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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | z.z. [mm] x^5 [/mm] - x = c besitzt für jedes c [mm] \ge [/mm] 0 eine Lösung in [mm] [0,\infty) [/mm] |
Hey,
arbeite ich hier am besten mit dem Zwischenwertsatz, um die Aussage zu beweisen?
(Der Zwischenwertsatz ist folgendermaßen definiert:
Sei f: I [mm] \to \IR, [/mm] I [mm] \not= \emptyset [/mm] ein Intervall. (I = [a,b]) und stetig
Sei c [mm] \in [/mm] [f(a); f(b)] Dann existiert ein [mm] \lambda \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(\lambda) [/mm] = c)
Der Satz sagt ja aus, dass wenn a,b [mm] \in [/mm] I, dann ist c zwischen f(a) und f(b) ... (nur leider weiß ich nicht ganz, wie ich den Satz effektiv nutze, um diese Aufgabe zu lösen)
Ich weiß ja schon mal, dass f(x) = [mm] x^5 [/mm] - x stetig ist. Nullstellen sind -1,0 und 1 (bringt mir aber nicht wirklich was, da ich den Graph mit dem c, was ja den y-Achsenabschnitt darstellt an der y-Achse verschieben kann und sich somit die Nullstellen ändern ...
Nun steh ich irgendwie auf dem Schlauch, ist mein Ansatz nicht ganz vorteilhaft, sollte man anders an die Sache rangehen, oder hab ich etwas übersehen?
Danke für alle kommenden Antworten! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 So 17.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Der Fall c=0 ist klar. Sei also c>0. Setze a:=0. Dann ist f(a)<c
f(x) = $ [mm] x^5 [/mm] $ - x [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty. [/mm] Dann gibt es ein b>a mit ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Der Fall c=0 ist klar. Sei also c>0. Setze a:=0. Dann ist
> f(a)<c
>
> f(x) = [mm]x^5[/mm] - x [mm]\to \infty[/mm] für x [mm]\to \infty.[/mm] Dann gibt es
> ein b>a mit ?
>
> FRED
Du willst jetzt darauf hinaus, dass f(b) > c und somit f(a) < c < f(b) gilt und somit haben wir die Aussage bewiesen, da c zwischen f(a) und f(b) liegt?
Weiß nur nicht, was ich dir genau antworten soll auf deine Frage ... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 17.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Ja, dann gibt es ein b>a mit f(b)>c
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Ja, dann gibt es ein b>a mit f(b)>c
>
> FRED
Das war der Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 17.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Ja, dann gibt es ein b>a mit f(b)>c
> >
> > FRED
>
> Das war der Beweis?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
Danke dir, Fred!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Der Fall c=0 ist klar.
Nur um sicher zu gehen, formal kann man das mit c=0 einfach folgendermaßen aufschreiben:
Für c=0, gilt f(0) = [mm] x^5 [/mm] - x = [mm] x(x^4-1) [/mm] = [mm] x(x+1)(x-1)(x^2+1) [/mm]
Somit besitzt die Fkt. 3 Nullstellen (abgesehen von den Doppelnullstellen) und liegt somit auf dem Intervall -
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 17.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist c=0. so ist f(0)=0=c
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 So 17.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
k, Danke nochmal :)
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