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Hallo ich habe mal eine Frage. Angenommen die Aufgabe lautet, ich soll mit dem Zwischenwertsatz zeigen, dass z.B. die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] eine reelle Nullstelle hat.
Ich gucke nun zunächst ob die Funktion stetig ist. Was heißt gucken, man sollte natürlich wissen, dass solch eine Funktion stetig ist. Nun suche ich mir ein Intervall z.B. [-1,1] und berechne den Funktionswerte f(-1)=-1 und f(1)=1. Somit muss die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] eine nullstelle im Intervall von [-1,1] haben.
Was aber wenn die Aufgabe lautet, dass ich zeigen soll, dass die Funktion [mm] f(x)=x^3 [/mm] nur eine reelle Nullstelle hat. Reicht es dann, wenn ich das monotonieverhalten außerhalb des Intervalls von [-1,1] untersuche? Oder wie mache ich das dann Konkret?
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Do 27.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo ich habe mal eine Frage. Angenommen die Aufgabe
> lautet, ich soll mit dem Zwischenwertsatz zeigen, dass z.B.
> die Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] eine reelle Nullstelle hat.
>
> Ich gucke nun zunächst ob die Funktion stetig ist. Was
> heißt gucken, man sollte natürlich wissen, dass solch eine
> Funktion stetig ist. Nun suche ich mir ein Intervall z.B.
> [-1,1] und berechne den Funktionswerte f(-1)=-1 und f(1)=1.
> Somit muss die Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] eine nullstelle im
> Intervall von [-1,1] haben.
>
> Was aber wenn die Aufgabe lautet, dass ich zeigen soll,
> dass die Funktion [mm]f(x)=x^3[/mm] nur eine reelle Nullstelle hat.
> Reicht es dann, wenn ich das monotonieverhalten außerhalb
> des Intervalls von [-1,1] untersuche?
Das reicht sicher nicht, denn innerhalb dieses Intervalls könnte es dann immer noch mehrere Nullstellen geben.
Du müsstest schon erst die eine Nullstelle [mm] x_n [/mm] bestimmen und dann die Monotonie in den Intervallen
[mm] (-\infty;x_n) [/mm] und [mm] (x_n;\infty) [/mm] zeigen.
Viele Grüße
Abakus
> Oder wie mache ich
> das dann Konkret?
>
> Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Okay. Aber wie bestimme ich die diese nullstelle [mm] x_n??? [/mm] Dachte immer der Mittelwertsatz sei nur dafür da, um zu beweisen, dass es eine Nullstelle gibt. Aber nicht um diese zu berechnen. Dafür gibt es ja dann andere Wege!!!
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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> Aber wie bestimme ich die diese nullstelle [mm]x_n???[/mm]
Hallo,
naja, für Deine Funktion [mm] f(x):=x^3 [/mm] ist das ja keine sehr schwierige Aufgabe...
Ich verstehe schon: Deine Frage ist allgemeiner.
> Dachte immer der Mittelwertsatz sei nur dafür da, um zu
> beweisen, dass es eine Nullstelle gibt.
"Zwischenwertsatz " meinst Du, oder?
Ganz so ist das nicht: aus Äpfeln kann ich prima Apfelkuchen backen. Aber die Behauptung, daß Äpfel für Apfelkuchen da sind, ist doch etwas gewagt.
Du kannst den ZWS in gewissen Fällen dafür verwenden, zu zeigen, daß es eine Nullstelle gibt.
Dies ist aber nicht sein "Lebenszweck".
Wenn Du es mit einer diffbaren Funktion f zu tun hast, kannst Du den Mittelwertsatz (jetzt aber wirklich!) bzw. seinen Spezialfall, den Satz v. Rolle, für die Beantwortung der Frage, ob die Funktion f nur eine oder mehrere Nullstellen hat, verwenden.
Wenn die Funktion nämlich zwei Nullstellen, etwa bei x=a und y=b hat, gibt es dazwischen eine Stelle c mit f'(c) =0.
Deine Funktion [mm] f(x):=x^3 [/mm] mußte also im Interall ]0,a[ bzw. ]b,0[ eine weitere Nullstelle haben.
(abakus' empfohlene Monotonieuntersuchung ist nichts anderes. Sie hat den Vorteil, daß sie auch stetigen Funktionen, die nicht diffbar sind funktioniert. Ich wollte bloß gern den von Dir ins Spiel gebrachten MWS aufgreifen.)
Gruß v. Angela
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Okay. Dann bleibe ich vielleicht bei dem monotonieverhalten. Macxhen wir mal das ganze für eine etwas andere Funktion. Eine die etwas schwieriger ist.
[mm] f(x)=2x-arctan\bruch{1}{x+3}
[/mm]
Ich soll nun zeigen, dass diese Funktion eine Nullstelle im Intervall ]0,1[ hat. das ist ja eigentlich schnell getan.
[mm] f(0)=-arctan\bruch{1}{3}<0
[/mm]
[mm] f(1)=2-arctan\bruch{1}{4}>0
[/mm]
Somit hätte ich ja jetzt eigentlich gezeigt, dass die Funktion eine Nullstele in diesem Intervall hat. Also gibt es ein [mm] x_0 [/mm] für das gilt [mm] f(x_0)=0
[/mm]
Als nächstes muss ich zeigen, dass diese Nullstelle die einzige in diesem Intervall ist. Wenn ich nun auf das monotonieverhalten zurückgreife, dann müsste ich untersuchen, wie das steigungsverhalten der Funtion in diesem Intervall ist. Mein Problem ist es nun ein x zu finden, für das ich das untersuchen kann. oder nehme ich dort ebenfalls die Intervallgrenzen???
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> Macxhen wir mal das ganze für eine
> etwas andere Funktion. Eine die etwas schwieriger ist.
> [mm]f(x)=2x-arctan\bruch{1}{x+3}[/mm]
> Ich soll nun zeigen, dass diese Funktion eine Nullstelle
> im Intervall ]0,1[ hat. das ist ja eigentlich schnell
> getan.
> [mm]f(0)=-arctan\bruch{1}{3}<0[/mm]
> [mm]f(1)=2-arctan\bruch{1}{4}>0[/mm]
> Somit hätte ich ja jetzt eigentlich gezeigt, dass die
> Funktion eine Nullstele in diesem Intervall hat. Also gibt
> es ein [mm]x_0[/mm] für das gilt [mm]f(x_0)=0[/mm]
Hallo,
ja, und damit hast Du die Aufgabe, die Exisatenz einer Nullstelle im Intervall ]0,1[ zu zeigen, in vollem Umfange erfüllt.
> Als nächstes muss ich zeigen, dass diese Nullstelle die
> einzige in diesem Intervall ist. Wenn ich nun auf das
> monotonieverhalten zurückgreife, dann müsste ich
> untersuchen, wie das steigungsverhalten der Funtion in
> diesem Intervall ist.
> Mein Problem ist es nun ein x zu
> finden, für das ich das untersuchen kann. oder nehme ich
> dort ebenfalls die Intervallgrenzen???
Genauso würde ich die Sache angehen: ableiten und die Ableitung innerhalb der Intervallgrenzen anschauen. Wenn die Funktion streng monoton ist, was sie meiner Berechnung nach ist, kann es nur die eine Nullstelle geben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:58 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Macxhen wir mal das ganze für eine
> > etwas andere Funktion. Eine die etwas schwieriger ist.
> > [mm]f(x)=2x-arctan\bruch{1}{x+3}[/mm]
> > Ich soll nun zeigen, dass diese Funktion eine
> Nullstelle
> > im Intervall ]0,1[ hat. das ist ja eigentlich schnell
> > getan.
> > [mm]f(0)=-arctan\bruch{1}{3}<0[/mm]
> > [mm]f(1)=2-arctan\bruch{1}{4}>0[/mm]
> > Somit hätte ich ja jetzt eigentlich gezeigt, dass die
> > Funktion eine Nullstele in diesem Intervall hat. Also gibt
> > es ein [mm]x_0[/mm] für das gilt [mm]f(x_0)=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja, und damit hast Du die Aufgabe, die Exisatenz einer
> Nullstelle im Intervall ]0,1[ zu zeigen, in vollem Umfange
> erfüllt.
>
> > Als nächstes muss ich zeigen, dass diese Nullstelle die
> > einzige in diesem Intervall ist. Wenn ich nun auf das
> > monotonieverhalten zurückgreife, dann müsste ich
> > untersuchen, wie das steigungsverhalten der Funtion in
> > diesem Intervall ist.
> > Mein Problem ist es nun ein x zu
> > finden, für das ich das untersuchen kann. oder nehme ich
> > dort ebenfalls die Intervallgrenzen???
>
> Genauso würde ich die Sache angehen: ableiten und die
> Ableitung innerhalb der Intervallgrenzen anschauen. Wenn
> die Funktion streng monoton ist, was sie meiner Berechnung
> nach ist, kann es nur die eine Nullstelle geben.
jein, die Ableitung ist zwar stets $> 0$, das wirst Du nachgerechnet haben, aber an der Stelle $x=-3$ ist die obige Funktion ja nicht definiert (und sie kann dort nicht mal stetig, also insbesondere nichtmal diff'bar fortgesetzt werden). Strengenommen müßte man sagen, dass man zeigen kann:
Die Funktion ist streng monoton wachsend auf [mm] $(-\infty,-3)$ [/mm] und hat dort keine Nullstelle [mm] ($\lim_{x \to 3^-}f(x) [/mm] < 0$). Zudem ist sie streng monoton wachsend auf [mm] $(-3,\infty)$. [/mm] Dort hat sie nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle (und weil die Funktion dort streng monoton ist, ist sie dort insbesondere injektiv und kann daher auf [mm] $(-3,\infty)$ [/mm] auch nur eine haben).
Denn die Aussage, dass obige Funktion auf [mm] $(-\infty,\infty)$ [/mm] streng monoton wachsend ist, ist falsch. Man erkennt es auch am Graphen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm
(Dort 2x-atan(1/(x+3)) eintippen!)
Aber "stückweise" (im obigen Sinne) stimmt das schon, und mehr brauchen wir hier nicht.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
domenigge hat die Funktion lediglich im Intervall ]0, 1[ zu betrachten, so daß die Stelle x=-3 einen hier nicht belastet.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Hallo Marcel,
>
> domenigge hat die Funktion lediglich im Intervall ]0, 1[ zu
> betrachten, so daß die Stelle x=-3 einen hier nicht
> belastet.
dann stimmt das alles natürlich so. Ich dachte, die Funktion sei auf [mm] $\IR\setminus\{-3\}$ [/mm] definiert und man solle zeigen, dass sie eine einzige Nullstelle, und diese in $(0,1)$, hat. Mein Fehler!
Du hast damit dann natürlich absolut Recht (und ich sollte die Aufgabenstellung nochmal nachlesen, bevor ich etwas kommentiere  Aber ein gutes hat die Sache:
So sollte dann klar sein, wie man hier mehr zeigen kann, nämlich dass die Funktion auf [mm] $\IR\setminus\{-3\}$ [/mm] genau eine Nullstelle, und diese in $(0,1)$, hat. Ein kleiner Trost  .)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domenigge,
> Okay. Aber wie bestimme ich die diese nullstelle [mm]x_n???[/mm]
> Dachte immer der Mittelwertsatz
Du meinst ZWS
> sei nur dafür da, um zu
> beweisen, dass es eine Nullstelle gibt. Aber nicht um diese
> zu berechnen. Dafür gibt es ja dann andere Wege!!!
ja und nein. Wenn ich mir zum Beispiel [mm] $f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] für [mm] $x\not=0$ [/mm] anschaue mit z.B. zudem $f(0):=0$ (heute ist das eine sehr gefragte Funktion, zumindest toll zum erklären ), dann findet man in jedem nichtleeren Intervall [mm] $(0,\delta) \subset [/mm] [0,1]$ dort Stellen, wo die Funktion die Werte $-1$ und $1$ annimmt. Mit dem Zwischenwertsatz bekommt man damit auch raus, dass die Funktion in jedem solchen [mm] $(0,\delta)$-Intervall $\infty$ [/mm] viele Nullstellen hat (man kann die Nullstellen hier auch leicht konkret angeben). Man kann auch mit dem Zwischenwertsatz diese "einzeln" nächer bestimmten (man muss nur ein Intervall $(r,s)$ mit $0 < r < s$ klein genug wählen, so dass in $(r,s)$ nur noch eine Nullstelle ist) und sich dieser dann approximativ nähern, aber um sich so alle Nullstellen (derer sind es ja [mm] $\infty$ [/mm] viele) anzunähern, ist das doch ziemlich unsinnig.
(Das wäre ja für jede Nullstelle ein neuer Prozess, man hätte also [mm] $\infty$ [/mm] viele Prozesse durchzuführen.
Dass das ganze bei dieser Funktion vielleicht unsinnig ist, mag sein, aber im Wesentlichen könnte man sich ja auch eine beliebige Funktion, deren Funktionswerte so "hoch und runter" schwanken, vorstellen, und deren Graph bei Annäherung von $x$ an die $0$ zudem "dichter" wird. Vielleicht läßt Du Dir den Graphen der Funktion oben mal plotten, dann weißt Du vll., was ich damit sagen will!)
Wenn man aber z.B. nur endlich viele Nullstellen hat und es etwas schwerer ist, diese konkret anzugeben, kann es auch mit dem ZWS (Zwischenwertsatz) sehr nützlich sein.
Beispiel:
[mm] $f(x)=x^3-2*x^2*cos(x)+0,2$ [/mm] auf [mm] $\IR$
[/mm]
Diese Funktion hat genau 3 Nullstellen, mit dem ZWS kann man sie etwas näher bestimmen:
Die erste liegt sicherlich im Intervall $(-1,1)$ (berechne mal $f(-1)$ und $f(1)$), dann kann man so nach und nach versuchen, sich ihr von rechts und links zu nähern:
$f(-0,9) < 0$ und $f(-0,1) > 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ...
$f(-0,6) < 0$ und $f(-0,15) > 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ...
(Ich habe das nur vom Graphen abgeguckt, wenn ich mich da irgendwo mit den Werten von $f(x)$ oben vertue, verzeih' meine Blindheit, ich bin zu faul zum Nachrechnen )
Damit kommt man dann sicherlich wenigstens "nahe genug" an die erste Nullstelle heran, wenn man sie nicht in ganz präziser Weise benötigt.
P.S.:
Sorry, eben hatte ich auch die ganze Zeit MWS anstatt ZWS geschrieben, aber ZWS gemeint. Ich hoffe, dass das alles nun korrigiert ist
Gruß,
Marcel
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