Zwischenpunkt-/Fixpunktsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f: [a, b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(x) > 0, x [mm] \in [/mm] [a, b]. Beweisen Sie, dass es ein [mm] \mu [/mm] > 0 gibt mit f(x) [mm] \ge \mu, [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b]. |
Hallo zusammen,
erst einmal sorry für den wenig aussagekräftigen Titel, aber die erlaubte Eingabe ist so kurz, dass mir nichts sinnvolleres eingefallen ist.
Nun zur Aufgabe: Ich muss zugeben, dass sich mir der Sinn der Aufgabe nicht so recht erschließt. Laut Aufgabenstellung gilt f(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b]. Das impliziert doch bereits, dass es ein [mm] \mu [/mm] > 0 mit f(x) [mm] \ge [/mm] mu für ein x [mm] \in [/mm] [a, b] geben muss, nämlich mu = min({f(x) | x [mm] \in [/mm] [a, b]})?
Da das zu einfach wäre muss ich wohl einen Denkfehler gemacht haben und die Aufgabe vermutlich eher eine Anwendung des Zwischenwert- oder Fixpunktsatzes sein?
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Ich habe gerade in meinen Aufzeichnungen noch folgenden Satz zur Intervalltreue gefunden:
"Ist f stetig, a [mm] \le [/mm] b, so gibt es x, y mit f([a, b]) = [x, y]".
Könnte man den hier anwenden und sagen:
O.B.d.A. sei angenommen, dass a [mm] \le [/mm] b, also gibt es x, y mit f([a, b]) = [x, y]. Da f(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] muss gelten x>0 sowie y>0. Dann kann [mm] \mu [/mm] jedes c [mm] \in [/mm] [a, b] sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe gerade in meinen Aufzeichnungen noch folgenden
> Satz zur Intervalltreue gefunden:
> "Ist f stetig, a [mm]\le[/mm] b, so gibt es x, y mit f([a, b]) =
> [x, y]".
der Satz besagt:
"Stetige Funktionen bilden kompakte Intervalle auf kompakte Intervalle
ab."
Daraus folgt: "Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen
ihr Minimum (oben wäre das [mm] $x\,$) [/mm] und ihr Maximum (oben wäre das [mm] $y\,$)
[/mm]
an."
> Könnte man den hier anwenden
Ja!
> und sagen:
> O.B.d.A. sei angenommen, dass a [mm]\le[/mm] b,
Ja, denn im Falle [mm] $a=b\,$ [/mm] wird die Behauptung langweilig und im Falle
$a > [mm] b\,$ [/mm] ist [mm] $[a,b]=\emptyset$ [/mm] und damit wird auch alles langweilig,
weil dann [mm] $f\,$ [/mm] "die leere Abbildung [mm] $\emptyset \to \emptyset$" [/mm] ist.
> also gibt es x, y
> mit f([a, b]) = [x, y].
Ja.
> Da f(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b]
Autsch: Pass' da formal auf: Es ist bereits [mm] $x=\inf(f)=\min\{f(t): t \in [a,b]\}\,.$ [/mm]
Es wäre schlecht nun nochmal $f(x)$ für $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ zu
schreiben - das könnte man missverstehen und dann denken, dass
[mm] $\inf(f) \in [/mm] [a,b]$ gelten soll. Aus dem Zusammenhang heraus sollte das
zwar nicht passieren, aber schreiben wir lieber:
Aus $f(t) > 0$ für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$ folgt, dass: Es
> muss gelten x>0 sowie y>0.
Warum muss denn eigentlich $x > [mm] 0\,$ [/mm] sein? Kannst Du mir das kurz
begründen?
> Dann kann [mm]\mu[/mm] jedes c [mm]\in[/mm] [a, b]
> sein.
?? Jetzt wird's Quatsch: Vielmehr kann irgendein [mm] $\mu \in [/mm] (0,x]$ gewählt
werden. Aber insbesondere kann man natürlich auch [mm] $\mu:=x\,$ [/mm] setzen
und hat ein [mm] $\mu\,,$ [/mm] mit den verlangten Eigenschaften, gefunden!
Gruß,
Marcel
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>
> > Da f(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b]
>
> Autsch: Pass' da formal auf: Es ist bereits
> [mm]x=\inf(f)=\min\{f(t): t \in [a,b]\}\,.[/mm]
> Es wäre schlecht nun nochmal [mm]f(x)[/mm] für [mm]x \in [a,b][/mm] zu
> schreiben - das könnte man missverstehen und dann denken,
> dass
> [mm]\inf(f) \in [a,b][/mm] gelten soll. Aus dem Zusammenhang heraus
> sollte das
> zwar nicht passieren, aber schreiben wir lieber:
> Aus [mm]f(t) > 0[/mm] für alle [mm]t \in [a,b][/mm] folgt, dass: Es
> > muss gelten x>0 sowie y>0.
>
> Warum muss denn eigentlich [mm]x > 0\,[/mm] sein? Kannst Du mir das
> kurz
> begründen?
Nach Aufgabenstellung ist doch jedes f(x) echt größer als 0. Da [x, y] ein geschlossenes Intervall ist, müssen alle Intervallwerte dann auch >0 sein, oder nicht?
Mit deinen Verbesserungen würde ich dann jetzt schreiben:
Nach dem Satz der Intervalltreue gilt für eine stetige Funktion f: für a [mm] \le [/mm] b gibt es x, y mit f([a, b]) = [x, y]
O.B.d.A. sei a [mm] \le [/mm] b angenommen, also gibt es x, y mit f([a, b]) = [x, y]. Aus f(t) > 0 [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [a, b] folgt x>0 sowie y>0, da [x, y] das geschlossene Intervall der Funktionswerte ist. Setze [mm] \mu [/mm] := x, dann gilt f(s) [mm] \ge \mu \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] [a, b].
So richtig? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > > Da f(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b]
> >
> > Autsch: Pass' da formal auf: Es ist bereits
> > [mm]x=\inf(f)=\min\{f(t): t \in [a,b]\}\,.[/mm]
> > Es wäre schlecht nun nochmal [mm]f(x)[/mm] für [mm]x \in [a,b][/mm] zu
> > schreiben - das könnte man missverstehen und dann denken,
> > dass
> > [mm]\inf(f) \in [a,b][/mm] gelten soll. Aus dem Zusammenhang
> heraus
> > sollte das
> > zwar nicht passieren, aber schreiben wir lieber:
> > Aus [mm]f(t) > 0[/mm] für alle [mm]t \in [a,b][/mm] folgt, dass: Es
> > > muss gelten x>0 sowie y>0.
> >
> > Warum muss denn eigentlich [mm]x > 0\,[/mm] sein? Kannst Du mir das
> > kurz
> > begründen?
>
> Nach Aufgabenstellung ist doch jedes f(x) echt größer als
> 0.
nochmal Aua: Du schreibst schon wieder [mm] $f(x)\,,$ [/mm] obwohl Du [mm] $x\,$ [/mm] in dem
Intervall [mm] $[x,y]\,$ [/mm] als Parameter festhältst!
> Da [x, y] ein geschlossenes Intervall ist, müssen alle
> Intervallwerte dann auch >0 sein, oder nicht?
Das ist Dir irgendwie so klar, dass Dir gar nicht klar ist, dass es auch Leute
gibt, denen man das beweisen müßte (mir ist's ja auch klar, aber ich kann's
halt auch beweisen):
Mach's doch so: Angenommen, es wäre $x [mm] \le 0\,.$ [/mm] Dann gäbe es
insbesondere zu dem $x [mm] \in [/mm] [x,y]$ ein [mm] $t_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(t_0)=x\,.$
[/mm]
Widerspruch, denn...?
> Mit deinen Verbesserungen würde ich dann jetzt schreiben:
> Nach dem Satz der Intervalltreue gilt für eine stetige
> Funktion f: für a [mm]\le[/mm] b gibt es x, y mit f([a, b]) = [x,
> y]
> O.B.d.A. sei a [mm]\le[/mm] b angenommen
Meinetwegen auch $a [mm] \le b\,,$ [/mm] aber interessant ist hier wirklich nur der
Fall $a < [mm] b\,.$
[/mm]
> , also gibt es x, y mit
> f([a, b]) = [x, y]. Aus f(t) > 0 [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] [a, b] folgt
> x>0 sowie y>0, da [x, y] das geschlossene Intervall der
> Funktionswerte ist.
Jetzt würde ich das machen, was ich oben geschrieben habe:
Wir beweisen an dieser Stelle, dass $x > [mm] 0\,$ [/mm] sein muss (dann folgt $y > 0$
wegen $y [mm] \ge [/mm] x$):
Angenommen, es wäre $x [mm] \le [/mm] 0$...
(Jetzt führst Du kurz diesen Mini-Widerspruchsbeweis!)
> Setze [mm]\mu[/mm] := x, dann gilt f(s) [mm]\ge \mu \forall[/mm]
> s [mm]\in[/mm] [a, b].
>
> So richtig? :)
Ja, wobei Du am Ende auch wieder $f(t) [mm] \ge \mu$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$
schreiben kannst. Aber meinetwegen kannst Du das auch mit [mm] $s\,$
[/mm]
schreiben.
Was nur schlecht ist:
Man hat Intervalle [mm] $[a,b]\,$ [/mm] und [mm] $[x,y]\,,$ [/mm] d.h. [mm] $a,b,x,y\,$ [/mm] sind als
"Parameter" anzusehen. Dann sollte nicht irgendwo [mm] '$f^{-1}(a) [/mm] ...$ für
alle $a [mm] \in [x,y]\,$' [/mm] oder '$f(x) ...$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$' mehr stehen. Also:
Parameter sind einmal frei gewählt, bleiben dann aber fest - sollten dann
aber auch nicht mehr als "freie Variablen" (die 'laufen' können) verwendet
werden.
Und wenn Du
$$f(x) [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]$$
schreibst, meinst Du
$$f(t) [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [a,b]\,.$$
[/mm]
Aber was würde $f(x) [mm] \ge [/mm] x$ bedeuten? $f(2) [mm] \ge [/mm] 2$ für [mm] $x=2\,$?
[/mm]
Man ahnt dann schon, dass Du das nicht meinst. Aber es ist nicht sofort
klar, dass Du mit
$$f(x) [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]$$
eigentlich
$$f(t) [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [a,b]$$
meinst...
Also - wie gesagt: Aufgepasst bei solchen Notationen!
Gruß,
Marcel
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Nochmal vielen Dank für deine Antwort, Marcel!
Ich muss wirklich vorsichtiger sein mit der Notation, ist hoffentlich auch eine Gewöhnungssache.
Das "O.B.d.A." habe ich reingenommen, damit mir der Tutor nicht ranschreibt: "Was ist mit b>a?". Ist das nicht nötig?
Neuer Versuch:
Nach dem Satz der Intervalltreue gilt für eine stetige Funktion f: für a [mm] \le [/mm] b gibt es x, y mit f([a, b]) = [x, y]
O.B.d.A. sei a [mm] \le [/mm] b angenommen, also gibt es x, y mit f([a, b]) = [x, y]. Aus f(t) > 0 [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [a, b] folgt x>0 sowie y>0. Beweis: Angenommen x [mm] \le [/mm] 0, dann gäbe es ein [mm] t_0 \in [/mm] [a, b] mit [mm] f(t_0) [/mm] = x im Widerspruch zur Voraussetzung, dass f(t) > 0 [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [a, b]. Setze [mm] \mu [/mm] := x, dann gilt f(t) [mm] \ge \mu \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] [a, b].
Ich hoffe jetzt habe ich alles richtig gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nochmal vielen Dank für deine Antwort, Marcel!
>
> Ich muss wirklich vorsichtiger sein mit der Notation, ist
> hoffentlich auch eine Gewöhnungssache.
>
> Das "O.B.d.A." habe ich reingenommen, damit mir der Tutor
> nicht ranschreibt: "Was ist mit b>a?". Ist das nicht
> nötig?
>
> Neuer Versuch:
> Nach dem Satz der Intervalltreue gilt für eine stetige
> Funktion f: für a [mm]\le[/mm] b gibt es x, y mit f([a, b]) = [x,
> y]
> O.B.d.A. sei a [mm]\le[/mm] b angenommen, also gibt es x, y mit
> f([a, b]) = [x, y].
ich würde noch ergänzen: insbesondere gilt dabei dann $y [mm] \ge x\,,$
[/mm]
weil $a [mm] \le b\,.$ [/mm] (Ist Dir eigentlich klar, dass die Begründung hier auch
wirklich eine Begründung für das, was ich sage, ist?)
> Aus f(t) > 0 [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] [a, b] folgt
> x>0 sowie y>0. Beweis: Angenommen x [mm]\le[/mm] 0, dann gäbe es
> ein [mm]t_0 \in[/mm] [a, b] mit [mm]f(t_0)[/mm] = x im Widerspruch zur
> Voraussetzung, dass f(t) > 0 [mm]\forall[/mm] t [mm]\in[/mm] [a, b].
Das ist okay. Aber warum machst Du den Widerspruch nicht so deutlich,
dass man drüber fallen muss, wenn man ihn nicht sehen will:
Aus [mm] $f(t_0)=x\,$ [/mm] folgt dann aber [mm] $f(t_0) \le [/mm] 0$ wegen $x [mm] \le 0\,,$ [/mm] und weil
[mm] $t_0 \in [/mm] [a,b]$ ist, widerspricht das der Voraussetzung $f(t) > 0$ für alle
$t [mm] \in [a,b]\,.$ [/mm] Aber das ist jetzt wirklich auch "extremst ausführlich"
aufgeschrieben. Ist halt die Frage, wie pingelig ihr da korrigiert werdet!
> Setze
> [mm]\mu[/mm] := x, dann gilt f(t) [mm]\ge \mu \forall[/mm] t [mm]\in[/mm] [a, b].
>
> Ich hoffe jetzt habe ich alles richtig gemacht?
Ja! Das hattest Du ja auch schon bei meiner ersten Antwort. Du hattest
nichts falsch, sondern so manches einfach nur "sehr knapp" aufgeschrieben.
Ich sag's mal so: Ich hätte Deinen ersten Beweis in einem Gespräch
vollkommen akzeptiert, in einer Prüfung aber hätte ich genau bei
den Sachen, die ich hier ergänzt haben wollte, nachgehakt. Einfach, um
herauszufinden: Hast Du einfach nur eine sehr gute Intuition, oder kannst
Du mir das alles mathematisch detailliert begründen! 
Nebenbei: In einer Prüfung hätte ich dann auch andere Sachen gefragt,
etwa: Stimmt die Aussage auch noch, wenn man [mm] $[a,b]\,$ [/mm] durch ein
offenes oder halboffenes Intervall ersetzt?
Gruß,
Marcel
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Super, Danke! Ich antworte morgen nochmal, muss jetzt dringend ins Bett, damit ich morgen auch der Vorlesung folgen kann. :)
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> ich würde noch ergänzen: insbesondere gilt dabei dann [mm]y \ge x\,,[/mm]
>
> weil [mm]a \le b\,.[/mm] (Ist Dir eigentlich klar, dass die
> Begründung hier auch
> wirklich eine Begründung für das, was ich sage, ist?)
Ich bin nicht sicher. x ist ja die untere Intervallgrenze, folglich muss y [mm] \ge [/mm] x sein, oder? Warum das aus a [mm] \le [/mm] b folgt weiß ich gerade nicht genau.
>
> Das ist okay. Aber warum machst Du den Widerspruch nicht so
> deutlich,
> dass man drüber fallen muss, wenn man ihn nicht sehen
> will:
> Aus [mm]f(t_0)=x\,[/mm] folgt dann aber [mm]f(t_0) \le 0[/mm] wegen [mm]x \le 0\,,[/mm]
> und weil
> [mm]t_0 \in [a,b][/mm] ist, widerspricht das der Voraussetzung [mm]f(t) > 0[/mm]
> für alle
> [mm]t \in [a,b]\,.[/mm] Aber das ist jetzt wirklich auch "extremst
> ausführlich"
> aufgeschrieben. Ist halt die Frage, wie pingelig ihr da
> korrigiert werdet!
Ok :)
>
> Ja! Das hattest Du ja auch schon bei meiner ersten Antwort.
> Du hattest
> nichts falsch, sondern so manches einfach nur "sehr knapp"
> aufgeschrieben.
> Ich sag's mal so: Ich hätte Deinen ersten Beweis in einem
> Gespräch
> vollkommen akzeptiert, in einer Prüfung aber hätte ich
> genau bei
> den Sachen, die ich hier ergänzt haben wollte, nachgehakt.
> Einfach, um
> herauszufinden: Hast Du einfach nur eine sehr gute
> Intuition, oder kannst
> Du mir das alles mathematisch detailliert begründen!
Ok, super, vielen Dank. :)
>
> Nebenbei: In einer Prüfung hätte ich dann auch andere
> Sachen gefragt,
> etwa: Stimmt die Aussage auch noch, wenn man [mm][a,b]\,[/mm] durch
> ein
> offenes oder halboffenes Intervall ersetzt?
>
Ich denke für ein offenes gilt es auch, weil es zu jedem Funktionswert y>0 noch eine kleinere positive Zahl [mm] y-\varepsilon [/mm] gibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > etwa: Stimmt die Aussage auch noch, wenn man [mm][a,b]\,[/mm] durch
> > ein
> > offenes oder halboffenes Intervall ersetzt?
> >
>
> Ich denke für ein offenes gilt es auch, weil es zu jedem
> Funktionswert y>0 noch eine kleinere positive Zahl
> [mm]y-\varepsilon[/mm] gibt.
Falsch! Betrachte die Identität auf dem Intervall [mm] $(0;1]\,.$ [/mm] Dann sind alle Funktionswerte positiv, aber es gibt keine positive untere Schranke von [mm] $(0;1]\,.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [a, b] [mm]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(x) > 0, x
> [mm]\in[/mm] [a, b]. Beweisen Sie, dass es ein [mm]\mu[/mm] > 0 gibt mit f(x)
> [mm]\ge \mu,[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b].
> Hallo zusammen,
>
> erst einmal sorry für den wenig aussagekräftigen Titel,
> aber die erlaubte Eingabe ist so kurz, dass mir nichts
> sinnvolleres eingefallen ist.
>
> Nun zur Aufgabe: Ich muss zugeben, dass sich mir der Sinn
> der Aufgabe nicht so recht erschließt. Laut
> Aufgabenstellung gilt f(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b]. Das
> impliziert doch bereits, dass es ein [mm]\mu[/mm] > 0 mit f(x) [mm]\ge[/mm]
> mu für ein x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[a, b] geben muss, nämlich mu =
> min({f(x) | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[a, b]})?
ja. Aber Du denkst nicht weit genug:
Aus $f(x) \ge 0$ für alle $x \in [a,b]$ folgt zwar, dass $\inf(f):=\inf\{f(x): x \in [a,b]\}$
existiert mit $\inf(f) \ge 0\,,$ und Du kannst mir nun sicher
auch kurz sagen, wieso $\inf(f)\,$ ein Minimum ist, aber es fehlt noch
eine Begründung, warum auch $\inf(f) > 0\,$ ist. Diese hast Du aber
geliefert, wenn Du mir kurz sagst, warum das $\inf(f)$ auch ein Minimum
ist und kannst dann damit wirklich genauso weiter argumentieren, wie Du
es oben getan hast: Denn das Minimum wird dann ja an (mindestens)
einer Stelle aus $[a,b]$ auch angenommen...
> Da das zu einfach wäre muss ich wohl einen Denkfehler
> gemacht haben und die Aufgabe vermutlich eher eine
> Anwendung des Zwischenwert- oder Fixpunktsatzes sein?
Ne, eher eine Anwendung von "Stetige Funktionen nehmen auf kompakten
Mengen ihr Minimum (und Maximum) an!"
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hilfe!
Ich antworte hier nur kurz auf deine Nachfrage und schreibe meinen verbesserten Versuch dann als Antwort auf deinen anderen Beitrag.
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> ja. Aber Du denkst nicht weit genug:
> Aus [mm]f(x) \ge 0[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm] folgt zwar, dass
> [mm]\inf(f):=\inf\{f(x): x \in [a,b]\}[/mm]
> existiert mit [mm]\inf(f) \ge 0\,,[/mm]
> und Du kannst mir nun sicher
> auch kurz sagen, wieso [mm]\inf(f)\,[/mm] ein Minimum ist, aber es
> fehlt noch
> eine Begründung, warum auch [mm]\inf(f) > 0\,[/mm] ist. Diese hast
> Du aber
> geliefert, wenn Du mir kurz sagst, warum das [mm]\inf(f)[/mm] auch
> ein Minimum
> ist und kannst dann damit wirklich genauso weiter
> argumentieren, wie Du
> es oben getan hast: Denn das Minimum wird dann ja an
> (mindestens)
> einer Stelle aus [mm][a,b][/mm] auch angenommen...
>
Wir hatten noch keinen Satz mit "Stetige Funktionen nehmen auf kompakten
Mengen ihr Minimum (und Maximum) an", aber vielleicht kann ich deine Frage ja mit folgendem Satz aus der Vorlesung beantworten:
"Sei I=[a, b], a [mm] \le [/mm] b, f: I \ to [mm] \IR [/mm] stetig. Dann gibt es c, d [mm] \in [/mm] I mit f(x) [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(d) für alle x [mm] \in [/mm] I. D.h. f(c) = min f(x), f(d) = max f(x)"
Sei nun [mm] \mu [/mm] = min f(x). Da f(x) > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] ist auch [mm] \mu [/mm] > 0. So?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Hilfe!
> Ich antworte hier nur kurz auf deine Nachfrage und
> schreibe meinen verbesserten Versuch dann als Antwort auf
> deinen anderen Beitrag.
>
> >
> > ja. Aber Du denkst nicht weit genug:
> > Aus [mm]f(x) \ge 0[/mm] für alle [mm]x \in [a,b][/mm] folgt zwar, dass
> > [mm]\inf(f):=\inf\{f(x): x \in [a,b]\}[/mm]
> > existiert mit
> [mm]\inf(f) \ge 0\,,[/mm]
> > und Du kannst mir nun sicher
> > auch kurz sagen, wieso [mm]\inf(f)\,[/mm] ein Minimum ist, aber
> es
> > fehlt noch
> > eine Begründung, warum auch [mm]\inf(f) > 0\,[/mm] ist. Diese
> hast
> > Du aber
> > geliefert, wenn Du mir kurz sagst, warum das [mm]\inf(f)[/mm] auch
> > ein Minimum
> > ist und kannst dann damit wirklich genauso weiter
> > argumentieren, wie Du
> > es oben getan hast: Denn das Minimum wird dann ja an
> > (mindestens)
> > einer Stelle aus [mm][a,b][/mm] auch angenommen...
> >
>
> Wir hatten noch keinen Satz mit "Stetige Funktionen nehmen
> auf kompakten
> Mengen ihr Minimum (und Maximum) an"
nicht in dieser Fassung, sondern in einer verkürzten. Du hast ihn in der
anderen Frage zitiert, das, was Du dort geschrieben hast, besagt
insbesondere:
"Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen ihr Maximum und ihr Minimum an!"
Denn das, was Du zitiert hast, heißt in Worten:
"Stetige Funktionen bilden kompakte Intervalle auf kompakte Intervalle
ab!"
> , aber vielleicht kann
> ich deine Frage ja mit folgendem Satz aus der Vorlesung
> beantworten:
> "Sei I=[a, b], a [mm]\le[/mm] b, f: I \ to [mm]\IR[/mm] stetig. Dann gibt es
> c, d [mm]\in[/mm] I mit f(x)
Du meinst nicht [mm] $f(x)\,,$ [/mm] sondern
[mm] $f(\red{\;c\;})$[/mm] [mm]\le[/mm] f(x) [mm]\le[/mm] f(d) für alle x [mm]\in[/mm] I.
> D.h. f(c) = min f(x), f(d) = max f(x)"
>
> Sei nun [mm]\mu[/mm] = min f(x). Da f(x) > 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b]
> ist auch [mm]\mu[/mm] > 0. So?
Ja. Aber mir fehlt immer noch die Begründung, warum denn nun [mm] $\mu \not=0$
[/mm]
ist. Das steckt zwar oben auch mit drin, aber das ist mir "zu verwaschen",
und ich denke auch, dass Dir das nicht ganz bewußt ist:
Die Tatsache, dass [mm] $\inf(f)=\min\{f(x): x \in [a,b]\}$ [/mm] gilt, folgt ja aus dem
Dir zitierten Satz.
Die Tatsache, dass [mm] $\min\{f(x): x \in [a,b]\} [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] ist, folgt, und das steht
ja auch alles richtig bei Dir, auch aus dem von Dir zitierten Satz und
natürlich auch daraus, dass $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ ist.
Ich will eigentlich nur eine ganz einfache Sache sehen, vielleicht ist sie Dir
so klar, dass Du nicht verstanden hast, dass ich darauf hinauswollte:
Es gibt nach dem von Dir zitierten Satz hier ein $c [mm] \in [/mm] [a,b]$ so, dass
[mm] $f(c)=\mu:=\min\{f(x): x \in [a,b]\}\,,$ [/mm] also gilt insbesondere [mm] $f(c)=\mu \le [/mm] f(x)$
für alle $x [mm] \in [a,b]\,.$
[/mm]
Da $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt, gilt insbesondere wegen $c [mm] \in [/mm] [a,b]$ auch $f(c) > [mm] 0\,.$ [/mm] Daraus folgt dann, dass [mm] $\mu=f(c) [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] sein
muss!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:12 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Du kannst das auch so machen:
Nimm an, es solches [mm] \mu [/mm] wäre nicht vorhanden.
Zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es dann ein [mm] x_n \in [/mm] [a,b] mit [mm] 0
[mm] (x_n) [/mm] ist beschränkt, also enth. [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}).
[/mm]
Deren Limes zei [mm] x_0. [/mm] Dann ist [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] und
0< [mm] f(x_{n_k}) \le 1/x_{n_k} [/mm] für alle k.
Mit k [mm] \to \infty [/mm] folgt der Wid. [mm] f(x_0)=0
[/mm]
FRED
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Vielen Dank FRED, auf so einen Widerspruchsbeweis wäre ich wohl nicht gekommen. :)
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