ich die geforderte Gleichung. Nur das bei mir das Vorzeichen positiv ist.
Ich denke der Fehler liegt in I) aber kann mir nicht erklären warum... Mein Gedanke war, dass die beiden Kräfte ja Entgegengesetzt sein Müssen.
Der Vekor r zeigt doch von der Masse 1 zur Masse 2, demnach auch zeigt auch der Einheitsvektor [mm] $\bruch {\vec r}{|\vec r|}$ [/mm] in diese Richtung.
Also muss doch die Kraft, die von der Masse 2 auf die Masse 1 ausgeübt sein genau entegegengerichtet sein, also $- [mm] \bruch {\vec r}{|\vec r|}$. [/mm] Das macht dann aus dem Minuszeichen der Formel ein Plus. Oder?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Do 06.01.2011 | | Autor: | Kroni |
Hi,
folgendes Bild sollte die Situation veranschaulichen (das ist immer sehr sehr nuetzlich, sich die Konfiguration aufzumalen!)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei zeigt [mm] $\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1$ [/mm] von Masse 1 zu Masse 2, weil man vom Ort der Punktmasse 1 den Vektor [mm] $\vec{r}_1$ [/mm] zurueck geht, also [mm] $-\vec{r}_1$ [/mm] und geht dann vom Ursprung aus in Richtung des Vektors [mm] $\vec{r}_2$, [/mm] also ist der Vektor der Direktverbindung von Masse 1 zu Masse 2 gegeben durch [mm] $\vec{r}_2-\vec{r}_1$.
[/mm]
Deshalb ist dann die Kraft, mit der Masse 1 von Masse 2 angezogen wird, die also von [mm] $m_1$ [/mm] nach [mm] $m_2$ [/mm] zeigt gleich
[mm] $F_{12} [/mm] = [mm] G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}|^3}\vec{r}$
[/mm]
und die Kraft, mit der Masse 2 von Masse 1 angezogen wird (die also von [mm] $m_2$ [/mm] nach [mm] $m_1$ [/mm] zeigt) ist dann durch die obige Formel gegeben, allerdings mit einem Vorzeichen. Wenn du dann alles Vorzeichentechnisch richtig durchrechnest, sollte das richtige Rauskommen.
Weil so wie ich es gerade gesehen habe, ist deine Bezeichnung genau anders herum zu meiner, so dass die Vorzeichen passen sollten. Vermutlich hast du dich dann dabei einfach nur in einem Vorzeichen vertan.
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 09.01.2011 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank für deine Antwort!
Habe jetzt mal dein Bild benutzt mit den Kräften ergänzt (mit welchem Programm hast du dein Skizze gemacht?).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmt das von den Richtungen her?
Entsprechend ist dann:
[mm] $\vec F_2_1=G*\bruch{m_1 m_2}{|r^3|}*\vec [/mm] r$ (Kraft von [mm] $m_2$ [/mm] auf [mm] $m_1$)
[/mm]
[mm] $\vec F_1_2=-G*\bruch{m_1 m_2}{|r^3|}*\vec [/mm] r$ (Kraft von [mm] $m_1$ [/mm] auf [mm] $m_2$)
[/mm]
(Habe andere Indizes für die Kräfte benutzt als du, trotzdem richtig? Oder wurde mal festgelegt, wie die heißen müssen?)
Vielen Dank für deine Hilfe!
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 09.01.2011 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> (mit welchem Programm hast du dein Skizze gemacht?).
Diese Bilder kann man mit einem beliebigen Vektorgraphikprogramm deiner Wahl erstellen, z.B. Inkscape. Da kann man dann auch die Latex-Formeln sofort rendern und einfuegen.
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Stimmt das von den Richtungen her?
Ja. Da ja [mm] $\vec{r}$ [/mm] von [mm] $m_1$ [/mm] nach [mm] $m_2$ [/mm] zeigt, zeigt die Kraft, die die erste Masse von der zweiten Masse spuert in die selbe Richtung.
>
> Entsprechend ist dann:
>
> [mm]\vec F_2_1=G*\bruch{m_1 m_2}{|r^3|}*\vec r[/mm] (Kraft von [mm]m_2[/mm]
> auf [mm]m_1[/mm])
Genau. Das kannst du dir also auch, wenn du weist, in welche Richtung [mm] $\vec{r}$ [/mm] zeigt ueberlegen, wenn du dir die zweite Masse als festgehalten vorstellst: Denn dann weist du ja, dass die erste Masse von der zweiten Masse angezogen fuehlt, und deshalb die Kraft in Richtung [mm] $\vec{r}$ [/mm] zeigt.
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>
> [mm]\vec F_1_2=-G*\bruch{m_1 m_2}{|r^3|}*\vec r[/mm] (Kraft von [mm]m_1[/mm]
> auf [mm]m_2[/mm])
>
Genau, die zeigt ja genau entegegengesetzt. Jetzt kannst du dir eigentlich auch schon denken, was passieren wird: Masse 1 wird in Richtung der Masse 2 gezogen, wobei Masse 2 in Richtung von Masse 1 gezogen wird, so dass sich die Massen irgendwo auf der Verbinungslinie der Massen treffen werden. Gefuehlmessig wuerde ich behaupten, dass im Falle, dass beide Massen gleich schwer sind, sie sich in der Mitte treffen sollten...
> (Habe andere Indizes für die Kräfte benutzt als du,
> trotzdem richtig? Oder wurde mal festgelegt, wie die
> heißen müssen?)
Nein, wie du die Indices waehlst, sei dir ueberlassen. Allerdings sollte man bei solchen Sachen dann immer eine Skizze machen, wo die Kraefte eingezeichnet sind bzw. zumindest irgendwo beschrieben sein, welche Kraft du mit [mm] $\vec{F}_{21}$ [/mm] und welche mit [mm] $\vec{F}_{12}$ [/mm] meinst. Denn dann ist die weitere Rechnung natuerlich voellig unabhaengig davon, wie du die Indices waehlst, da die Physik sicherlich voellig unbeeindruckt von der Wahl deiner Bezeichnungen der Kraefte ist, und sie damit immer gleich ist, egal wie du die Kraefte nennst :)
Wenn du jetzt die Rechnung konsequent und ohne Vorzeichenfehler durchrechnest, sollte das richtige mit dem korrekten Vorzeichen rauskommen.
Viele Gruesse,
Kroni
>
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
>
> lg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:32 So 09.01.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | | d) Für die Programmierung des reduzierten Problems, setzt man Körper 1 also fixiert in den Nullpunkt und lässt Körper 2 in der x-y-Ebene umlaufen. In welchem Potenzial bewegt sich der Körper 2. |
Okay, dann habe ich das soweit hoffentlich verstanden.
Ich werde auch mal deine Programm ausprobieren.
Das mit den Skizzen ist auch wirklich hilfreich!
Habe jetzt noch die letzte Teilaufgabe gepostet, bin mir nicht ganz sicher ob ich die richtig gelöst habe.
Also in diesem Fall ist für die potentielle Energie doch die Richtung meiner Kraft bzw die meines Abstandes unbedeutend.
Ich würde jetzt so vorgehen:
Erstmal brauch ich ja Gleichung für [mm] $\ddot\vec [/mm] r$ (Aufgabe c).
[mm] $\ddot\vec [/mm] r = [mm] \ddot\vec r_2 [/mm] - [mm] \ddot\vec r_1 [/mm] = [mm] -G*\bruch{m_1 + m_2}{|\vec r |^3 }*\vec [/mm] r$
Es gilt:
[mm] $E_p_o_t=-\integral_{\infty}^{r}{F(r) dr}
[/mm]
Die Kraft ist die Kraft von Körper 1 auf Körper 2:
D.h.:
[mm] $E_p_o_t=-\integral_{\infty}^{r}{-G*\bruch{m_1 m_2}
{|\vec r|^2}*m_2 dr}$
[/mm]
[mm] $E_p_o_t=-G*\bruch{m_1 m_2}{|\vec r|}*m_2$
[/mm]
Das Potential [mm] $\Phi [/mm] (r)$ ist [mm] $E_p_o_t$ [/mm] unabhängig von der Masse also:
[mm] $\Phi=-G* \bruch{m_1 m_2}{|\vec r|}$
[/mm]
Masse 2 bewegt sich also in diesem Potential.
Kommt das hin?
Bin wieder unsicher mit den Vorzeichen..
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Di 11.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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