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Zweite Ableitung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Di 10.11.2020
Autor: chris_muc

Hallo ihr Lieben,

ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der anhand des Graphen von f erläutert werden soll, wo die zweite Ableitung am Größten bzw. am Kleinsten ist.

Mir ist klar, dass bei Linkskrümmung von [mm] G_{f} [/mm] die zweite Ableitung von f positiv und [mm] G_{f} [/mm] bei Rechtskrümmung die zweite Ableitung negativ ist.

Es sind jeweils zwei Werte bei Linkskrümmung und zwei bei Rechtskrümmung gegeben.

Inwiefern kann ich aber anhand von [mm] G_{f} [/mm] den Betrag von f´´ableiten bzw. betragsmäßig genauer unterscheiden?

Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen.
Christian



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Zweite Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:12 Mi 11.11.2020
Autor: Eisfisch


> ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der anhand des
> Graphen von f erläutert werden soll, wo die zweite
> Ableitung am Größten bzw. am Kleinsten ist.

was bedeutet es, wenn 2. ableitung max. bzw. min. ist?

gehen wir einen schritt zurück. was bedeutet die 1.abl. für den grafen? = die steigung nach oben (maximalwert= größte steigung) bzw. nach unten (=minimalwert= kleinste steigung,weil negativ =größtes gefälle)

die ableitung davon beschreibt die steigung oder die änderung davon.
max.der 2.abl. bedeutet eine max.änderung der 1.abl.
also dort wo die steigung sich am stärksten ändert durch größerwerden, ist die 2.abl.maximal

krümmung bedeutet bei 2.abl. größer Null eine linkskrümmung, bei 2.abl. kleiner 0 eine rechtskrümmung.





Bezug
        
Bezug
Zweite Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Mi 11.11.2020
Autor: chrisno

Ein Extremum der zweiten Ableitung aus einem Graphen abzuslesen ist schwierig.
Man könnte auf die Idee kommen, dass es die Stelle ist, an der der Graph den kleinsten Krümmungsradius hat. Das stimmt aber (leider) nicht.
Ich würde mir die erste Ableitung skizzieren. Dafür würde ich vielleicht auch an mehreren Stellen Tangenten einzeichnen und deren Steigung bestimmen.

Zur konkreten Aufgabe: Pause den Originalgraphen durch oder skizziere ihn von Hand, dann kann er hier auch veröffentlicht werden.

Bezug
                
Bezug
Zweite Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 12.11.2020
Autor: chris_muc

Anbei eine Skizze des Graph von f.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Gesucht ist die Stelle x, an der f´´(x) am größten bzw. am kleinsten ist.

Man könnte vermuten, dass der Graph der zweiten Ableitung ein Parabel ist. Daher der Scheitelpunkt wohl bei [mm] x_{3} [/mm] das Minimum ist. In [mm] x_{4} [/mm] ist die zweite Ableitung Null, da hier ein Wendepunkt vorliegt.

Mein Gedanke war, dass dort die zweite Ableitung ihren größten Wert annimmt, wo sie die größte Änderung der Steigung erfährt. Was meint ihr?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Zweite Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Do 12.11.2020
Autor: chrisno


> ...
> Man könnte vermuten, dass der Graph der zweiten Ableitung
> ein Parabel ist. Daher der Scheitelpunkt wohl bei [mm]x_{3}[/mm] das
> Minimum ist. In [mm]x_{4}[/mm] ist die zweite Ableitung Null, da
> hier ein Wendepunkt vorliegt.

Ich nehme auch an, dass bei [mm] $x_4$ [/mm] ein Wendepunkt liegt. Der andere liegt zwischen [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$. [/mm]
Da die gezeichnete Funktion ein Polynom 4. Grades sein könnte, hätte dazu passend der Graph der zweiten Ableitung die Form einer Parabel.
Versuche den anderen Wendepunkt möglichst genau zu bestimmen.
Wenn die zweite Ableitung eine quadratische Funktion ist, dann liegt ihr Scheitelpunkt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Das könnte dann zu [mm] $x_3$ [/mm] passen.
Aus der Parabelform würde witerhin folgen, dass es dann keinen größten Wert gibt, solange man das Intervall nicht einschränkt.


>  
> Mein Gedanke war, dass dort die zweite Ableitung ihren
> größten Wert annimmt, wo sie die größte Änderung der
> Steigung erfährt. Was meint ihr?

> Mein Gedanke war, dass dort die zweite Ableitung ihren
> größten / kleinsten Wert annimmt, wo die Funktion die größte Änderung der
> Steigung erfährt.

Da lässt sich bloß nur ganz schwer so aus einem Graphen ablesen. Daher ist deine Idee mit der Parabelform gut.



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